高二數學課後練習題及答案
選修2-2 1.1 第3課時 導數的幾何意義
一、選擇題
1.如果曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為x+2y-3=0，那麼()
A.f(x0)0 B.f(x0)0
C.f(x0)=0 D.f(x0)不存在
[答案] B
[解析] 切線x+2y-3=0的斜率k=-12，即f(x0)=-120.故應選B.
2.曲線y=12x2-2在點1，-32處切線的傾斜角為()
A.1 B.4
C.544
[答案] B
[解析] ∵y=limx0 [12(x+x)2-2]-(12x2-2)x
=limx0 (x+12x)=x
切線的斜率k=y|x=1=1.
切線的傾斜角為4，故應選B.
3.在曲線y=x2上切線的傾斜角為4的點是()
A.(0,0) B.(2,4)
C.14，116 D.12，14
[答案] D
[解析] 易求y=2x，設在點P(x0，x20)處切線的傾斜角為4，則2x0=1，x0=12，P12，14.
4.曲線y=x3-3x2+1在點(1，-1)處的切線方程為()
A.y=3x-4 B.y=-3x+2
C.y=-4x+3 D.y=4x-5
[答案] B
[解析] y=3x2-6x，y|x=1=-3.
由點斜式有y+1=-3(x-1).即y=-3x+2.
5.設f(x)為可導函式，且滿足limx0 f(1)-f(1-2x)2x=-1，則過曲線y=f(x)上點(1，f(1))處的切線斜率為()
A.2 B.-1
C.1 D.-2
[答案] B
[解析] limx0 f(1)-f(1-2x)2x=limx0 f(1-2x)-f(1)-2x
=-1，即y|x=1=-1，
則y=f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為-1，故選B.
6.設f(x0)=0，則曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處的切線()
A.不存在 B.與x軸平行或重合
C.與x軸垂直 D.與x軸斜交
[答案] B
[解析] 由導數的幾何意義知B正確，故應選B.
7.已知曲線y=f(x)在x=5處的切線方程是y=-x+8，則f(5)及f(5)分別為()
A.3,3 B.3，-1
C.-1,3 D.-1，-1
[答案] B
[解析] 由題意易得：f(5)=-5+8=3，f(5)=-1，故應選B.
8.曲線f(x)=x3+x-2在P點處的切線平行於直線y=4x-1，則P點的座標為()
A.(1,0)或(-1，-4) B.(0,1)
C.(-1,0) D.(1,4)
[答案] A
[解析] ∵f(x)=x3+x-2，設xP=x0，
y=3x20x+3x0(x)2+(x)3+x，
yx=3x20+1+3x0(x)+(x)2，
f(x0)=3x20+1，又k=4，
3x20+1=4，x20=1.x0=1，
故P(1,0)或(-1，-4)，故應選A.
9.設點P是曲線y=x3-3x+23上的任意一點，P點處的切線傾斜角為，則的取值範圍為()
A.0，23 B.0，56
C.23 D.2，56
[答案] A
[解析] 設P(x0，y0)，
∵f(x)=limx0 (x+x)3-3(x+x)+23-x3+3x-23x
=3x2-3，切線的斜率k=3x20-3，
tan=3x20-3-3.
0，23.故應選A.
10.(2016福州高二期末)設P為曲線C：y=x2+2x+3上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值範圍為[0，4]，則點P橫座標的取值範圍為()
A.[-1，-12] B.[-1,0]
C.[0,1] D.[12，1]
[答案] A
[解析] 考查導數的幾何意義.
∵y=2x+2，且切線傾斜角[0，4]，
切線的斜率k滿足01，即01，
-1-12.
二、填空題
11.已知函式f(x)=x2+3，則f(x)在(2，f(2))處的切線方程為________.
[答案] 4x-y-1=0
[解析] ∵f(x)=x2+3，x0=2
f(2)=7，y=f(2+x)-f(2)=4x+(x)2
yx=4+0 yx=4.即f(2)=4.
又切線過(2,7)點，所以f(x)在(2，f(2))處的切線方程為y-7=4(x-2)
即4x-y-1=0.
12.若函式f(x)=x-1x，則它與x軸交點處的切線的方程為________.
[答案] y=2(x-1)或y=2(x+1)
[解析] 由f(x)=x-1x=0得x=1，即與x軸交點座標為(1,0)或(-1,0).
∵f(x)=limx0 (x+x)-1x+x-x+1xx
=limx0 1+1x(x+x)=1+1x2.
切線的斜率k=1+11=2.
切線的方程為y=2(x-1)或y=2(x+1).
13.曲線C在點P(x0，y0)處有切線l，則直線l與曲線C的公共點有________個.
[答案] 至少一
[解析] 由切線的定義，直線l與曲線在P(x0，y0)處相切，但也可能與曲線其他部分有公共點，故雖然相切，但直線與曲線公共點至少一個.
14.曲線y=x3+3x2+6x-10的切線中，斜率最小的切線方程為________.
[答案] 3x-y-11=0
[解析] 設切點P(x0，y0)，則過P(x0，y0)的切線斜率為 ，它是x0的函式，求出其最小值.
設切點為P(x0，y0)，過點P的切線斜率k= =3x20+6x0+6=3(x0+1)2+3.當x0=-1時k有最小值3，此時P的座標為(-1，-14)，其切線方程為3x-y-11=0.
三、解答題
15.求曲線y=1x-x上一點P4，-74處的切線方程.
[解析] y=limx0 1x+x-1x-(x+x-x)x
=limx0 -xx(x+x)-xx+x+xx
=limx0 -1x(x+x)-1x+x+x=-1x2-12x .
y|x=4=-116-14=-516，
曲線在點P4，-74處的切線方程為：
y+74=-516(x-4).
即5x+16y+8=0.
16.已知函式f(x)=x3-3x及y=f(x)上一點P(1，-2)，過點P作直線l.
(1)求使直線l和y=f(x)相切且以P為切點的'直線方程;
(2)求使直線l和y=f(x)相切且切點異於點P的直線方程y=g(x).
[解析] (1)y=limx0 (x+x)3-3(x+x)-3x3+3xx=3x2-3.
則過點P且以P(1，-2)為切點的直線的斜率
k1=f(1)=0，
所求直線方程為y=-2.
(2)設切點座標為(x0，x30-3x0)，
則直線l的斜率k2=f(x0)=3x20-3，
直線l的方程為y-(x30-3x0)=(3x20-3)(x-x0)
又直線l過點P(1，-2)，
-2-(x30-3x0)=(3x20-3)(1-x0)，
x30-3x0+2=(3x20-3)(x0-1)，
解得x0=1(捨去)或x0=-12.
故所求直線斜率k=3x20-3=-94，
於是：y-(-2)=-94(x-1)，即y=-94x+14.
17.求證：函式y=x+1x圖象上的各點處的切線斜率小於1.
[解析] y=limx0 f(x+x)-f(x)x
=limx0 x+x+1x+x-x+1xx
=limx0 xx(x+x)-x(x+x)xx
=limx0 (x+x)x-1(x+x)x
=x2-1x2=1-1x21，
y=x+1x圖象上的各點處的切線斜率小於1.
18.已知直線l1為曲線y=x2+x-2在點(1,0)處的切線，l2為該曲線的另一條切線，且l1l2.
(1)求直線l2的方程;
(2)求由直線l1、l2和x軸所圍成的三角形的面積.
[解析] (1)y|x=1
=limx0 (1+x)2+(1+x)-2-(12+1-2)x=3，
所以l1的方程為：y=3(x-1)，即y=3x-3.
設l2過曲線y=x2+x-2上的點B(b，b2+b-2)，
y|x=b=limx0 (b+x)2+(b+x)-2-(b2+b-2)x
=2b+1，所以l2的方程為：y-(b2+b-2)=(2b+1)(x-b)，即y=(2b+1)x-b2-2.
因為l1l2，所以3(2b+1)=-1，所以b=-23，所以l2的方程為：y=-13x-229.
(2)由y=3x-3，y=-13x-229，得x=16，y=-52，
即l1與l2的交點座標為16，-52.
又l1，l2與x軸交點座標分別為(1,0)，-223，0.
所以所求三角形面積S=12-521+223=12512.
