國小數學難題解法之巧妙解題方法

文章摘要：使用正確的解題方法不但可以大大加快解題的速度而且可以提高解題的正確率。為此，數學頻道編輯部整理了一些巧妙的解題方法，以便同學們更好的去學習這些知識。

模式法

在解決問題時，尋找模式的思考方法是一種十分有效的策略。運用這種方法時，從問題的最簡單例子或其變式着手，根據這些具體例子來發現其中的模式或規則，然後以此來獲取問題的一般解。

尋找模式，提出並檢驗猜想以及用公式表示判斷準則，雖然不是數學的全部內容，但它們是數學思想、思維、概括數學知識的核心問題。

例1 階梯問題：造4步的階梯需要方塊10個，造10步的階梯需要多少塊?造20步的需要多少塊?

4步的階梯，第一步用1塊，第二步用2塊(右邊第二列)，第三步用3塊，等等。

加起來就得到所需的總數：

1+2+3+4=10

建造10步的階梯，可從四步的階梯開始首先加上第五步的5塊這一列，隨之是第六步的6塊這一列，等等，直到第10步。總數是：

1+2+3+……+9+10=55(塊)

不難發現這樣的模式：每加上一步所需的'塊數正好是這一步的順序數。因此把1到20的整數相加就可得到20步階梯的方塊總數。然而要計算這個總和比較麻煩。要直接得到這個總和，除非有個計算公式。如果學生不熟悉這種公式，則可以從以下的數字資料中去尋找可能模式：

4步階梯 需要10塊

10步階梯 需要55塊

能否察覺步數與所需塊數之和間的關係?從僅有的兩個例子來發現模式是有困難的，需要考察更多的特殊例子。為此可把一些比較簡單的例子集中起來，將有關數據記錄在表中。

讓學生試着去發現步數與所需塊數之間的關係。因關係很不明顯，學生只能看出得數是整數。這時如能作出一個猜想，並進而檢驗這個猜想，便是解決這個問題的良好開端。學生可以思考4與10、5與15、7與28等等有着怎樣的關係。

幾次“追蹤”後，可給學生指出(4×5)÷2=10，同樣地(5×6)÷2=15。於是學生似乎感到有法則可依循。然後再一起來檢驗這個法則：(6×7)÷2=21，……(10×11)÷2=55，學生猜測幾步階梯所需的方塊數總和是由公式n(n+1)÷2來確定的。在這個時候學生有理由相信20步階梯所需的總塊數是(20×21)÷2=210。但還不能完全肯定這個結果。

我們所以要尋求規律，目的是要能夠以此作出一個可以導致解決問題的一般公式的猜想或假設。但這必須小心謹慎，因為往往會出現所作的猜想對列舉的例子是成立的，而對於一般化的問題卻不成立的情況。

只有猜想得到了證明，才是求得了一般解的公式，為此必須確立猜想的有效性。可以通過以下兩者之一來實現：

(1)歸納。證明法則在第一個例子中是成立的、假定對某個給定的例子的前面所有例子都成立，證明某個給定的例子後一個例子也成立，由此可證得猜想成立。

(2)演繹。根據已知的事實，通過邏輯推理而導出。只有在這時猜想才可稱作判斷準則。如果能找出一個不滿足猜想的例子，則就足以否定猜想的有效性。

怎樣確定階梯的步數與所需的塊數之間的假設關係是有效的呢?學生猜測所需的方塊數是由n(n+1)÷2式確定的。n是步數，學生可以通過實驗來驗證這個猜想。在建造階梯的過程中學生已經看到，如果有n步，需要的塊數是前n個自然數的和，即

1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n

如果第一個數加最後一個數，和是n+1;第二個數加上倒數第二個數，得2+(n-1)=n+1;第三個數加上倒數第三個數，得3+(n-2)=n+1。同樣的方法連續配對相加，各對數的和均是n+1。

這就是所作的猜想。這樣，就得到了判斷前n個自然數的和的方法即法則，同時也解決了原先的問題。

例2 根據模式

你能預測下圖的結果嗎?

仔細審視考察表：

可以作出何種猜想?分析這個表可發現區域數是由公式2n-1確定的，其中n是點子數。n=1、2、3、4、5都是正確的。

根據相應的法則，6個點的區域數應是數26-1=32，但實際上不是這個數字，而是30或31(見圖)。所以這個猜想不能概括為法則。