國小數學有餘數的除法知識點詳細講解

對於任意一個整數除以一個自然數，一定存在唯一確定的商和餘數，使被除數=除數×商+餘數(0≤餘數除數)，也就是説，整數a除以自然數b，一定存在唯一確定的q和r，使a=bq+r(0≤r

我們把對於已知整數a和自然數b，求q和r，使a=bq+r(0≤r

例如5÷7=0(餘5)，6÷6=1(餘0)，29÷5=5(餘4).

解決有關帶餘問題時常用到以下結論：

(1)被除數與餘數的差能被除數整除.即如果a÷b=q(餘r)，那麼b|(a-r).

因為a÷b=q(餘r)，有a=bq+r，從而a-r=bq，所以b|(a-r).

例如39÷5=7(餘4)，有39=5×7+4，從而39-4=5×7，所以5|(39-4)

(2)兩個數分別除以某一自然數，如果所得的餘數相等，那麼這兩個數的差一定能被這個自然數整除.即如果a1÷b=q1(餘r)，a2÷b=q2(餘r)，那麼b|(a1-a2)，其中a1≥a2.

因為a1÷b=q1(餘r)，a2÷b=q2(餘r)，有a1=bq1+r，a2=bq2+r，從而a1-a2=(bql+r)-(bq2+r)=b(q1-q2)，所以b|(a1-a2).

例如，22÷3=7(餘1)，28÷3=9(餘1)，有22=3×7+1，28=3×9+1，從而28-22=3×9-3×7=3×(9-7)，所以3|(28-22).

(3)如果兩個數a1和a2除以同一個自然數b所得的餘數分別為r1和r2，r1與r2的和除以b的餘數是r，那麼這兩個數a1與a2的和除以b的餘數也是r.

例如，18除以5的餘數是3，24除以5的餘數是4，那麼(18+24)除以5的餘數一定等於(3+4)除以5的餘數(餘2).

(4)被除數和除數同時擴大(或縮小)相同的倍數，商不變，餘數的'也隨着擴大(或縮小)相同的倍數.即如果a÷b=q(餘r)，那麼(am)÷(bm)=q(餘rm)，(a÷m))÷(b÷m)=q(餘r÷m)(其中m|a，m|b).

例如，14÷6=2(餘2)，那麼(14×8)÷(6×8)=2(餘2×8)，(14÷2)÷(6÷2)=2(餘2÷2).

下面討論有關帶餘除法的問題.

例1 節日的街上掛起了一串串的彩燈，從第一盞開始，按照5盞紅燈，4盞黃燈，3盞綠燈，2盞藍燈的順序重複地排下去，問第1996盞燈是什麼顏色?

分析：因為彩燈是按照5盞紅燈，4盞黃燈，3盞綠燈，2盞藍燈的順序重複地排下去，要求第1996盞燈是什麼顏色，只要用1996除以5+4+3+2的餘數是幾，就可判斷第1996盞燈是什麼顏色了.

解：1996÷(5+4+3+2)=142…4

所以第1996盞燈是紅色.