怎樣能學好大學數學

數學是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科，一起來看看學好大學數學的辦法，僅供大家參考！謝謝！

一、建立學習目標

大學生的學習比中學生更復雜更緊張，同時也更為自覺、更為獨立，因此，學習動機的強弱對大學生的學業成就有着極大的影響。在高中階段，學生以考上大學為惟一的學習目標，目標明確，再加上老師和家長的監督，學習抓得很緊，一旦目標實現，容易產生鬆懈心理，希望在大學裏好好享樂一番，沒有明確的學習目標。另一方面大學新生自我控制能力一般較差，容易受別人的影響，有時會有意無意地模仿高年級學生的做法，漸漸便失去了自控能力。因此大學新生應儘快建立學習目標，以適應大學校園的學習氣氛，大學裏面的學習氣氛是外鬆內緊的。在大學裏很少有人監督你，很少有人主動指導你，沒有人給你制訂具體的學習目標，每個人都在獨立地面對學業，每個人都該有自己設定的目標，每個人都在和自己的昨天比，和自己的潛能比，也在不知不覺中與別人比，所以學習的自主性就很重要。

二、調整學習方法

承襲過去在高中階段的學習方法，即使勤奮用功可能也難以獲得能力的全面提高，這在大學新生裏是相當普遍的現象。進入大學後，以教師為主導的教學模式變成了以學生為主導的自學模式。教師在課堂講授知識後，學生不僅要消化理解課堂上學習的內容，而且還要大量閲讀相關方面的書籍和文獻資料。可以説自學能力的高低成為影響學業成績的最重要因素。這種自學能力包括：能獨立確定學習目標，能對教師所講內容提出質疑，會歸納總結所學習的內容，並能表達出來與人討論。從舊的學習方法向新的學習方法過渡，這是每個大學新生都必須經歷的過程。在思想上應認識到要想在學業上獲得成功，一定要充分利用現有的學習條件，掌握、運用自己所學的知識，提高自己的能力。儘早做好思想準備，就能較好地、順利地度過這一階段，少走彎路，減少心理壓力，促進學習成績的提高。

三、做好預習和複習

適當的預習是必要的， 通過課前預習，可以對該節內容有一個系統的認識，在頭腦中初步形成知識體系的框架，對它所包含的內容做一個總體及全面的瞭解，這樣才能分清主次，使學習有的放矢，如果時間不多，可以瀏覽一下教師將要講的主要內容，獲得一個大概的印象，這在一定程度上可以幫助你在課堂上跟上老師的思路，如果時間比較充裕，除了瀏覽之外，還可以進一步細緻地閲讀部分內容，並且準備好問題，看一下自己的理解與老師講解的有什麼區別，有哪些問題需要與老師討論。如果能夠做到這些，那麼你的學習就會變得比較主動、深入，會取得比較好的效果。每次課後都要認真複習，這是目前被許多同學容易忽視的學習過程。

通過複習——閲讀教材、筆記和參考書，以及將課上例題自己再解答一次，應能説出今天講了哪些內容？重點、難點是什麼？自己接受了其中哪些內容？運用知識解決問題的水平如何？還有什麼問題，怎樣解決（自己思考或與別人討論）？通常應當用與上課時間相等的時間來複習。在完成了一個階段（例如一章）的學習後，應對學過的知識進行歸納和總結，因為知識不可能自動形成有條理的東西存入大腦，要做到系統化、條理化，簡單的方法就是將當前學到的內容整理歸類，並注意同類知識內部以及和其他類別知識的聯繫，這樣有利於從宏觀上、整體上掌握知識。

四、聽課，要專心

認真聽課，這是個不言而喻的道理。成功的課堂教學不在於是否講細講透，而是通過課堂教學把主要思路，重點與難點交代清楚，將部分細節留給學生，為學生留下值得思考的問題，因此學生在課堂上聽課時，應當把主要精力集中在老師講解問題的思路和對於難點的分析上，如果有某些細節沒有聽明白，不要影響你繼續聽其它內容。只要掌握了主要思路，即使某些細節沒有聽清楚，也沒有關係。

你自己完全能夠順着這個思路將全部細節補足，最後推出結論。另外，要學好大學數學，一定要學會記筆記。記筆記會使我們聽課更專注，也能幫我們有效地進行課外的複習鞏固。有些同學不會記筆記，只要是老師講的，言無輕重、話無鉅細，統統照記不誤，耳、眼、手忙得不亦樂乎，累得還哪裏顧得上同步思考，如果是這個樣子，倒還不如不記。課堂筆記沒必要追求齊、全、系統。要有選擇、有重點地記，特別要記那些有概括性和技巧性的解題方法，常見的、典型的例題。並且要注意解題方法的積累，特別是證明題，因為證明題較抽象，常常感覺無從下手。課後複習時，一定要對筆記進行適當的整理補充。如果預習得好，那麼對哪些該記、哪些可不記，也會更有的放矢。

五、基本訓練 反覆進行

學習數學，需要做一定數量的題，解題能力首先取決於對基本概念和基本原理的理解與掌握程度。所以，應多下一些功夫掌握基本概念和基本原理，儘可能地多做些題，把基本功練熟練透，但我們不主張“題海”戰術，而是提倡精練，即反覆做一些典型的題，做到一題多解，一題多變，這是提高解題能力的重要途徑。另外，做題要善於總結，特別是從不同的題目中提煉出一些有代表性的思想方法。

六、認真做作業

做作業的主要目的是熟悉和鞏固學習過的知識，而且通過作業能發現自己在知識學習中的不足。由於作業中的問題不一定都能直接套用現成的公式就能解決，因此這是一次理論與實踐相結合的過程。必須獨立完成作業，不要一旦不會做題就翻看教材中相關例題的解答，甚至照搬。對於實在做不出的題目，應當帶着自己的問題和思路與別人討論，使其最終得到解決（因此建議以寢室為單位成立課程學習小組，便於相互交流和討論）。無論如何都不要抄襲別人的作業。即使看現成的解答，也要弄懂是怎麼做的，為什麼這樣做，然後自己再獨立地做一次。

七、正確對待答疑

學習大學數學過程中，會有各種各樣的疑問，思考越深，疑問越多。有疑問是好事，攻克的問題無論大小，積累起來就是“學問”。不思無問，就是瞎混。可以自己發問、自己回答，“冥思苦想”之下的“豁然開朗”，那才真叫“其樂無窮”。也可以問同窗學友。互相切磋，集思廣益。為學生釋疑解難是老師的天職，老師安排的答疑值班時間，是你應該充分利用的寶貴資源（每學期在理學院教師辦公室均有教師答疑值班表公佈）。只要是教數學的，隨便那個老師都可以問，答疑時，老師可能並不一定給你一個完整的解答，而是給你以提示，讓你自己繼續思考。有時還需要你要有足夠的耐心，認真地按照老師指點，動手預算一下。如果在經過老師點撥後你真的懂了，那當然是最好。否則，沒有搞懂就是沒有搞懂，不要不好意思多問，不要擔心老師會不耐煩。老師一定會給你第二步引導，第三次啟發。直到完全弄懂為止。

八、課外閲讀

儘可能多地參考一些書籍會使你開闊眼界，增長知識，加深理解。看參考書有兩種方式，第一種方法是精讀某一本書，實踐證明，在老師指導下，抓準一本參考書，精讀到底，如果你能熟讀了一本有代表性的參考書，再看其他參考書就會迎刃而解了。第二種方法是以問題為中心，有選擇地閲讀參考書，具體地説就是：如果你在大學數學的學習中的某一部分，或者某個問題有興趣，希望多瞭解一些，作比較深入的研究，那麼可以查閲幾本書，看一看其他書上對這個問題是怎樣論述的，自己可以做一個小結，這也是培養自己自學能力的一種重要方式。好的.輔導書可以幫助我們學好大學數學，但是使用輔導書要注意方法，不要僅僅停留於逐個地看例題，看得懂不等於會做，想到思路不等於做得完全正確。如果你想紮紮實實地提高自己解題能力，就要認真地、獨立地解題，通過自己動腦動手體會解題的思路、方法和技巧。

一、認清你的需要

為什麼需要學習數學，這是你首先需要想清楚的問題。數學學科子分類多、每一本數學書中都有許多定理和結論，需要花大量時間研究。而人的時間是寶貴的、有限的，所以你需要大體有一個目標和計劃，合理安排時間。

1.1 你的目標是精通數學、鑽研數學，以數學謀生，你可能立志掌握代數幾何，或者想精通前沿物理。那麼你需要打下堅實的現代代數、幾何以及分析基礎，你需要準備大量時間和精力，擁有堅定不移的決心。（要求：精通全部三級高等數學）

1.2 你的目標是能夠熟練運用高等數學，解決問題，掌握探索新應用領域的武器，你可能立志進入計算機視覺領域、經濟學領域或數據挖掘領域。那麼，你需要打下堅實的矩陣論、微積分以及概率統計基礎。（要求：精通第一級高等數學）

1.3 你的目標是想了解數學的樂趣，把學數學作為人生一大業餘愛好。那麼，你需要打下堅實的線性代數、數學分析、拓撲學以及概率統計基礎，對你來説，體會學數學的樂趣是一個更重要的目標。（精通第一級高等數學，在第二級高等數學中暢遊，嘗試接觸第三級高等數學）

二、給自己足夠的動力

學數學需要智力，更需要時間和精力。下面的幾個事實相大家都深有體會：

1. 凡是沒有用的東西，或者雖然有用，但是你用不到的東西，學得快忘得也快。不信你回憶一下你大一或者七年級的基礎課，你還記的清楚嗎？

2. 凡是你不感興趣（或者感覺不到樂趣）的東西，你很難堅持完成它。很多人都有這樣的經歷，一本書，前三章看的很仔細，後面就囫圇吞棗，越看越快，反正既沒意思也沒用。

3. 國小數學是中學數學的基礎，中學數學是高中數學的基礎，高中數學是大學數學的基礎（你可以以此類推）。

因此，無論你的目標是什麼，搞數學、用數學、還是體會數學的樂趣、滿足自己從少年時就有的夢想。學有所樂、學有所用，永遠是維持你動力不衰退的兩個最主要的因素。

三、高等數學學什麼？

好了，來看看標準大學數學的科技樹：

一級：

線性代數（矩陣論），數學分析，近世代數（羣環域），分別囊括了了幾何、分析和代數的基礎理論。別忘了還有概率論（建立在分析之上的一門基礎學科）。

二級：

有了這些基礎，接着是基礎的基礎、抽象和推廣：測度論（積分的基礎，當然也是概率論的基礎），拓撲學（有關集合、空間、幾何的一門極度重要的基礎學科），泛函分析（線性代數的推廣），複變函數（分析的推廣），常微分方程與偏微分方程（分析的推廣），數理統計和隨機過程（概率論的推廣），微分幾何（分析和幾何的結合）。

然後是一些小清新和應用學科：數值分析（算法），密碼學，圖形學，信息論，時間序列，圖論等等。

三級：

再往上是研究生課題，往往是代數、幾何和分析要一起上：微分流形、代數幾何、隨機動力學等等。

這個科技樹的三級，和國小、國中、高中數學很相似，一層學不精通，下一層看天書。

四、如何學習

4.1 適量做題

千萬千萬千萬不要狂做題。玩過戰略對抗遊戲的同學都知道，低級兵造幾個就行了，要攢錢出高級兵才能在後期取勝，低級兵不僅攻擊力低，還沒有好玩的魔法，它們存在的意義在於讓你有能力熬到後期。上面列舉了那麼多課程，你先花5年做完吉米諾維奇六本數學分析習題集，你就30歲了，後面的二級課程還沒開始學呢。因此，做一些課後習題，幫助你複習、思考、維持大腦運轉就行，要不斷地向後學。如果完全學不懂了，返回來做習題幫自己理清頭緒。

4.2 瞭解思想

數學的精髓不是做題的數量，而是掌握思想。每一個數學分支都有自己的主線思想和方法論，不同分支也有相互可供對比和借鑑的思維方式。留意它，模仿它，瑣碎的知識就串成了一條項鍊，你也就掌握了一門課。思想並不是讀一本教材就能輕易瞭解的，你要讀好幾本書，瞭解一些應用才能體會。舉兩個例子：

微積分的主線有這麼幾條：認識到微觀和宏觀是有聯繫的，微分用來刻畫事物如何變化，它把細節放大給你看，而積分用來刻畫事物的整體性質；微分和積分有時是描述一個現象的不同方式，這一點你在數學分析書中可能不容易發現，但是如果學點物理，就會發現麥克斯韋方程組同時有等價的微分形式和積分形式；積分變換能夠建立不同空間之間的的聯繫，建立空間和空間邊界的聯繫，這就是Stokes定理： 這個公式最遲要在微分流形中你才能一窺全貌。

矩陣是空間中線性變換的抽象，線性代數這門課的全部意義在於研究如何表達、化簡、分類空間線性變換算子；SVD分解不僅在應用學科用有極為廣泛的亮相，也是你理解矩陣的有力工具；矩陣是有限維空間上的線性算子，對"空間"的理解不僅能讓你重新認識矩陣，更為泛函分析的學習開了個好頭。

4.3 漸進式迂迴式學習，對比學習

很多時候，只讀一本書，可能由於作者在某處思維跳躍了一下，以後你就再也跟不上了。學習數學的一個訣竅，就是你同時拿到好幾本國際知名教材，相互對比着看，或者看完一本然後再看同一主題的另一本書，已經熟悉的內容跳過去，如果看不懂了，停下來思考或者做做習題，還是不懂則往後退一退，從能看懂的部分向前推進，當你看的多了，就會發現一個東西出現在很多地方，對它的理解就加深了。舉兩個例子：

外微分這個東西，國內有的數學分析書裏可能不介紹，我第一次遇到是在彭家貴的《微分幾何》裏，覺得這是個方便巧妙的工具；後來讀卓裏奇的《數學分析》和Rudin的《數學分析原理》，都講了這個東西，可見在西方外微分是一個基礎知識。你要讀懂它，可能要首先理解矩陣，明白行列式恰好是空間體積在矩陣的變換下拉伸的倍數，它是一種線性形式。最後，當你讀微分流形後，將發現外微分是獲得流形上的Stokes定理的工具。

點集拓撲學這個東西，搞應用用不到。但是但凡你想往深處學，這一門學科就必須要掌握，因為它提供對諸如開集、緊集、連續、完備等數學基本概念的精準刻畫。往後學泛函分析、微分流形，沒有這些概念你將寸步難行。首先你要讀芒克里斯的曠世名著《拓撲學》，接着在讀其他外國人寫的書時，或多或少都會接觸一些相關概念，你的理解就加深了，比如讀Rudin的《泛函分析》，開始就是介紹線性拓撲空間，前面的知識你就能用上了。

4.4 建立不同學科的聯繫

看到一個東西在很多地方用，你對它的理解就加深了，慢慢也就能體會到這個東西的精妙，最後你會發現所有的基礎學科相互交織，又在後續應用中相互幫助，切實體會到它們真的很基礎，很有用。這是一種體會數學樂趣的途徑。

4.5 關注應用學科

沒有什麼比應用更能激發你對新知識、新工具的渴望。找一些感興趣的應用學科教材，讀一讀，開闊眼界，為自己的未來積累資源。以下結合自己的專業（計算機視覺）和愛好説説一些優秀的專業書籍：

學了微積分，就可以無壓力閲讀《費恩曼物理學講義第一卷》，瞭解力、熱、光、時空的奧祕；學了偏微分方程，就可以無壓力閲讀《費恩曼物理學講義第二卷》，瞭解電的奧祕；學了矩陣論，可以買一本《計算機視覺中的多視圖幾何》，瞭解成像的奧祕，編程進行圖像序列的三維重建；學了概率論的同學應該會聽説過貝葉斯學派和頻率學派，這兩個學派的人把戰場拉到了機器學習領域，成就了兩本經典著作《Pattern Recognition And Machine Learning》和《TheElements of Statistical Learning》，讀了它們，我被基礎數學為機器學習領域提供的豐碩成果和深刻見解深深折服；讀了《Ray Tracing from the Ground Up》，自己寫了一個光線追蹤器渲染真實場景，它的基礎就是一點點微積分和矩陣......

高等數學的應用實在是太多了，如果你喜歡編程，自動化、機器人、計算機視覺、模式識別、數據挖掘、圖形圖像、信息論和密碼學......到處都有大量模型供你玩耍，而且只需要一點點高等數學。在這些領域，你可能能發現比數學書更有趣，也更容易找到工作的目標。

4.6 找有趣的書看

數學家寫的書有時是比較死板的，但是總有一些教材，它們的作者有強烈的慾望想向你展示"這個東西其實很有趣"，"這個東西完全不是你想的那個樣子"等等，他們成功了；還有些作者，他們喜歡把一個東西在不同領域的應用，和不同東西在某一領域的應用集中展示給你看。這樣的書會提供給你充足的樂趣讀下去。典型代表就是國內出版的一套《圖靈數學統計學叢書》，這一套書實在是太棒了，比如《線性代數應該這樣學》《複分析：可視化方法》《微分方程、動力系統與混沌導論》，個人認為都是學數學必讀的經典教材，非常非常有趣。

五、多讀書，讀好書

如果只有一句話概括如何培養數學能力，那麼就是這一句：多讀書，讀好書。因此這一步我想單獨拿出來多説兩句。

想必大家都十分精通並能熟練應用國小數學。想讀懂代數幾何，或者退一步，想讀懂信息論基礎，你就要挑幾本好的基礎教材，最好是外國人寫的，像掌握國小數學那樣掌握它。不要只看一本，找三本不同作者的書，對比着看，逐行逐字看。有的地方肯定看不懂，記下來，説不定在另一本書的某個地方就從另一個角度説到了這個東西。

如果你以後還要往後學，現在看到的每一個基礎定理，以後還會用到。

每一本基礎書，你今天放棄，明天還要乖乖重頭再來。

要像讀經文一樣，交叉閲讀對比不同教材內容的異同。

5.1. 推薦教材（其實就是我讀過的覺得好的書）：

第一級：

《線性代數應該這樣學》

卓裏奇《數學分析（兩冊）》（讀英文版吧，不難。有網友説這個還是不太簡單，那你可以先看個國內教材，然後回過頭來再看這個）

復旦大學《概率論》

第二級：

芒克里斯《拓撲學》

圖靈叢書的一些分冊

柯斯特利金《代數學引論》

Vapnik《統計學習理論的本質》

Rudin《數學分析原理》

Rudin《泛函分析》

Gamelin《複分析》

彭家貴《微分幾何》

Cover《信息論基礎》

第三級：

《微分流行與黎曼幾何》

《現代幾何學，方法與應用》三卷

5.2. 閲讀一些科普教材

《數學是什麼》

《高觀點下的初等數學》

《巴赫、埃舍爾、哥德爾》

《e的故事》

5.3. 閲讀各個領域最有趣、最活潑、最讓你長知識、最重視應用、文筆最易懂的教材和書籍

《費恩曼物理學講義》三冊

《混沌與分形：科學的新疆界》

《微分方程、動力系統與混沌導論》

《複分析：可視化方法》