解析中學數學的解題方法

1 中學數學教學的邏輯特點

（1）思維抽象，邏輯表述符號化。數學老師的課堂表述，旨在準確表述某個概念或判斷。較之靈活、形象的文學語言，中學數學老師的這種表述語言的確枯燥，尤其是對於那些語文基礎不佳的學生，估且不論學生是否理解，就連表述本身的內在邏輯性也未必明瞭，如再遇到普通話不好、表述含糊的數學老師，其課堂接受效果可想而知，何談師生之間的思維同步、愉悦教學？實踐印證，但凡令學生滿意的中學數學老師，無不熟諳教材、精通題型，尤其是課堂邏輯表述，均有其優長之處――善抓要點、精煉抽象、邏輯清晰；而不擇要點、邏輯含糊者，即便是尖子生也往往心生不悦。

（2）符號簡約，邏輯關係內在化。中學數學的邏輯關係，儘管是以特定的數學符號加以表述或陳列，但均有其內在的數學邏輯性；欲依據顯現的條件洞悉或推導未知要素，只有從其內在數學邏輯上入手，方能由已知求未知，即已知與未知之間，必有某種內在聯繫，只要洞悉了箇中的聯繫性，問題也就迎刃而解了。以相交線一節中的垂線為例，應表述為：“兩條直線相互垂直，其中的一條直線是另一條直線的垂線”；又如，同位角、內錯角、同旁內角，無非是一條直線與兩條直線分別相交，各角之間的關係而已。無可質疑的是，中學數學的題型、難易設置，多為循序漸進、逐步增難。

（3）嚴密自然，邏輯論證據理化。中學數學的列式與推導，每一步都基於命題、公式、定理等，且只能用數學思維破解或論證。換言之，中學數學教學語言必須兼具兩方面要因，一是表述某一概念或題意時，必須表述準確、論據可靠；二是解題過程中，前後順序和邏輯關係必須嚴密無隙。就此而言，一個出色的中學數學老師，必定是位深諳形式邏輯學，並能夠依照數學的相關符號融入自己的理解，嚴密自然的將題意或要點表述於課堂的語言大師；數學教學語言失之於縝密嚴謹，又能講好數學課者幾近於零。因此，中學數學老師不妨讀點形式邏輯學方面的書籍，必裨益於課堂教學效果。

（4）命題複雜，邏輯推導假設化。中學數學的對比、分析、綜合、歸納，多基於理或公理，儘管命題複雜，但其邏輯推導過程卻充滿了數學趣味，只要抓住規律與要點，再難的問題也有其解法，且不乏多種解法。以題設和結論為例，如：如果兩條直線與第三條直線平行（題設），那麼這兩條直線也互相平行（結論）。此為簡單命題，複雜命題常以另一種假設句表述，即“如果……那麼……”的形式。如此表述時，“如果”後是題設，“那麼”後是結論。當然，有些命題的題設和結論並不明顯，需要分析才能找出，例如，命題“對頂角相等”可寫成“如果兩個角是對頂角，那麼這兩個角相等”。

（5）富於情趣，邏輯思維生活化。中學數學老師未必要講故事，但題型導入絕對少不了故事，尤其是貼近學生生活的疑難故事。如講平面直角座標時，有經驗的老師會這麼問：“去電影院看電影時，如何迅速找到自己的座位呢？”聞此，同學們自然會想到按電影票上的“排數”和“號數”對號入座；按此思維，再問：“假如你參加奧運會開幕式表演，怎樣才能在數千人的表演陣容中，準確找到自己的站立點？”如此貼近生活的設疑，自然會激發學生對平面直角座標的興趣，並由此聯想到更為廣闊的大地座標、航海定位等事項。中學數學教學語言的情趣化、生活化，意在貼近生活、拓寬思維。

（6）貴在啟智，邏輯結構留白化。中學數學老師未必懂得書畫，但有一點卻與書畫家極其相近――邏輯結構留白，即在授課過程中，不論時間是否充裕，都要適度留有讓學生稍加思考或發問的時間，其作用看似簡單的停頓或交流，實則如同書畫家在其作品上所留的相應空白。如品讀南宋馬遠的《寒江獨釣圖》，畫中僅有一個漁翁在雪中垂釣，卻給人以豐富的'藝術想象。中學數學老師的“課堂留白”，既是師生之間的解惑問疑，也是學生進一步理解、消化所學內容之必須。況且，就中學生注意力特點而言，“滿堂灌”極易使學生睏乏疲勞，適度的“留白”無疑更有益於學生消化理解所學內容。

2 中學數學解題的思維路徑

（1）準確審題，隱含條件定思路。眾所周知，士兵在射擊比武中，無論其射擊技術多麼高超，扣動扳擊之前都必須瞭然目標的距離、方位、大小及要害所在，至少要基本上清楚，方能有的放矢。同理，面對複雜的中學數學題，欲順利、正確解題，也有一個準確審題的問題。須知，審題是解題的前提，而且是無可繞過的前提――不知題型題意，提筆就解極易因理解不全、不準而白費功夫。審題的要點在於：一是首先弄清題意，尤其是吃透其命題的數學邏輯關係；二是通過該邏輯結構，從數學的內在規律上洞悉給出的隱含的條件，為進一步求證或推導確認正確解題思路。

（2）巧於做熟，轉化點上覓蹊徑。商海創業經驗中，有一則普遍認同的成功要訣――做熟不做生，即不要輕易投身陌生的領域，尤其是在毫無該領域的經驗與技術時。同理，在破解中學數學的各類問題時，也存在一個做熟不做生的祕訣。這裏所説的熟，意指那些已經學過、掌握、熟知的定理、定義、公式及推導方式等，而生則是暫且尚未接觸和了解的陌生知識與技巧。如何做熟？就規律而言，主要有四個轉化點：一是將問題一般化的方法；二是將問題特殊化的方法；三是將問題一步步進行肢解的方法；四是將問題轉為其它形式或題型的方式。靈活運用上述“四法”，也便遊刃有餘了。 （3）功於積累，循序善誘拓思路。處身中學數學老師崗位，無論教齡長短，皆有其自己的教學優長：初為人師，雖説談不上教學經驗，但課堂反映敏捷、思維活躍，加之年紀與中學生相近，共同語言多一些，交流起來了無代溝障礙，很快會被學生所接納。值得注意的是，此類數學老師往往性格帥直、耐性不足，易與學生（同性別居多）發生矛盾，如能揚長避短、注意修養，並功於教學經驗與解題方法的累積，勢必更受中學生的青睞；年長的老師，基於職業、專業的多年曆練與積累，每人都有一套獨屬於自己的思維方式與解題策略，如克服過於自負、完美的積習，則為學生之幸。

（4）把握規律，吃透例題巧推敲。任何一部教材，只要是經國家教育部審定的義務教育教科書，編寫中都疑聚了參與課改的教育專家、學科專家、教研人員及一線教師的共同智慧，並在內容設置上按着各學科的教學特點與要求，遵循“由易至難、循序漸進、內在聯繫、梯次設置”的原則。以中學數學中的“平方根”一節為例，欲全面、細緻地掌握此節，只要認真領會其中的“問題、練習、探究、思考、歸納”部分即可，無須捨本逐末另做所謂的“題海”。其原因在於，吃透上述部分，也便把握了此節課的精髓，如能引導學生吃透教材，也便事半而功倍了。

（5）自我質疑，一題多解窮思路。中學數學教學不怕學生記憶力差，也不怕學生基礎差，就怕學生的思維滯後。遇此苦惱大可不必傷神，只要有意傳授一些思維方式，即可謂授之以“漁術”。思維心理學認為，人至少有53種思維方式，如發散思維、系統思維、鏈條思維、逆向思維、求同思維、求異思維等。其實，不必全然瞭解，只精通其中幾個也就足矣。僅以“求異思維”為例，在順利破解某道難題後，如能自覺質疑――此題屬何種類型？此類型的解題依據是什麼？各要點之間有何關聯？出題思路與解題思路上，至少有幾種排列與組合？如是窮盡式思維，必能受益匪淺。

（6）暫且擱置，潛意識下尋突破。數學教學是否有必要藉助潛意識？答案是肯定的，無論是老師還是學生，都有這種經歷――遇到百思不解的難題時，索性暫且擱置一邊，改忙別的事情。然而，不知何故居然在夢裏、坐車、洗澡時，難題卻恍然大悟、茅塞頓開，這就是常被人忽視的潛意識作用。心理學認為，潛意識藴藏着人在有意無意間所感知或認知的信息，並能夠將它們自動的排列、組合、分類，進而產生一種新的信念，並多在心態放鬆狀態下出現。教學中，為培養學生獨立思考問題的能力，對那些可隔日揭謎的難題，不妨給學生一個潛意識思考的機會，或更有益。

（7）歸類研習，立體推進明思路。中學數學教師最苦惱的，莫過於學習態度、勤奮精神皆不成問題，仍無學科長進良策。對此，教師固然要反思教學思路與教學方法，但作為學生也應主動尋求一條更為適合的學習方法。對此，某高材生的經驗或可借鑑：中學階段，數學成績平平的他獨創了一種“歸類研習，立體推進”的學習方法，即買來幾本與教材同步的參考書，老師講到哪節，認真閲讀教材、吃透例題後，再橫向參考、立體研習、多維思考，重點解決歸類思考、多維求解的思路問題。如是堅持，雖未再通宵達旦苦讀，成績卻顯著提高，遠超埋身於“題海戰術”的同學。

3 結語

中學數學教學，看擬單純的數學學科，實則構建於紮實的語文基礎之上。語文基礎不紮實，就無法準確理解與把握題意及內在要點的關聯性；出色的中學數學老師，尤不可或缺形式邏輯素養。換言之，惟其邏輯表述清晰、明瞭，學生才能準確理解、同步思考。基於此，各種解題方法及思維路徑，也便水到渠成。