數學的領悟讀書筆記

一、摘要

理解實質：

學會，會學

對於學生，不應只滿足於表面文字的學會，還要深入理解概念、原理、方法等的精神實質。

這樣解à怎樣解

看透本質：

我們做題，首先要找到答案，這是基本要求，但不是最終的目的。如果求出答案後不能把題目所隱含的數學內容的實質揭示出來，就等於在原有的思維水平上簡單重複、原地踏步而已。

知其然，不知其所以然

優化素質：

優化數學素質的主要途徑是注重知識的發生過程，如概念的形成過程，定理的發現過程，證明的尋求過程等。對於解題來説，進行解題過程的分析是優化素質的一條捷徑。

居高臨下的回首，就為我們提供了指導性的經驗。

學數學畢竟與學技藝不盡相同。一門技藝可以通過模仿與重複操練去掌握，而數學解題不是機械地重複數學基礎知識和數學基本方法，還要綜合而靈活地運用這些知識和方法，它在本質上是一種創造性的思維過程。

後來，我們悟出了一個門路，那就是通過已知學未知，通過分析已經解決過的題來領悟解題的思想，通過解題思想來駕馭知識與方法。

這個體會和方法，使我們擺脱了單純的模仿和在同一思維層次上的簡單重複，使得每一天的學習都能獲得解題能力或思維水平的一點提高。我們認為，為了提高數學能力，至少在還沒有找到更好的辦法之前，“分析已經解決的題”是一個普遍可行的好方法。

事實上，解題思路的獲得，包括下列“三位一體”的`完整工作：

1. 捕捉有用的信息，符號信息和形象信息;

2. 提取記憶，主要是相關的公式、定理、基本模式等解題依據;

3. 將兩者有效組合，使之成為一個合乎邏輯的和諧結構。苦難就在於此步。

做題的作用：鞏固知識，加強記憶，加深理解的知識目的;

但更有提高能力，開發智力，訓練思維的能力目的。

解題的心理過程：

知道的越多，不知道的也越多

有用捕捉、有關提娶有效組合是心理活動的外在表現它恰好對應着人的複雜心理活動過程的三個環節：觀察試驗、聯想轉化、推理證明。

聯想轉化的樸素含義是，把待解決的或未解決的問題，歸結為一類已經解決的或者比較容易解決的問題。

愛因斯坦説過：你能觀察到眼前的什麼現象，不僅取決於你的肉眼，還取決於你運用什麼樣的思維，思維決定了你到底能觀察到什麼。例子，魯賓雙關圖形

G.波利亞：

為國中生設計的：

設計出自己的解題表，以適應具體的學科和學習的不同階段

差異分析法：

題目的條件與結論之間的差異成為目標差

解題的實質就在於設計一個目標差不斷減少的過程

通過不斷尋找目標差，不斷減少目標差而完成解題的思維方法，成為差異分析法

從尋找目標差入手，未知是什麼?已知是什麼?兩者有什麼聯繫與區別?

特殊化：

數學家認為，在討論數學問題時，特殊化比一般化起着更為重要的作用

特殊化問題有可能更簡單、更容易，進而推廣之

其功能在於：1解題的突破口，2尋找解題思路的策略，3完成解題過程的方法

由一般退到特殊，由複雜退到簡單，由抽象退到具體，由整體退到部分，退到最原始而又不失去重要性的地方，退到你會做、能下手的問題上

數形結合：一柄雙刃的利劍

數轉化為形，看透實質

如果一個特定的問題被轉化為一個圖形，那麼思想就整體地把握了問題，並能創造性地思索問題的解法

形轉化為數，

轉換思考的角度：

順向推導有困難時就逆向反求，直接解決問題有困難就間接解決，正面證實困難就反面否定，探究可能性困難就探究不可能性，等式證明從左到右不順利就從右到左

逆推法，反證法，舉反例，常量變量換位，公式定理的逆用

分析法：由未知，找須知，靠攏已知

反證法更適用於否定性問題、無限性命題、唯一性命題、存在性問題、逆命題、學科起始性命題。

分類討論：

層次解決：

解題研究表明，人們在創造性處理一個新問題時，思維是按照層次展開的，先粗後細，先寬後窄

一般性解決à功能性解決，à特殊性解決

層次法往往同方程、函數結合起來

解題過程分析：

1. 多走了哪些迴路，刪除合併之

2. 能否用更一般的原理代替現存的很多步驟，提高解題的觀點和層次

3. 是否有特殊的技巧

4. 是否浪費了更重要的信息?

整體分解，提煉步驟