數學知識點:函數的概念

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十七世紀函數概念

十七世紀伽俐略(leo，意，1564-1642)在《兩門新科學》一書中，幾乎全部包含函數或稱為變量關係的這一概念，用文字和比例的語言表達函數的關係。1637年前後笛卡爾(Descartes，法，1596-1650)在他的解析幾何中，已注意到一個變量對另一個變量的依賴關係，但因當時尚未意識到要提煉函數概念，因此直到17世紀後期牛頓、萊布尼茲建立微積分時還沒有人明確函數的一般意義，大部分函數是被當作曲線來研究的。

1673年，萊布尼茲首次使用“function”(函數)表示“冪”，後來他用該詞表示曲線上點的橫座標、縱座標、切線長等曲線上點的有關幾何量。與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用“流量”來表示變量間的關係。

十八世紀函數概念

1718年約翰·柏努利(JohannBernoulli，瑞士，1667-1748)在萊布尼茲函數概念的基礎上對函數概念進行了定義：“由任一變量和常數的任一形式所構成的量。”他的意思是凡變量x和常量構成的式子都叫做x的函數，並強調函數要用公式來表示。1748年，柏努利的學生歐拉在《無窮分析引論》一書中説：“一個變量的函數是由該變量的一些數或常量與任何一種方式構成的解析表達式。

1755，歐拉(r，瑞士，1707-1783)把函數定義為“如果某些變量，以某一種方式依賴於另一些變量，即當後面這些變量變化時，前面這些變量也隨着變化，我們把前面的變量稱為後面變量的函數。”

18世紀中葉歐拉(r，瑞士，1707-1783)給出了定義：“一個變量的函數是由這個變量和一些數即常數以任何方式組成的解析表達式。”他把約翰·貝努利給出的函數定義稱為解析函數，並進一步把它區分為代數函數和超越函數，還考慮了“隨意函數”。不難看出，歐拉給出的函數定義比約翰·貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。

十九世紀函數概念

1821年，柯西(Cauchy，法，1789-1857)從定義變量起給出了定義：“在某些變數間存在着一定的關係，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值可隨着而確定時，則將最初的變數叫自變量，其他各變數叫做函數。”在柯西的定義中，首先出現了自變量一詞，同時指出對函數來説不一定要有解析表達式。不過他仍然認為函數關係可以用多個解析式來表示，這是一個很大的侷限。

1822年傅里葉(Fourier，法國，1768——1830)發現某些函數也已用曲線表示，也可以用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結束了函數概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數的認識又推進了一個新層次。

1837年狄利克雷(Dirichlet，德國，1805-1859)突破了這一侷限，認為怎樣去建立x與y之間的關係無關緊要，他拓廣了函數概念，指出：“對於在某區間上的每一個確定的x值，y都有一個確定的.值，那麼y叫做x的函數。”這個定義避免了函數定義中對依賴關係的描述，以清晰的方式被所有數學家接受。這就是人們常説的經典函數定義。

等到康託(Cantor，德國，1845-1918)創立的集合論在數學中佔有重要地位之後，維布倫(Veblen，美，1880-1960)用“集合”和“對應”的概念給出了近代函數定義，通過集合概念把函數的對應關係、定義域及值域進一步具體化了，且打破了“變量是數”的極限，變量可以是數，也可以是其它對象。

現代函數概念

1914年豪斯道夫(dorff)在《集合論綱要》中用不明確的概念“序偶”來定義函數，其避開了意義不明確的“變量”、“對應”概念。庫拉托夫斯基(Kuratowski)於1921年用集合概念來定義“序偶”使豪斯道夫的定義很嚴謹了。

1930年新的現代函數定義為“若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數，記為y=f(x)。元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。”