2017八年級數學下冊正方形的同步練習題
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一、選擇題
1、下列命題中，真命題是( )
A.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
B.等腰梯形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形
C.圓的切線垂直於經過切點的半徑
D.垂直於同一直線的兩條直線互相垂直
2、如圖，矩形ABCD中，AB>AD，AB=a，AN平分∠⊥AN於點M，CN⊥AN於點N，則DM+CN的值為(用含有a的代數式表示)( )
A.a B.45a C.22a D.32a
3、如圖，已知矩形紙片ABCD，點E是AB的中點，點G是BC上的一點，∠BEG>60°，現沿直線EG將紙片摺疊，使點B落在紙片上的點H處，連結AH，則與∠BEG相等的角的個數為( )
A.4 B.3 C.2 D.1
4.如圖，正方形ABCD的邊長為8，在各邊上順次截取AE=BF=CG=DH=5，則四邊形EFGH的面積是( )
A.30 B.34 C.36 D.40
二、填空題
1、如圖，將矩形紙片ABCD摺疊，使點D與點B重合，點C落在C′處，摺痕為EF，若∠ABE=20°，那麼∠EFC′的度數為________度.
2、正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如圖放置，其中點A1、A2、A3在x軸的正半軸上，點B1、B2、B3在直線y=﹣x+2上，則點A3的座標為______________.
3、 如圖，正方形ABCD的邊長為1，以對角線AC為邊作第二個正方形，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去，第n個正方形的邊長為__________.
三、解答題
1、如圖，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，點O為AB的中點，連接DO並延長到點E，使OE=OD，連接AE，BE.
(1)求證：四邊形AEBD是矩形;
(2)當△ABC滿足什麼條件時，矩形AEBD是正方形，並説明理由.
2、如圖,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,點P,Q分別是AB, AC上的`一動點,且滿足BP=AQ,D是BC的中點.
(1)求證:△PDQ是等腰直角三角形.
(2)當點P運動到什麼位置時,四邊形APDQ是正方形,並説明理由.
3、如圖，O為矩形ABCD對角線的交點，DE∥AC，CE∥BD.
(1)試判斷四邊形OCED的形狀，並説明理由;
(2)若AB=6，BC=8，求四邊形OCED的面積.
4、如圖，在等邊三角形ABC中，點D是BC邊的中點，以AD為邊作等邊三角形ADE.
(1)求∠CAE的度數;
(2)取AB邊的中點F，連結CF、CE，試證明四邊形AFCE是矩形.
5、如圖所示，在△ABC中，D是AC的中點，E是線段BC延長線上一點，過點A作BE的平行線與線段ED的延長線交於點F，連結AE、CF.
(1)求證：AF=CE;
(2)若AC=EF，試判斷四邊形AFCE是什麼樣的四邊形，並證明你的結論.
6、如圖，四邊形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°.
(1)求證：AC∥DE;
(2)過點B作BF⊥AC於點F，連結EF，試判斷四邊形BCEF的形狀，並説明理由.
一、選擇題
1、C
【解析】
注意真命題是正確的命題.A錯在對角線還應互相平分，B錯在等腰梯形不是中心對稱圖形，D錯在結論應是互相平行.
2、C
【解析】 設AN與DC交於點P，可證DM=PM，CN=PN.設DM=x，則CN=PN=22a-x，∴DM+CN=22a.
3、B
【解析】
與∠BEG相等的角有∠HEG、∠EAH、∠EHA共3個.
4.B
【解析】由題意可知△AEH，△BFE，△CGF，△DHG都是直角邊分別為5cm和3cm的直角三角形，所以這四個直角三角形的面積為：4× ×5×3=30cm2，而正方形ABCD的面積為64cm2，所以四邊形EFGH的面積是34cm2，選B.
二、填空題
1、125.
【解析】
∵在矩形ABCD中，∠ABE=20°，∴∠AEB=70°.∵點D與點B重合，∴∠BEF=∠DEF=180°-70°2=55°，∵AD∥BC，∴∠BFE=∠DEF=55°.∴∠EFC=180°-55°=125°.∵點C的對應點是C′，∴∠EFC′=125°.
2、的座標是(2n-1, 2n-1)
【解析】A1的座標是(0，1)，A2的座標是：(1，2)，
根據題意得： b=1，k+b=2，
解得： b=1，k=1.
則直線的解析式是：y=x+1.
∵A1B1=1，點B2的座標為(3，2)，
∴A1的縱座標是1，A2的縱座標是2.
在直線y=x+1中，令x=3，則縱座標是：3+1=4=22;
則A4的橫座標是：1+2+4=7，則A4的縱座標是：7+1=8=23;
據此可以得到An的縱座標是：2n-1，橫座標是：2n-1-1.
由圖知，An的縱座標與Bn的縱座標相等，
B3的橫座標為1+2+4=7
∴Bn的橫座標為2n-1
則Bn的座標是(2n-1, 2n-1)
3、
【解析】∵a2=AC，且在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2， ∴ 。
同理
∴ 。
三、解答題
1、(1)證明：∵點O為AB的中點，連接DO並延長到點E，使OE=OD，
∴四邊形AEBD是平行四邊形，
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分線，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四邊形AEBD是矩形;
(2)當∠BAC=90°時，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，
∴AD=BD=CD，
∵由(1)得四邊形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形.
2、(1)連接AD.
∵△ABC是等腰直角三角形,D是BC的中點,
∴AD⊥BC,AD=BD=DC,∠DAQ=∠B,
又∵BP=AQ,∴△BPD≌△AQD,
∴PD=QD,∠BDP=∠ADQ,
∵∠BDP+∠ADP=90°,
∴∠ADP+∠ADQ=∠PDQ=90°,
∴△PDQ為等腰直角三角形.
(2)當P點運動到AB的中點時,四邊形APDQ是正方形;理由如下:
由(1)知△ABD為等腰直角三角形,
當P為AB的中點時,DP⊥AB,即∠APD=90°,
又∵∠BAC=90°,∠PDQ=90°,
∴四邊形APDQ為矩形,
又∵DP=AP= AB,∴四邊形APDQ為正方形.
3、解：(1)四邊形OCED是菱形.
∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OCED是平行四邊形，
又在矩形ABCD中，OC=OD，∴四邊形OCED是菱形.
(2)連結OE.由菱形OCED得CD⊥OE，
∴OE∥BC，又CE∥BD，
∴四邊形BCEO是平行四邊形.
∴OE=BC=8，
∴S四邊形OCED=12OECD=12×8×6=24.
4、解：(1)在等邊三角形ABC中，
∵點D是BC邊的中點，∴∠DAC=30°.
又∵△ADE為等邊三角形，∴∠DAE=60°.
∴∠CAE=∠DAE-∠DAC=30°.
(2)由(1)知，∠EAF=90°，
由F為AB的中點知，∠CFA=90°，∴CF∥EA.
在等邊三角形ABC中，CF=AD.
在等邊三角形ADE中，AD=EA.
∴CF=EA.
∴四邊形AFCE為平行四邊形.
又∵∠CFA=90°，∴四邊形AFCE為矩形.
5、證明：(1)在△ADF和△CDE中，∵AF∥BE，∴∠FAD=∠ECD.又∵D是AC的中點，∴AD=CD.∵∠ADF=∠CDE，∴△ADF≌△CDE，∴AF=CE.
(2)若AC=EF，則四邊形AFCE是平行四邊形.由(1)知AF∥CE，AF=CE，∴四邊形的AFCE是平行四邊形，又∵AC=EF，∴四邊形AFCE是矩形.
6、解：(1)在矩形ABCD中，AC∥DE，∴∠DCA=∠CAB.∵∠EDC=∠CAB，∴∠DCA=∠EDC，∴AC∥DE.
(2)四邊形BCEF是平行四邊形.
理由：由∠DEC=90°，BF⊥AC，可得∠AFB=∠DEC=90°，
又∠EDC=∠CAB，AB=CD，
∴△DEC≌△AFB，∴DE=AF，由(1)得AC∥DE，
∴四邊形AFED是平行四邊形，∴AD∥EF且AD=EF，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC且AD=BC，
∴EF∥BC且EF=BC，
∴四邊形BCEF是平行四邊形.
