六年級奧數知識講解：餘數、同餘與週期

六年級奧數知識講解：餘數、同餘與週期

一、同餘的定義：

①若兩個整數a、b除以m的餘數相同，則稱a、b對於模m同餘。

②已知三個整數a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對於模m同餘，記作a≡b(mod m)，讀作a同餘於b模m。

二、同餘的性質：

①自身性：a≡a(mod m)；

②對稱性：若a≡b(mod m)，則b≡a(mod m)；

③傳遞性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，則a≡ c(mod m)；

④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，則a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；

⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，則a×c≡ b×d(mod m)；

⑥乘方性：若a≡b(mod m)，則an≡bn(mod m)；

⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整數c，則a×c≡ b×c(mod m×c)；

三、關於乘方的預備知識：

①若A=a×b，則MA=Ma×b=（Ma）b

②若B=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md

四、被3、9、11除後的餘數特徵：

①一個自然數M，n表示M的`各個數位上數字的和，則M≡n(mod 9)或（mod 3）；

②一個自然數M，X表示M的各個奇數位上數字的和，Y表示M的各個偶數數位上數字的和，則M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；

五、費爾馬小定理：

如果p是質數（素數），a是自然數，且a不能被p整除，則ap-1≡1(mod p)。