2016大學聯考數學專項練習試題
一、選擇題
1.若點P是兩條異面直線l，m外的任意一點，則( )
A.過點P有且僅有一條直線與l，m都平行
B.過點P有且僅有一條直線與l，m都垂直
C.過點P有且僅有一條直線與l，m都相交
D.過點P有且僅有一條直線與l，m都異面
答案：B 命題立意：本題考查異面直線的幾何性質，難度較小.
解題思路：因為點P是兩條異面直線l，m外的任意一點，則過點P有且僅有一條直線與l，m都垂直，故選B.
2.如圖，P是正方形ABCD外一點，且PA平面ABCD，則平面PAB與平面PBC、平面PAD的位置關係是( )
A.平面PAB與平面PBC、平面PAD都垂直
B.它們兩兩垂直
C.平面PAB與平面PBC垂直，與平面PAD不垂直
D.平面PAB與平面PBC、平面PAD都不垂直
答案：A 解題思路： DA⊥AB，DAPA，AB∩PA=A，
DA⊥平面PAB，又DA平面PAD， 平面PAD平面PAB.同理可證平面PAB平面PBC.把四稜錐P-ABCD放在長方體中，並把平面PBC補全為平面PBCD1，把平面PAD補全為平面PADD1，易知CD1D即為兩個平面所成二面角的平面角，CD1D=APB，
CD1D<90°，故平面PAD與平面PBC不垂直.
3.設α，β分別為兩個不同的平面，直線lα，則“lβ”是“αβ”成立的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
答案：A 命題立意：本題主要考查空間線面、面面位置關係的判定與充分必要條件的判斷，意在考查考生的邏輯推理能力.
解題思路：依題意，由lβ，lα可以推出αβ;反過來，由αβ，lα不能推出lβ.因此“lβ”是“αβ”成立的充分不必要條件，故選A.
4.若m，n為兩條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面，則下列結論正確的是( )
A.若m，n都平行於平面α，則m，n一定不是相交直線
B.若m，n都垂直於平面α，則m，n一定是平行直線
C.已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若mα，則nβ
D.m，n在平面α內的射影互相垂直，則m，n互相垂直
答案：B 解題思路：本題考查了空間中線面的平行及垂直關係.在A中：因為平行於同一平面的兩直線可以平行，相交，異面，故A為假命題;在B中：因為垂直於同一平面的兩直線平行，故B為真命題;在C中：n可以平行於β，也可以在β內，也可以與β相交，故C為假命題;在D中：m，n也可以不互相垂直，故D為假命題.故選B.
5.如圖所示，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的稜長為2，長為2的線段MN的一個端點M在稜DD1上運動，另一端點N在正方形ABCD內運動，則MN的中點的軌跡的面積為( )
A.4π B.2π
C.π D.-π
答案：D 解題思路：本題考查了立體幾何中的點、線、面之間的關係.如圖可知，端點N在正方形ABCD內運動，連接ND，由ND，DM，MN構成一個直角三角形，設P為NM的中點，根據直角三角形斜邊上的中線長度為斜邊的一半可得，不論MDN如何變化，點P到點D的距離始終等於1.故點P的軌跡是一個以D為中心，半徑為1的球的球面，其面積為.
技巧點撥：探求以空間圖形為背景的軌跡問題，要善於把立體幾何問題轉化到平面上，再聯合運用平面幾何、立體幾何、空間向量、解析幾何等知識去求解，實現立體幾何到解析幾何的過渡.
6.如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F分別為PA，PD的中點，在此幾何體中，給出下面四個結論：
直線BE與直線CF是異面直線;直線BE與直線AF是異面直線;直線EF平面PBC;平面BCE平面PAD.
其中正確結論的序號是( )
A.1 B.1
C. 3D.4
答案：B 解題思路：本題考查了立體幾何中的點、線、面之間的關係.畫出幾何體的圖形，如圖，由題意可知，直線BE與直線CF是異面直線，不正確，因為E，F分別是PA與PD的中點，可知EFAD，所以EFBC，直線BE與直線CF是共面直線;直線BE與直線AF是異面直線，滿足異面直線的定義，正確;直線EF平面PBC，由E，F是PA與PD的中點，可知EFAD，所以EFBC，因為EF平面PBC，BC平面PBC，所以判斷是正確的;由題中條件不能判定平面BCE平面PAD，故不正確.故選B.
技巧點撥：翻折問題常見的是把三角形、四邊形等平面圖形翻折起來，然後考查立體幾何的常見問題：垂直、角度、距離、應用等問題.此類問題考查學生從二維到三維的升維能力，考查學生空間想象能力.解決該問題時，不僅要知道空間立體幾何的有關概念，還要注意到在翻折的過程中哪些量是不變的，哪些量是變化的.
二、填空題
7.如圖，四邊形ABCD為菱形，四邊形CEFB為正方形，平面ABCD平面CEFB，CE=1，AED=30°，則異面直線BC與AE所成角的大小為________.
答案：45° 解題思路：因為BCAD，所以EAD就是異面直線BC與AE所成的角.
因為平面ABCD平面CEFB，且ECCB，
所以EC平面ABCD.
在RtECD中，EC=1，CD=1，故ED==.
在AED中，AED=30°，AD=1，由正弦定理可得=，即sin EAD===.
又因為EAD∈(0°，90°)，所以EAD=45°.
故異面直線BC與AE所成的角為45°.
8.給出命題：
異面直線是指空間中既不平行又不相交的直線;
兩異面直線a，b，如果a平行於平面α，那麼b不平行於平面α;
兩異面直線a，b，如果a平面α，那麼b不垂直於平面α;
兩異面直線在同一平面內的射影不可能是兩條平行直線.
上述命題中，真命題的序號是________.
答案： 解題思路：本題考查了空間幾何體中的點、線、面之間的關係.根據異面直線的定義知：異面直線是指空間中既不平行又不相交的直線，故命題為真命題;兩條異面直線可以平行於同一個平面，故命題為假命題;若bα，則ab，即a，b共面，這與a，b為異面直線矛盾，故命題為真命題;兩條異面直線在同一個平面內的射影可以是：兩條平行直線、兩條相交直線、一點一直線，故命題為假命題.
