北京2015年大學聯考文數真題（文字版）

2015年普通高等學校招生全國統一考試

數學（文）（北京卷）

本試卷共5頁，150分。考試時長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結束後，將本試卷和答題卡一併交回。

第一部分（選擇題 共40分）

一 、選擇題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

1、已知集合A={x∈R|3x+2＞0} B={x∈R|（x+1）(x-3)＞0} 則A∩B=

A （- ，-1）B （-1，- ） C （- ,3）D (3,+ )

2 在復平面內，複數 對應的點的座標為

A (1 ,3) B (3,1) C(-1,3) D (3 ,-1)

（3）設不等式組 ，表示平面區域為D，在區域D內隨機取一個點，則此點到座標原點的距離大於2的概率是

（A） （B） （C） （D）

（4）執行如圖所示的程序框圖，輸出S值為

（A）2

（B）4

（C）8

（D）16

(5)函數f（x）＝ 的零點個數為

（A）0 （B）1（C）2 （D）3

（6）已知為等比數列，下面結論種正確的是

（A）a1+a3≥2a2（B） （C）若a1=a3，則a1=a2（D）若a3＞a1，則a4＞a2

（7）某三稜錐的三視圖如圖所示，該三稜錐的表面積是

（A）28+ （B）30+ （C）56+ （D）60+

（8）某棵果樹前n年的總產量Sn與n之間的關係如圖所示，從目前記錄的結果看，前m年的年平均產量最高，m的值為

（A）5（B）7（C）9（D）11

第二部分（非選擇題 共110分）

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。

（9）直線y=x被圓x2+（y-2）2=4截得弦長為__________。

（10）已知{an}為等差數列，Sn為其前n項和，若a1= ，S2=a3，則a2=____________，Sn=_________________。

（11）在△ABC中，若a=3，b= ， ，則 的大小為_________。

（12）已知函數f（x）=lgx，若f（ab）=1，則f（a2）+f（b2）=_____________。

（13）已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則 的值為_________。

(14)已知f（x）=m（x-2m）（x＋m＋3），g（x）=2N-2。若 ，f（x）＜0或g（x）＜0，則m的取值範圍是_________。

三、解答題共6小題，共80分，解答應寫出文字説明，演算步驟或證明過程。

（15）（本小題共13分）

已知函數 。

（1）求f（x）的定義域及最小正週期；

（2）求f（x）的單調遞減區間。

（16）（本小題共14分）

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的'一點，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖2。

（1） 求證：DE∥平面A1CB；

（2） 求證：A1F⊥BE；

（3） 線段A1B上是否存在點Q，使A1C⊥平面DEQ？説明理由。

17（本小題共13分）

近年來，某市為了促進生活垃圾的風分類處理，將生活垃圾分為廚餘垃圾、可回收和其他垃圾三類，並分別設置了相應分垃圾箱，為調查居民生活垃圾分類投放情況，現隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾，數據統計如下（單位：噸）：

（Ⅰ）試估計廚餘垃圾投放正確的概率；

（Ⅱ）試估計生活垃圾投放錯誤額概率；

（Ⅲ）假設廚餘垃圾在“廚餘垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a,b,c其中a＞0，a+b+c=600.當數據a,b,c的方差s2最大時，寫出a,b,c的值（結論不要求證明），並求此時s2的值。

（注： 其中 為數據x1,x2…，xn的平均數）

（18）（本小題共13分）

已知函數f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.

（I） 若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(1,c)處具有公共切線，求,a,b的值；

（II） 當a=3,b=-9時，若函數f(x)+g(x)在區間[k,2]上的最大值為28，求k的取值範圍。

19 (本小題共14分)

已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的一個頂點為A （2,0），離心率為 ， 直線y=k(x-1)與橢圓C交與不同的兩點M,N

（Ⅰ）求橢圓C的方程

（Ⅱ）當△AMN的面積為 時，求k的值

(20)（本小題共13分）

設A是如下形式的2行3列的數表，

a

b

c

d

E

f

滿足性質P：a，b，c，d，e，f∈[-1,1],且a+b+c+d+e+f=0.

記ri（A）為A的第i行各數之和（i=1,2），Cj（A）為第j列各數之和（j=1，2，3）；記k（A）為|r1(A)|, |r2(A)|, |c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值。

（I） 對如下數表A，求k（A）的值

（II） 設數表A形如

其中-1≤d≤0.求k（A）的最大值；

（Ⅲ）對所有滿足性質P的2行3列的數表A ，求k(A)的最大值