高三數學幾何複習指導

天津市第四十二中學 張鼎言

由|-|⊥|-|：x1x2+y1y2

=-=0

3m2=2b2(k2+1) (*)

lOD：y=--x

-

x2+y2=-+-

=-=-

由(*) 3g-=2b2

x2+y2=-gb2

若k→∞→|x1|=|y1|

由原方程-+-=1

x12=-b2，D(x1，0)在軌跡上

若k=0

-+-=1，y22=-b2，D(0，y2)

∴D也在軌跡上

注：本題(Ⅱ)是過兩點的直線與橢圓相交，設直線方程一般不用二點式，而採用y=kx+m形式。這是涉及兩個參數k、m，消參的過程就是把幾何條件(這裏是|-|⊥|-|)變成等量關係，通過等量關係(這裏是3m2=2b2(k2+1))減少參數個數。

2. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點在拋物線y=2x2上，l是AB的垂直平分線。

(Ⅰ)當且僅當x1+x2取何值時，直線l經過拋物線的焦點F?證明你的結論;

(Ⅱ)當直線l的斜率為2時，求l在y軸上截距的取值範圍。

解：(Ⅰ)x2=-y，F(0，-)，準線方程y=--

∵A(x1，y1)，B(x2，y2)在拋物線上，l垂直平分AB且過焦點F，

∴|FA|=|FB|

由拋物線定義：|FA|=y1-(--)=|FB|=y2-(--)

∴y1=y2，2x12=2x22，2(x1+x2)(x1-x2)=0，

∵A、B是兩個不同點，∴x1≠x2

∴x1+x2=0是所求結論。

(Ⅱ) l：y=2x+b，求b的'範圍?

這裏直線l與拋物線沒有直接的關係，因此l必須藉助直線lAB，l是線段AB垂直平分線，把l與lAB連接起來，由lAB與拋物線關係，再回到直線l上來。

lAB：y=--x+m，且過(-，-)

-

△=-+8m0，m--

x1+x2=--，-=--，

y1+y2=--(x1+x2)+2m，-=-+m

又(-，-)在直線上，-+m=--+b，

b=m+---+-=-

注：本題難點是由l轉化為lAB，反過來再由lAB回到l上來。本例提示了一條有普遍意義的規律，有關係較遠的兩個“元素”之間的關係，轉化為關係較近的“元素”之間的關係，再回到原來“元素”之間的關係。

3. 雙曲線C與橢圓-+-=1有相同的焦點，直線y=-x為C的一條漸近線。

(1)求雙曲線C的方程;

(2)過點P(0，4)的直線l，交雙曲線C於A、B兩點，交x軸於Q點(Q點與C的頂點不重合)。當-=λ1-=λ2-，且λ1+λ2=--時，求Q點的座標。

解：(Ⅰ)由-+-=1→c=2， 又-=-

∴雙曲線C的方程為x2--=1