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羅素悖論的提出是基於這樣的一個事例：設想有這樣一羣理髮師，他們只給不給自己理髮的人理髮。假設其中一個理髮師符合上述的條件，不給自己理髮；然而按照要求，他必須要給自己理髮。但是在這個集合中沒有人會給自己理髮。（如果這樣的話，這個理髮師必定是給別人理髮還要給自己理髮）

1901年，伯特蘭·羅素悖論的發現打擊了他其中的一個數學家同事。在19世紀後期，弗雷格嘗試發展一個基本原理以便數學上能使用符號邏輯。他確立了形式表達式（如：x =2）和數學特性（如偶數）之間的聯繫。按照弗雷格理論的發展，我們能自由的用一個特性去定義更多更深遠的特性。

1903年，發表在《數學原理》上的羅素悖論從根本上揭示了弗雷格這種集合系統的侷限性。就現在而言，這種類型的集合系統能很好的用俗稱集的結構式來描述。例如，我們可以用 x代表整數，通過n來表示並且n大於3小於7，來表示4，5,6這樣一個集合。這種集合的書寫形勢就是：x={n：n是整數，3<n<7}。集合中的對象並不一定是數字。我們也可讓y={x：x是美國的一個男性居民}。

表面上看，似乎任何一個關於x的描述都有一個符合要求的空間。但是，羅素（和策梅洛一起）發現x={a：a不再a中}導致一個矛盾，就像對一羣理髮師的描述一樣。x它本身是在x的集合中嗎？否定的答案導致了矛盾的出現。

當羅素髮現了悖論，弗雷格立即就發現悖論對他的理論有致命的打擊。儘管這樣，他還不能解決這個問題,並且上世紀有很多的嘗試，去解決這個問題（但沒有成功）。

羅素自己對這個悖論的回答促進了類型理論的.形成。他解釋説，悖論的問題在於我們混淆了數集和數集的集合。所以，羅素介紹了對象的分級系統：數、數集、數集的集合等等。這個系統為形式化數學的形成奠定了基礎，至今它還應用於哲學研究和計算機科學分支。 策梅洛對於羅素悖論的解決方法用新的公理：對於任意公式A（x）和任意集合b，都會有一個集合滿足y={x：x既在b中又滿足A（x）}取代了以前的公理：對於任意公式A（x），都會有一個集合滿足y={x：x滿足A（x）}。

究竟是什麼樣的努力使數學邏輯基礎得以發展？現在數學家認識到這個領域可以用所謂的策梅洛-弗蘭克爾集合論來定義。形式化的語言包含符號，例如e表示“其中一個數”，=表示等於，□代表集合中沒有任何元素。那麼可以寫下一個公式B（x）：如果如果y e x，而y是空集。在集的結構式中我們可以這樣書寫：y={x：x=□}，或者更簡單y={□}。羅素悖論就成這樣：y={x：x不在x中}，那麼y是否在y中？