廣東2015年大學聯考理數A卷真題（文字版）

2015年普通高等學校招生全國統一考試（廣東卷）A

數學（理科）

本試卷共4頁，21題，滿分150分。考試用時120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填塗在答題卡相應位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2.選擇題每小題選出答案後，用2B鉛筆把答題卡對應題目選項的答案信息點塗黑，如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其他答案，答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然後再寫上新的答案；不準使用鉛筆盒塗改液。不按以上要求作答的答案無效。

4.作答選做題時，請先用2B鉛筆填塗選做題的題號對應的信息點，再作答。漏塗、錯塗、多塗的，答案無效。

5.考生必須保持答題卡的整潔。考試結束後，將試卷和答題卡一併交回。

參考公式：主體的體積公式V=Sh，其中S為柱體的底面積，h為柱體的高。

錐體的體積公式為 ，其中S為錐體的底面積，h為錐體的高。

一 、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的

1 設i為虛數單位，則複數 =

A 6+5i B 6-5i C -6+5i D -6-5i

2 設集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } 則CuM=

A .U B {1,3,5} C {3,5,6} D {2,4,6}

3 若向量 =（2,3）， =（4,7），則 =

A （-2,-4） B (3,4) C (6,10 D (-6,-10)

4.下列函數中，在區間（0，+∞）上為增函數的.是

A.y=ln（x+2） B.y=- C.y=（ ）x D.y=x+

5.已知變量x，y滿足約束條件 ，則z=3x+y的最大值為

A.12 B.11 C.3 D.-1

6,某幾何體的三視圖如圖1所示，它的體積為

A．12π B.45π C.57π D.81π

7.從個位數與十位數之和為奇數的兩位數種任取一個，其個位數萬惡哦0的概率是

A. B. C. D.

8.對任意兩個非零的平面向量α和β，定義 。若平面向量a，b滿足|a|≥|b|＞0，a與b的夾角 ，且a·b和b·a都在集合 中，則

A． B.1 C. D.

二、填空題：本大題共7小題，考生答6小題，每小題5分，滿分30分。

（一）必做題（9-13題）

9.不等式|x+2|-|x|≤1的解集為_____。

10. 的展開式中x³的係數為______。（用數字作答）

11.已知遞增的等差數列{an}滿足a1=1，a3=a2-4，則an=____。

12.曲線y=x3-x+3在點（1，3）處的切線方程為 。

13.執行如圖2所示的程序框圖，若輸入n的值為8，則輸出s的值為 。

（二）選做題（14-15題，考生只能從中選做一題）

14，（座標系與參數方程選做題）在平面直角座標系xOy中，曲線C1和C2的參數方程分別為 和 ，則曲線C1與C2的交點座標為_______。

15.（幾何證明選講選做題）如圖3，圓O的半徑為1，A、B、C是圓周上的三點，滿足∠ABC=30°，過點A做圓O的切線與OC的延長線交於點P，則PA=_____________。

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分。解答須寫出文字説明、證明過程和演算步驟。

16.（本小題滿分12分）

已知函數 ，（其中ω＞0，x∈R）的最小正週期為10π。

（1）求ω的值；

（2）設 ， ， ，求cos（α＋β）的值。

17. （本小題滿分13分）某班50位學生期會考試數學成績的頻率分佈直方圖如圖4所示，其中成績分組區間是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。

（1）求圖中x的值；

（2）從成績不低於80分的學生中隨機選取2人，該2人中成績在90分以上（含90分）的人數記為 ，求 得數學期望。

18.（本小題滿分13分）

如圖5所示，在四稜錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點 E在線段PC上，PC⊥平面BDE。

（1） 證明：BD⊥平面PAC；

（2） 若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；

19. （本小題滿分14分）

設數列{an}的前n項和為Sn，滿足2Sn=an+1-2n+1，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差數列。

（1） 求a1的值；

（2） 求數列{an}的通項公式。

（3） 證明：對一切正整數n，有 .

20.（本小題滿分14分）

在平面直角座標系xOy中，已知橢圓C1： 的離心率e= ，且橢圓C上的點到Q（0，2）的距離的最大值為3.

（1）求橢圓C的方程；

（2）在橢圓C上，是否存在點M（m,n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交於不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的座標及相對應的△OAB的面積；若不存在，請説明理由。

21.（本小題滿分14分）

設a＜1，集合

（1）求集合D（用區間表示）

（2）求函數 在D內的極值點。