七年級數學基礎知識教案設計

一、 知識結構框圖：

數

二、 絕對值的意義：

(1)幾何意義：一般地，數軸上表示數a的點到原點的距離叫做數a的絕對值，記作|a|。

(2)代數意義：①正數的絕對值是它的本身；②負數的絕對值是它的相反數；

③零的絕對值是零。

説明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一個非負數；

（Ⅱ）|a|概念中藴含分類討論思想。

三、 典型例題

例1．（數形結合思想）已知a、b、c在數軸上位置如圖：

則代數式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等於（ A ）

A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b

解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a

分析：

解絕對值的問題時，往往需要脱去絕對值符號，化成一般的有理數計算。脱去絕對值的符號時，必須先確定絕對值符號內各個數的正負性，再根據絕對值的代數意義脱去絕對值符號。這道例題運用了數形結合的數學思想，由a、b、c在數軸上的對應位置判斷絕對值符號內數的符號，從而去掉絕對值符號，完成化簡。

例2．已知：x?0?z，xy?0，且y?z?x， 那麼x?z?y?z?x?y的值（ C ）

A．是正數 B．是負數 C．是零 D．不能確定符號

解：由題意，x、y、z在數軸上的位置如圖所示：

所以 x?z?y?z?x?y ?x?z?(y?z)?(x?y) ?0

分析：數與代數這一領域中數形結合的重要載體是數軸。這道例題中三個看似複雜的不等關係藉助數軸直觀、輕鬆的找到了x、y、z三個數的大小關係，為我們順利化簡鋪平了道路。雖然例題中沒有給出數軸，但我們應該有數形結合解決問題的意識。

例3．（分類討論的思想）已知甲數的絕對值是乙數絕對值的3倍，且在數軸上表示這兩數的點位於原點的兩側，兩點之間的距離為8，求這兩個數；若數軸上表示這兩數的點位於原點同側呢？

分析：從題目中尋找關鍵的解題信息，“數軸上表示這兩數的點位於原點的兩側”意味着甲乙兩數符號相反，即一正一負。那麼究竟誰是正數誰是負數，我們應該用分類討論的數學思想解決這一問題。

解：設甲數為x，乙數為y 由題意得：x?3y，

（1）數軸上表示這兩數的點位於原點兩側：

若x在原點左側，y在原點右側，即 x<0，y>0，則 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6

若x在原點右側，y在原點左側，即 x>0，y<0，則 -4y=8 ，所以y=-2,x=6

（2）數軸上表示這兩數的.點位於原點同側：

若x、y在原點左側，即 x<0，y<0，則 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12

若x、y在原點右側，即 x>0，y>0，則 2y=8 ，所以y=4,x=12

例4．（整體的思想）方程x?2008?2008?x 的解的個數是（ D ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．無窮多個

分析：這道題我們用整體的思想解決。將x-2008看成一個整體，問題即轉化為求方程a??a的解，利用絕對值的代數意義我們不難得到，負數和零的絕對值等於它的相反數，所以零和任意負數都是方程的解，即本題的答案為D。

四、 小結

1．理解絕對值的代數意義和幾何意義以及絕對值的非負性

2．體會數形結合、分類討論等重要的數學思想在解題中的應用