數學專項旋轉體的知識點

1.在中學我們只研直圓柱、直圓錐和直圓台。所以對圓柱、圓錐、圓台的旋轉定義、實際上是直圓柱、直圓錐、直圓台的定義。

這樣定義直觀形象，便於理解，而且對它們的性質也易推導。

對於球的定義中，要注意區分球和球面的概念，球是實心的。

等邊圓柱和等邊圓錐是特殊圓柱和圓錐，它是由其軸截面來定義的，在實踐中運用較廣，要注意與一般圓柱、圓錐的區分。

2.圓柱、圓錐、圓和球的性質

（1）圓柱的性質，要強調兩點：一是連心線垂直圓柱的底面；二是三個截面的性質平行於底面的截面是與底面全等的圓；軸截面是一個以上、下底面圓的直徑和母線所組成的矩形；平行於軸線的截面是一個以上、下底的圓的弦和母線組成的矩形。

（2）圓錐的性質，要強調三點

①平行於底面的截面圓的性質：

截面圓面積和底面圓面積的比等於從頂點到截面和從頂點到底面距離的平方比。

②過圓錐的頂點，且與其底面相交的截面是一個由兩條母線和底面圓的弦組成的等腰三角形，其面積為：

易知，截面三角形的頂角不大於軸截面的頂角（如圖10-20），事實上，由BCAB，VC=VB=VA可得BVC.

由於截面三角形的頂角不大於軸截面的頂角。

所以，當軸截面的頂角90，有0＜90，即有

當軸截面的頂角＞90時，軸截面的面積卻不是最大的，這是因為，若90＜＜180時，1sin＞sin＞0.

③圓錐的母線l，高h和底面圓的半徑組成一個直徑三角形，圓錐的有關計算問題，一般都要歸結為解這個直角三角形，特別是關係式

l2=h2+R2

（3）圓台的性質，都是從圓台為截頭圓錐這個事實推得的，但仍要強調下面幾點：

①圓台的母線共點，所以任兩條母線確定的截面為一等腰梯形，但是，與上、下底面都相交的`截面不一定是梯形，更不一定是等腰梯形。

②平行於底面的截面若將圓台的高分成距上、下兩底為兩段的截面面積為S，則

其中S1和S2分別為上、下底面面積。

的截面性質的推廣。

③圓台的母線l，高h和上、下兩底圓的半徑r、R，組成一個直角梯形，且有

l2=h2+（R-r）2

圓台的有關計算問題，常歸結為解這個直角梯形。

（4）球的性質，着重掌握其截面的性質。

①用任意平面截球所得的截面是一個圓面，球心和截面圓圓心的連線與這個截面垂直。

②如果用R和r分別表示球的半徑和截面圓的半徑，d表示球心到截面的距離，則

R2=r2+d2

即，球的半徑，截面圓的半徑，和球心到截面的距離組成一個直角三角形，有關球的計算問題，常歸結為解這個直角三角形。