極限的證明

利用極限存在準則證明：

(1)當x趨近於正無窮時，(Inx/x^2)的極限為0;

(2)證明數列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收斂，並求其極限。

1)用夾逼準則:

x大於1時,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2極限為0

故(Inx/x^2)的極限為0

2)用單調有界數列收斂:

分三種情況,x0=√a時,顯然極限為√a

x0>√a時,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2<0,單調遞減

且Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2>√a,√a為數列下界,則極限存在.

設數列極限為A,Xn和X(n-1)極限都為A.

對原始兩邊求極限得A=[A+(a/A)]/2.解得A=√a

同理可求x0<√a時,極限亦為√a

綜上,數列極限存在,且為√

(一)時函數的極限：

以 時 和 為例引入.

介紹符號: 的意義, 的直觀意義.

定義 ( 和 . )

幾何意義介紹鄰域 其中 為充分大的正數.然後用這些鄰域語言介紹幾何意義.

例1驗證 例2驗證 例3驗證 證 ……

(二)時函數的極限：

由 考慮 時的極限引入.

定義函數極限的“ ”定義.

幾何意義.

用定義驗證函數極限的基本思路.

例4 驗證 例5 驗證 例6驗證 證 由 =

為使 需有 為使 需有 於是, 倘限制 , 就有

例7驗證 例8驗證 ( 類似有 (三)單側極限:

1.定義：單側極限的定義及記法.

幾何意義: 介紹半鄰域 然後介紹 等的幾何意義.

例9驗證 證 考慮使 的 2.單側極限與雙側極限的關係:

Th類似有: 例10證明: 極限 不存在.

例11設函數 在點 的某鄰域內單調. 若 存在, 則有

= §2 函數極限的性質(3學時)

教學目的：使學生掌握函數極限的基本性質。

教學要求：掌握函數極限的'基本性質：唯一性、局部保號性、不等式性質以及有理運算性等。

教學重點：函數極限的性質及其計算。

教學難點：函數極限性質證明及其應用。

教學方法：講練結合。

一、組織教學：

我們引進了六種極限: , .以下以極限 為例討論性質. 均給出證明或簡證.

二、講授新課：

(一)函數極限的性質:以下性質均以定理形式給出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號性:

4.單調性( 不等式性質 ):

Th 4若 和 都存在, 且存在點 的空心鄰域,使 ， 都有 證 設 = ( 現證對 有 )

註:若在Th 4的條件中, 改“ ”為“ ”, 未必就有 以 舉例説明.

5.迫斂性:

6.四則運算性質:( 只證“+”和“ ”)

(二)利用極限性質求極限： 已證明過以下幾個極限：

(注意前四個極限中極限就是函數值 )

這些極限可作為公式用. 在計算一些簡單極限時, 有五組基本極限作為公式用,我們將陸續證明這些公式.

利用極限性質，特別是運算性質求極限的原理是：通過有關性質, 把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值, 即計算得所求極限.

例1( 利用極限 和 )

例2例3註:關於 的有理分式當 時的極限.

例4 [ 利用公式 ]

例5例6例7