高一數學知識點

函數圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角座標系中，以函數y=f(x),(x∈A)中的x為橫座標，函數值y為縱座標的點P(x，y)的函數C，叫做函數y=f(x),(x∈A)的圖象.C上每一點的座標(x，y)均滿足函數關係y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為座標的點(x，y)，均在C上.

(2)畫法

A、描點法：

B、圖象變換法

常用變換方法有三種

1)平移變換

2)伸縮變換

3)對稱變換

4.高中數學函數區間的概念

(1)函數區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間

(2)無窮區間

5.映射

一般地，設A、B是兩個非空的函數，如果按某一個確定的對應法則f，使對於函數A中的任意一個元素x，在函數B中都有確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：AB為從函數A到函數B的一個映射。記作“f(對應關係)：A(原象)B(象)”

對於映射f：A→B來説，則應滿足：

(1)函數A中的每一個元素，在函數B中都有象，並且象是的;

(2)函數A中不同的元素，在函數B中對應的象可以是同一個;

(3)不要求函數B中的每一個元素在函數A中都有原象。

6.高中數學函數之分段函數

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。

(2)各部分的自變量的取值情況.

(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的並集.

補充：複合函數

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的複合函數。

集合與函數概念

一、集合有關概念

1、集合的含義

2、集合的中元素的三個特性：

（1）元素的確定性如：世界上最高的山

（2）元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H，A，P，Y}

（3）元素的無序性：如：{a，b，c}和{a，c，b}是表示同一個集合

3、集合的表示：{…}如：{我校的籃球隊員}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}

（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員}，B={1，2，3，4，5}

（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。

注意：常用數集及其記法：XKb1、Com

非負整數集（即自然數集）記作：N

正整數集：N或N+

整數集：Z

有理數集：Q

實數集：R

1）列舉法：{a，b，c……}

2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合{x？R|x—3>2}，{x|x—3>2}

3）語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4）Venn圖：

4、集合的分類：

（1）有限集含有有限個元素的集合

（2）無限集含有無限個元素的集合

（3）空集不含任何元素的集合

二、集合間的基本關係

1、“包含”關係—子集

注意：有兩種可能

（1）A是B的一部分；

（2）A與B是同一集合。

反之：集合A不包含於集合B，或集合B不包含集合A，記作AB或BA

2、“相等”關係：A=B（5≥5，且5≤5，則5=5）

實例：設A={x|x2—1=0}B={—1，1}“元素相同則兩集合相等”

即：

①任何一個集合是它本身的子集。A？A

②真子集：如果A？B，且A？B那就説集合A是集合B的真子集，記作AB（或BA）

③如果A？B，B？C，那麼A？C

④如果A？B同時B？A那麼A=B

3、不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

4、子集個數：

有n個元素的集合，含有2n個子集，2n—1個真子集，含有2n—1個非空子集，含有2n—1個非空真子集。

三、集合的運算

運算類型交集並集補集

定義由所有屬於A且屬於B的元素所組成的集合，叫做A，B的交集、記作AB（讀作‘A交B’），即AB={x|xA，且xB｝、

由所有屬於集合A或屬於集合B的元素所組成的集合，叫做A，B的並集、記作：AB（讀作‘A並B’），即AB={x|xA，或xB}）、

基本初等函數

一、指數函數

（一）指數與指數冪的運算

1、根式的概念：一般地，如果，那麼叫做的次方根（nthroot），其中>1，且∈，當是奇數時，正數的次方根是一個正數，負數的次方根是一個負數、此時，的次方根用符號表示、式子叫做根式（radical），這裏叫做根指數（radicalexponent），叫做被開方數（radicand），當是偶數時，正數的次方根有兩個，這兩個數互為相反數、此時，正數的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號—表示、正的次方根與負的次方根可以合併成±（>0）、由此可得：負數沒有偶次方根。

2、分數指數冪

正數的分數指數冪的意義，規定：0的正分數指數冪等於0，0的負分數指數冪沒有意義

指出：規定了分數指數冪的意義後，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那麼整數指數冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪。

3、實數指數冪的運算性質

（二）指數函數及其性質

1、指數函數的概念：一般地，函數叫做指數函數（exponential），其中x是自變量，函數的定義域為R。

注意：指數函數的底數的取值範圍，底數不能是負數、零和1。

2、指數函數的圖象和性質

二、函數的應用

1、函數零點的概念：對於函數，把使成立的實數叫做函數的零點。

2、函數零點的意義：函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫座標。即：方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點。

求函數的零點：

1（代數法）求方程的實數根；

2（幾何法）對於不能用求根公式的方程，可以將它與函數的圖象聯繫起來，並利用函數的`性質找出零點。

二次函數：

1）△>0，方程有兩不等實根，二次函數的圖象與軸有兩個交點，二次函數有兩個零點。

2）△=0，方程有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點。

3）△<0，方程無實根，二次函數的圖象與軸無交點，二次函數無零點。

1、柱、錐、台、球的結構特徵

(1)稜柱：

定義：有兩個面互相平行，其餘各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三稜柱、四稜柱、五稜柱等。

表示：用各頂點字母，如五稜柱或用對角線的端點字母，如五稜柱

幾何特徵：兩底面是對應邊平行的全等多邊形;側面、對角面都是平行四邊形;側稜平行且相等;平行於底面的截面是與底面全等的多邊形。

(2)稜錐

定義：有一個面是多邊形，其餘各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三稜錐、四稜錐、五稜錐等

表示：用各頂點字母，如五稜錐

幾何特徵：側面、對角面都是三角形;平行於底面的截面與底面相似，其相似比等於頂點到截面距離與高的比的平方。

(3)稜台：

定義：用一個平行於稜錐底面的平面去截稜錐，截面和底面之間的部分

分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三稜態、四稜台、五稜台等

表示：用各頂點字母，如五稜台

幾何特徵：①上下底面是相似的平行多邊形②側面是梯形③側稜交於原稜錐的頂點

(4)圓柱：

定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉，其餘三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特徵：①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側面展開圖是一個矩形。

(5)圓錐：

定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸，旋轉一週所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特徵：①底面是一個圓;②母線交於圓錐的頂點;③側面展開圖是一個扇形。

(6)圓台：

定義：用一個平行於圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特徵：①上下底面是兩個圓;②側面母線交於原圓錐的頂點;③側面展開圖是一個弓形。

(7)球體：

定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一週形成的幾何體

幾何特徵：①球的截面是圓;②球面上任意一點到球心的距離等於半徑。

2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖(光線從幾何體的前面向後面正投影);側視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關係，即反映了物體的高度和長度;

俯視圖反映了物體左右、前後的位置關係，即反映了物體的長度和寬度;

側視圖反映了物體上下、前後的位置關係，即反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法

斜二測畫法特點：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變;②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。

知識點總結

本節知識包括函數的單調性、函數的奇偶性、函數的週期性、函數的最值、函數的對稱性和函數的圖象等知識點。函數的單調性、函數的奇偶性、函數的週期性、函數的最值、函數的對稱性是學習函數的圖象的基礎，函數的圖象是它們的綜合。所以理解了前面的幾個知識點，函數的圖象就迎刃而解了。

一、函數的單調性

1、函數單調性的定義

2、函數單調性的判斷和證明：(1)定義法 (2)複合函數分析法 (3)導數證明法 (4)圖象法

二、函數的奇偶性和週期性

1、函數的奇偶性和週期性的定義

2、函數的奇偶性的判定和證明方法

3、函數的週期性的判定方法

三、函數的圖象

1、函數圖象的作法 (1)描點法 (2)圖象變換法

2、圖象變換包括圖象：平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換。

常見考法

本節是段考和大學聯考必不可少的考查內容，是段考和大學聯考考查的重點和難點。選擇題、填空題和解答題都有，並且題目難度較大。在解答題中，它可以和高中數學的每一章聯合考查，多屬於拔高題。多考查函數的單調性、最值和圖象等。

誤區提醒

1、求函數的單調區間，必須先求函數的定義域，即遵循“函數問題定義域優先的原則”。

2、單調區間必須用區間來表示，不能用集合或不等式，單調區間一般寫成開區間，不必考慮端點問題。

3、在多個單調區間之間不能用“或”和“ ”連接，只能用逗號隔開。

4、判斷函數的奇偶性，首先必須考慮函數的定義域，如果函數的定義域不關於原點對稱，則函數一定是非奇非偶函數。

5、作函數的圖象，一般是首先化簡解析式，然後確定用描點法或圖象變換法作函數的圖象。

(1)直線的傾斜角

定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與x軸平行或重合時，我們規定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值範圍是0°≤α180°

(2)直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當時，。當時，;當時，不存在。

②過兩點的直線的斜率公式：

注意下面四點：(1)當時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°;

(2)k與P1、P2的順序無關;

(3)以後求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的座標直接求得;

(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的座標先求斜率得到。

(3)直線方程

①點斜式：

直線斜率k，且過點

注意：當直線的斜率為0°時，k=0，直線的方程是y=y1。當直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示.但因l上每一點的橫座標都等於x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b

③兩點式：()直線兩點，

④截矩式：

其中直線與軸交於點,與軸交於點,即與軸、軸的截距分別為。

⑤一般式：(A，B不全為0)

⑤一般式：(A，B不全為0)

注意：○1各式的適用範圍

○2特殊的方程如：平行於x軸的直線：

(b為常數);平行於y軸的直線：

(a為常數);

(4)直線系方程：即具有某一共同性質的直線

(一)平行直線系

平行於已知直線(是不全為0的常數)的直線系：(C為常數)

(二)過定點的直線系

(ⅰ)斜率為k的直線系：，直線過定點;

(ⅱ)過兩條直線，的交點的直線系方程為(為參數)，其中直線不在直線系中。

(5)兩直線平行與垂直

當時注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。

(6)兩條直線的交點

相交

交點座標即方程組的一組解。方程組無解;方程組有無數解與重合

(7)兩點間距離公式：設是平面直角座標系中的兩個點，則

(8)點到直線距離公式：一點到直線的距離

(9)兩平行直線距離公式：在任一直線上任取一點，再轉化為點到直線的距離進行求解。

(1)順序結構：順序結構是最簡單的算法結構，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進行的，它是由若干個依次執行的處理步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一種基本算法結構。

順序結構在程序框圖中的體現就是用流程線將程序框自上而下地連接起來，按順序執行算法步驟。如在示意圖中，A框和B框是依次執行的，只有在執行完A框指定的操作後，才能接着執行B框所

指定的操作。

(2)條件結構：條件結構是指在算法中通過對條件的判斷根據條件是否成立而選擇不同流向的

算法結構。

條件P是否成立而選擇執行A框或B框。無論P條件是否成立，只能執行A框或B框之一，不可能同時執行

A框和B框，也不可能A框、B框都不執行。一個判斷結構可以有多個判斷框。

(3)循環結構：在一些算法中，經常會出現從某處開始，按照一定條件，反覆執行某一處理步驟的情況，這就是循環結構，反覆執行的處理步驟為循環體，顯然，循環結構中一定包含條件結構。循環結構又稱重複結構，循環結構可細分為兩類：

①一類是當型循環結構，如下左圖所示，它的功能是當給定的條件P成立時，執行A框，A框執行完畢後，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執行A框，如此反覆執行A框，直到某一次條件P不成立為止，此時不再執行A框，離開循環結構。

②另一類是直到型循環結構，如下右圖所示，它的功能是先執行，然後判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則繼續執行A框，直到某一次給定的條件P成立為止，此時不再執行A框，離開循環結構。

注意：1循環結構要在某個條件下終止循環，這就需要條件結構來判斷。因此，循環結構中一定包含條件結構，但不允許“死循環”。

2在循環結構中都有一個計數變量和累加變量。計數變量用於記錄循環次數，累加變量用於輸出結果。計數變量和累加變量一般是同步執行的，累加一次，計數一次。

1.進行集合的交、並、補運算時，不要忘了全集和空集的特殊情況，不要忘記了藉助數軸和文氏圖進行求解.

2.在應用條件時，易A忽略是空集的情況

3.你會用補集的思想解決有關問題嗎?

4.簡單命題與複合命題有什麼區別?四種命題之間的相互關係是什麼?如何判斷充分與必要條件?

5.你知道“否命題”與“命題的否定形式”的區別.

6.求解與函數有關的問題易忽略定義域優先的原則.

7.判斷函數奇偶性時，易忽略檢驗函數定義域是否關於原點對稱.

8.求一個函數的解析式和一個函數的反函數時，易忽略標註該函數的定義域.

9.原函數在區間[-a,a]上單調遞增，則一定存在反函數，且反函數也單調遞增;但一個函數存在反函數，此函數不一定單調.例如：.

10.你熟練地掌握了函數單調性的證明方法嗎?定義法(取值,作差,判正負)和導數法

11.求函數單調性時，易錯誤地在多個單調區間之間添加符號“∪”和“或”;單調區間不能用集合或不等式表示.

12.求函數的值域必須先求函數的定義域。

圓的方程定義：

圓的標準方程（x—a）2+（y—b）2=r2中，有三個參數a、b、r，即圓心座標為（a，b），只要求出a、b、r，這時圓的方程就被確定，因此確定圓方程，須三個獨立條件，其中圓心座標是圓的定位條件，半徑是圓的定形條件。

直線和圓的位置關係：

1、直線和圓位置關係的判定方法一是方程的觀點，即把圓的方程和直線的方程聯立成方程組，利用判別式Δ來討論位置關係。

①Δ>0，直線和圓相交、②Δ=0，直線和圓相切、③Δ<0，直線和圓相離。

方法二是幾何的觀點，即把圓心到直線的距離d和半徑R的大小加以比較。

①dR，直線和圓相離、

2、直線和圓相切，這類問題主要是求圓的切線方程、求圓的切線方程主要可分為已知斜率k或已知直線上一點兩種情況，而已知直線上一點又可分為已知圓上一點和圓外一點兩種情況。

3、直線和圓相交，這類問題主要是求弦長以及弦的中點問題。

切線的性質

⑴圓心到切線的距離等於圓的半徑；

⑵過切點的半徑垂直於切線；

⑶經過圓心，與切線垂直的直線必經過切點；

⑷經過切點，與切線垂直的直線必經過圓心；

當一條直線滿足

（1）過圓心；

（2）過切點；

（3）垂直於切線三個性質中的兩個時，第三個性質也滿足。

切線的判定定理

經過半徑的外端點並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。

切線長定理

從圓外一點作圓的兩條切線，兩切線長相等，圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角。

1.函數思想：把某變化過程中的一些相互制約的變量用函數關係表達出來，並研究這些量間的相互制約關係，最後解決問題，這就是函數思想;

2.應用函數思想解題，確立變量之間的函數關係是一關鍵步驟，大體可分為下面兩個步驟：

(1)根據題意建立變量之間的函數關係式，把問題轉化為相應的函數問題;

(2)根據需要構造函數，利用函數的相關知識解決問題;

(3)方程思想：在某變化過程中，往往需要根據一些要求，確定某些變量的值，這時常常列出這些變量的方程或(方程組)，通過解方程(或方程組)求出它們，這就是方程思想;

3.函數與方程是兩個有着密切聯繫的數學概念，它們之間相互滲透，很多方程的問題需要用函數的知識和方法解決，很多函數的問題也需要用方程的方法的支援，函數與方程之間的辯證關係，形成了函數方程思想。

已知三角形底a，高h，則S=ah/2

已知三角形三邊a,b,c,半周長p,則S= [p(p - a)(p - b)(p - c)] (海倫公式)(p=(a+b+c)/2)

和：(a+b+c)*(a+b-c)*1/4

數學高一知識點已知三角形兩邊a,b,這兩邊夾角C，則S=absinC/2

設三角形三邊分別為a、b、c，外接圓半徑為r

則三角形面積=abc/4r

設三角形三邊分別為a、b、c，內切圓半徑為r

則三角形面積=(a+b+c)r/2

已知三角形三邊a、b、c,則S= {1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]} (三斜求積 南宋秦九韶)

| a b 1 |

S△=1/2 * | c d 1 |

| e f 1 |

| a b 1 |

| c d 1 | 為三階行列式,此三角形ABC在平面直角座標系內A(a,b),B(c,d), C(e,f),這裏ABC

| e f 1 |

選區取最好按逆時針順序從右上角開始取，因為這樣取得出的結果一般都為正值，如果不按這個規則取，可能會得到負值，但不要緊，只要取絕對值就可以了，不會影響三角形面積的大小!

函數的值域與最值

1、函數的值域取決於定義域和對應法則，不論採用何種方法求函數值域都應先考慮其定義域，求函數值域常用方法如下：

(1)直接法：亦稱觀察法，對於結構較為簡單的函數，可由函數的解析式應用不等式的性質，直接觀察得出函數的值域.

(2)換元法：運用代數式或三角換元將所給的複雜函數轉化成另一種簡單函數再求值域，若函數解析式中含有根式，當根式裏一次式時用代數換元，當根式裏是二次式時，用三角換元.

(3)反函數法：利用函數f(x)與其反函數f-1(x)的定義域和值域間的關係，通過求反函數的定義域而得到原函數的值域，形如(a≠0)的函數值域可採用此法求得.

(4)配方法：對於二次函數或二次函數有關的函數的值域問題可考慮用配方法.

(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函數的值域，不過應注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧.

(6)判別式法：把y=f(x)變形為關於x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其題型特徵是解析式中含有根式或分式.

(7)利用函數的單調性求值域：當能確定函數在其定義域上(或某個定義域的子集上)的單調性，可採用單調性法求出函數的值域.

(8)數形結合法求函數的值域：利用函數所表示的幾何意義，藉助於幾何方法或圖象，求出函數的值域，即以數形結合求函數的值域.

2、求函數的最值與值域的區別和聯繫

求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的，事實上，如果在函數的值域中存在一個最小(大)數，這個數就是函數的最小(大)值.因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異.

如函數的值域是(0，16]，值是16，無最小值.再如函數的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函數無值和最小值，只有在改變函數定義域後，如x>0時，函數的最小值為2.可見定義域對函數的值域或最值的影響.

3、函數的最值在實際問題中的

應用

函數的最值的應用主要體現在用函數知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現為“工程造價最低”，“利潤”或“面積(體積)(最小)”等諸多現實問題上，求解時要特別關注實際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值.

一、增函數和減函數

一般地，設函數f(x)的定義域為I：

如果對於屬於I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當x1＜x2時都有f(x1)＜f(x2).那麼就説f(x)在 這個區間上是增函數。

如果對於屬於I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1＜x2時都有f(x1)＞f(x2).那麼就是f(x)在這個區間上是減函數。

二、單調區間

單調區間是指函數在某一區間內的函數值Y，隨自變量X增大而增大（或減小）恆成立。如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數。那麼就説函數y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，這一區間叫做y= f(x)的單調區間。

一、指數函數的定義

指數函數的一般形式為y=a^x(a0且≠1) (x∈R).

二、指數函數的性質

1.曲線沿x軸方向向左無限延展〈=〉函數的定義域為（-∞，+∞）

2.曲線在x軸上方，而且向左或向右隨着x值的減小或增大無限靠近X軸（x軸是曲線的漸近線）〈=〉函數的值域為（0，+∞）

一、對數與對數函數定義

1.對數：一般地，如果a（a大於0，且a不等於1）的b次冪等於N，那麼數b叫做以a為底N的對數，記作log aN=b,讀作以a為底N的對數，其中a叫做對數的底數，N叫做真數。

2.對數函數：一般地，函數y=log(a)X，（其中a是常數，a0且a不等於1）叫做對數函數，它實際上就是指數函數的反函數，因此指數函數裏對於a的規定，同樣適用於對數函數。

二、方法點撥

在解決函數的綜合性問題時，要根據題目的具體情況把問題分解為若干小問題一次解決，然後再整合解決的結果，這也是分類與整合思想的一個重要方面。

一、冪函數定義

形如y=x^a(a為常數)的函數，即以底數為自變量 冪為因變量，指數為常量的函數稱為冪函數。

二、性質

冪函數不經過第三象限,如果該函數的指數的分子n是偶數,而分母m是任意整數,則y0,圖像在第一;二象限.這時(-1)^p的指數p的奇偶性無關.

如果函數的指數的分母m是偶數,而分子n是任意整數,則x0(或xy0(或y=0),圖像在第一象限.與p的奇偶性關係不大,

　　空間直角座標系定義：

過定點O,作三條互相垂直的數軸,它們都以O為原點且一般具有相同的長度單位、這三條軸分別叫做x軸橫軸）、y軸縱軸、z軸豎軸；統稱座標軸、通常把x軸和y軸配置在水平面上,而z軸則是鉛垂線；它們的正方向要符合右手規則,即以右手握住z軸,當右手的四指從正向x軸以π/2角度轉向正向y軸時,大拇指的指向就是z軸的正向,這樣的三條座標軸就組成了一個空間直角座標系,點O叫做座標原點。

1、右手直角座標系

①右手直角座標系的建立規則：x軸、y軸、z軸互相垂直，分別指向右手的拇指、食指、中指；

②已知點的座標P（x，y，z）作點的方法與步驟（路徑法）：

沿x軸正方向（x>0時）或負方向（x<0時）移動|x|個單位，再沿y軸正方向（y>0時）或負方向（y<0時）移動|y|個單位，最後沿x軸正方向（z>0時）或負方向（z<>

③已知點的位置求座標的方法：

過P作三個平面分別與x軸、y軸、z軸垂直於A，B，C，點A，B，C在x軸、y軸、z軸的座標分別是a,b,c則a,b,c就是點P的座標。

2、在x軸上的點分別可以表示為a,0,0,0,b,0,0,0,c。

在座標平面xOy，xOz，yOz內的點分別可以表示為a,b,0,a,0,c,0,b,c。

3、點Pa,b,c關於x軸的對稱點的座標為a,-b,-c；

點Pa,b,c關於y軸的對稱點的座標為-a,b,-c；

點Pa,b,c關於z軸的對稱點的座標為-a,-b,c；

點Pa,b,c關於座標平面xOy的對稱點為a,b,-c；

點Pa,b,c關於座標平面xOz的對稱點為a,-b,c；

點Pa,b,c關於座標平面yOz的對稱點為-a,b,c；

點Pa,b,c關於原點的對稱點-a,-b,-c。

4、已知空間兩點Px1,y1,z1，Qx2,y2,z2，則線段PQ的中點座標為

5、空間兩點間的距離公式

已知空間兩點Px1,y1,z1，Qx2,y2,z2，則兩點的距離為特殊點Ax,y,z到原點O的距離為

6、以Cx0,y0,z0為球心,r為半徑的球面方程為

特殊地，以原點為球心,r為半徑的球面方程為x2+y2+z2=r2

練習題：

選擇題：

1．在空間直角座標系中，已知點P（x，y，z），給出下列4條敍述：①點P關於x軸的對稱點的座標是（x，－y，z）②點P關於yOz平面的對稱點的座標是（x，－y，－z）③點P關於y軸的對稱點的座標是（x，－y，z）④點P關於原點的對稱點的座標是（－x，－y，－z）其中正確的個數是（）

A．3B．2C．1D．0

2．若已知A（1，1，1），B（－3，－3，－3），則線段AB的長為（）

A．43

B．23

C．42

D．32

3．已知A（1，2，3），B（3，3，m），C（0，－1，0），D（2，―1，―1），則（）

A．|AB|>|CD|

B．|AB|<|CD|C．|AB|≤|CD|

D．|AB|≥|CD|

4．設A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），AB的中點M，則|CM|?（）

A．5

B．2

C．3

D．4

指數函數

(1)指數函數的定義域為所有實數的集合，這裏的前提是a大於0，對於a不大於0的情況，則必然使得函數的定義域不存在連續的區間，因此我們不予考慮。

(2)指數函數的值域為大於0的實數集合。

(3)函數圖形都是下凹的。

(4)a大於1，則指數函數單調遞增;a小於1大於0，則為單調遞減的。

(5)可以看到一個顯然的規律，就是當a從0趨向於無窮大的過程中(當然不能等於0)，函數的曲線從分別接近於Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數的位置，趨向分別接近於Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。

(6)函數總是在某一個方向上無限趨向於X軸，永不相交。

(7)函數總是通過(0，1)這點。

(8)顯然指數函數。

反比例函數

形如y=k/x(k為常數且k≠0)的函數，叫做反比例函數。

自變量x的取值範圍是不等於0的一切實數。

反比例函數圖像性質：

反比例函數的圖像為雙曲線。

由於反比例函數屬於奇函數，有f(-x)=-f(x)，圖像關於原點對稱。

另外，從反比例函數的解析式可以得出，在反比例函數的圖像上任取一點，向兩個座標軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。

k分別為正和負(2和-2)時的函數圖像。

當K>0時，反比例函數圖像經過一，三象限，是減函數

當K<0時，反比例函數圖像經過二，四象限，是增函數

反比例函數圖像只能無限趨向於座標軸，無法和座標軸相交。

知識點：

1.過反比例函數圖象上任意一點作兩座標軸的垂線段，這兩條垂線段與座標軸圍成的矩形的面積為|k|。

2.對於雙曲線y=k/x，若在分母上加減任意一個實數(即y=k/(x±m)m為常數)，就相當於將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。(加一個數時向左平移，減一個數時向右平移)

直線和平面的位置關係：

直線和平面只有三種位置關係：在平面內、與平面相交、與平面平行

①直線在平面內有無數個公共點

②直線和平面相交有且只有一個公共點

直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個平面內的射影所成的鋭角。

esp.空間向量法(找平面的法向量)

規定：a、直線與平面垂直時，所成的角為直角，b、直線與平面平行或在平面內，所成的角為0角

由此得直線和平面所成角的取值範圍為[0，90]

最小角定理：斜線與平面所成的角是斜線與該平面內任一條直線所成角中的最小角

三垂線定理及逆定理：如果平面內的一條直線，與這個平面的一條斜線的射影垂直，那麼它也與這條斜線垂直

esp.直線和平面垂直

直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和一個平面內的任意一條直線都垂直，我們就説直線a和平面互相垂直.直線a叫做平面的垂線，平面叫做直線a的垂面。

直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼這條直線垂直於這個平面。

直線與平面垂直的性質定理：如果兩條直線同垂直於一個平面，那麼這兩條直線平行。

③直線和平面平行沒有公共點

直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個平面沒有公共點，那麼我們就説這條直線和這個平面平行。

直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那麼這條直線和這個平面平行。

直線和平面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線和交線平行。