2017年小升中分班考試數學模擬試卷及答案
1.著名的數學家斯蒂芬 巴納赫於1945年8月31日去世，他在世時的某年的年齡恰好是該年份的算術平方根(該年的年份是他該年年齡的平方數).則他出生的年份是 _____ ，他去世時的年齡是 ______ .
【答案】1892年;53歲。
【解】 首先找出在小於1945，大於1845的完全平方數，有1936=442，1849=432，顯然只有1936符合實際，所以斯蒂芬 巴納赫在1936年為44歲.那麼他出生的年份為1936-44=1892年.他去世的年齡為1945-1892=53歲.
【提示】要點是：確定範圍，另外要注意的“潛台詞”：年份與相應年齡對應，則有年份-年齡=出生年份。
2.某國小即將開運動會，一共有十項比賽，每位同學可以任報兩項，那麼要有 ___ 人報名參加運動會，才能保證有兩名或兩名以上的同學報名參加的比賽項目相同.
【答案】46
【解】 十項比賽，每位同學可以任報兩項，那麼有 =45種不同的報名方法.那麼，由抽屜原理知為 45+1=46人報名時滿足題意.
3.如圖，ABCD是矩形，BC=6cm，AB=10cm，AC和BD是對角線，圖中的陰影部分以CD為軸旋轉一週，則陰影部分掃過的立體的體積是多少立方厘米?(π=3.14)
【答案】565.2立方厘米
【解】設三角形BOC以CD為軸旋轉一週所得到的立體的體積是S，S等於高為10釐米，底面半徑是6釐米的圓錐的體積減去2個高為5釐米，底面半徑是3釐米的圓錐的體積減去2個高為5釐米，底面半徑是3釐米的圓錐的體積。即：
S= ×62×10×π-2× ×32×5×π=90π，2S=180π=565.2(立方厘米)
【提示】S也可以看做一個高為5釐米，上、下底面半徑是3、6釐米的圓台的體積減去一個高為5釐米，底面半徑是3釐米的圓錐的體積。
4.如圖，點B是線段AD的中點，由A，B，C，D四個點所構成的所有線段的長度均為整數，若這些線段的長度的積為10500，則線段AB的長度是______。
【答案】5
【解】由A，B，C，D四個點所構成的線段有：AB，AC，AD，BC，BD和CD，由於點B是線段AD的中點，可以設線段AB和BD的長是x，AD=2x，因此在乘積中一定有x3。
對10500做質因數分解：10500=22×3×53×7，
所以，x=5,AB×BD×AD=53×2,AC×BC×CD=2×3×7,所以，AC=7，BC=2,CD=3,AD=10.
5.甲乙兩地相距60公里，自行車和摩托車同時從甲地駛向乙地.摩托車比自行車早到4小時，已知摩托車的速度是自行車的3倍，則摩托車的速度是 ______ .
【答案】30公里/小時
【解】 記摩托車到達乙地所需時間為“1”，則自行車所需時間為“3”，有4小時對應“3”-“1”=“2”，所以摩托車到乙地所需時間為4÷2=2小時.摩托車的速度為60÷2=30公里/小時.
【提示】這是最本質的行程中比例關係的應用，注意份數對應思想。
6. 一輛汽車把貨物從城市運往山區，往返共用了20小時，去時所用時間是回來的1.5倍，去時每小時比回來時慢12公里.這輛汽車往返共行駛了 _____ 公里.
【答案】576
【解】 記去時時間為“1.5”，那麼回來的時間為“1”.
所以回來時間為20÷(1.5+1)=8小時，則去時時間為1.5×8=12小時.
根據反比關係，往返時間比為1.5︰1=3︰2,則往返速度為2：3,
按比例分配，知道去的速度為12÷(3-2)×2=24(千米)所以往返路程為24×12×2=576(千米)。
7. 有70個數排成一排，除兩頭兩個數外，每個數的3倍恰好等於它兩邊兩個數之和.已知前兩個數是0和1，則最後一個數除以6的餘數是 ______ .
【答案】4
【解】 顯然我們只關係除以6的餘數，有0，1，3，2，3，1，0，5，3，，3，5，0，1，3，……
有從第1數開始，每12個數對於6的餘數一循環，因為70÷12=5……10，所以第70個數除以6的餘數為循環中的第10個數，即4.
【提示】找規律，原始數據的生成也是關鍵，細節決定成敗。
8. 老師在黑板上寫了一個自然數。第一個同學説：“這個數是2的倍數。”第二個同學説：“這個數是3的倍數。”第三個同學説：“這個數是4的倍數。”……第十四個同學説：“這個數是15的倍數。”最後，老師説：“在所有14個陳述中，只有兩個連續的陳述是錯誤的。”老師寫出的最小的自然數是 。
【答案】60060
【解】2，3，4，5，6，7的2倍是4，6，8，10，12，14，如果這個數不是2，3，4，5，6，7的倍數，那麼這個數也不是 4，6，8，10，12，14的倍數，錯誤的陳述不是連續的，與題意不符。所以這個數是2，3，4，5，6，7的倍數。由此推知，這個數也是 (2×5=)10，(3×4=)12，(2×7)14，(3×5=)15的倍數。在剩下的.8,9,11,13中，只有8和9是連續的，所以這個數不是8和 9的倍數。2，3，4，5，6，7，10，11，12，，13，14，15的最小公倍數是22×3×5×7×11×13=60060。
9. 小王和小李平時酷愛打牌，而且推理能力都很強。一天，他們和華教授圍着桌子打牌，華教授給他們出了道推理題。華教授從桌子上抽取了如下18張撲克牌：
紅桃A，Q，4 黑桃J，8，4，2，7，3，5
草花K，Q，9，4，6，lO 方塊A，9
華教授從這18張牌中挑出一張牌來，並把這張牌的點數告訴小王，把這張牌的花色告訴小李。然後，華教授問小王和小李，“你們能從已知的點數或花色中推斷出這張牌是什麼牌嗎?
小王：“我不知道這張牌。”
小李：“我知道你不知道這張牌。”
小王：“現在我知道這張牌了。”
小李：“我也知道了。”
請問：這張牌是什麼牌?
【答案】方塊9。
【解】小王知道這張牌的點數，小王説：“我不知道這張牌”，説明這張牌的點數只能是A，Q，4，9中的一個，因為其它的點數都只有一張牌。
如果這張牌的點數不是A，Q，4，9，那麼小王就知道這張牌了，因為A，Q，4，9以外的點數全部在黑桃與草花中，如果這張牌是黑桃或草花，小王就有可能知道這張牌，所以小李説：“我知道你不知道這張牌”，説明這張牌的花色是紅桃或方塊。現在的問題集中在紅桃和方塊的5張牌上。因為小王知道這張牌的點數，小王説：“現在我知道這張牌了”，説明這張牌的點數不是A，否則小王還是判斷不出是紅桃A還是方塊A。 因為小李知道這張牌的花色，小李説：“我也知道了”，説明這張牌是方塊9。否則，花色是紅桃的話，小李判斷不出是紅桃Q還是紅桃4。
【提示】在邏輯推理中，要注意一個命題真時指向一個結論，而其逆命題也是明確的結論。
10.從1到100的自然數中，每次取出2個數，要使它們的和大於100，則共有 _____ 種取法.
【答案】2500
【解】 設選有a、b兩個數，且a
當a為1時，b只能為100，1種取法;
當a為2時，b可以為99、100，2種取法;
當a為3時，b可以為98、99、100，3種取法;
當a為4時，b可以為97、98、99、100，4種取法;
當a為5時，b可以為96、97、98、99、100，5種取法;
…… …… ……
當a為50時，b可以為51、52、53、…、99、100，50種取法;
當a為51時，b可以為52、53、…、99、100，49種取法;
當a為52時，b可以為53、…、99、100，48種取法;
…… …… ……
當a為99時，b可以為100，1種取法.
所以共有1+2+3+4+5+…+49+50+49+48+…+2+1=502=2500種取法.
【拓展】從1-100中，取兩個不同的數，使其和是9的倍數，有多少種不同的取法?
【解】從除以9的餘數考慮，可知兩個不同的數除以9的餘數之和為9。通過計算，易知除以9餘1的有12種，餘數為2-8的為11種，餘數為0的有 11種，但其中有11個不滿足題意：如9+9、18+18……，要減掉11。而餘數為1的是12種，多了11種。這樣，可以看成，1-100種，每個數都對應11種情況。
11×100÷2=550種。除以2是因為1+8和8+1是相同的情況。
11. 已知三位數的各位數字之積等於10，則這樣的三位數的個數是 _____ 個.
【答案】6
【解】 因為10=2×5，所以這些三位數只能由1、2、5組成，於是共有 =6個.
12. 下圖中有五個三角形，每個小三角形中的三個數的和都等於50，其中A7=25，A1+A2+A3+A4=74，A9+A3+A5+A10=76，那麼A2與A5的和是多少?
【答案】25
【解】有A1+A2+A8=50，A9+A2+A3=50，A4+A3+A5=50，A10+A5+A6=50，A7+A8+A6=50，
於是有A1+A2+A8+A9+A2+A3+A4+A3+A5+A10+A5+A6+A7+A8+A6=250，
即(A1+A2+A3+A4)+(A9+A3+A5+A10)+A2+A5+2A6+2A8+ A7=250.
有74+76+A2+A5+2(A6+A8) + A7=250，而三角形A6A7A8中有A6+A7+A8=50，其中A7=25，所以A6+A8=50-25=25.
那麼有A2+A5=250-74-76-50-25=25.
【提示】上面的推導完全正確，但我們缺乏方向感和總體把握性。
其實，我們看到這樣的數陣，第一感覺是看到這裏5個50並不表示10個數之和，而是這10個數再加上內圈5個數的和。這一點是最明顯的感覺，也是重要的等量關係。再“看問題定方向”，要求第2個數和第5個數的和，説明跟內圈另外三個數有關係，而其中第6個數和第8個數的和是50-25=25,再看第 3個數，在加兩條直線第1、2、3、4個數和第9、3、5、10個數時，重複算到第3個數，
好戲開演：74+76+50+25+第2個數+第5個數=50×5
所以 第2個數+第5個數=25
