高中數學推理與證明知識點總結

高中數學比較高深，因此是有很多的推理和證明的。下面就是本站小編給大家整理的高中數學推理與證明內容，希望大家喜歡。

一、考點(限考)概要：

1、推理：

(1)合情推理：歸納推理和類比推理都是根據已有事實，經過觀察、分析、比較、聯想，在進行歸納、類比，然後提出猜想的推理，稱為合情推理。

①歸納推理:

ⅰ定義：由某類食物的部分對象具有某些特徵，推出該類事物的全部對象都具有這些特徵的推理，或者有個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理，簡稱歸納。

ⅱ特點：

*歸納是依據特殊現象推斷一般現象，因而，由歸納所得的結論超越了前提所包容的範圍;

*歸納是依據若干已知的、沒有窮盡的現象推斷尚屬未知的現象，因而結論具有猜測性;

*歸納的前提是特殊的情況，因而歸納是立足於觀察、經驗和實驗的基礎之上;

*歸納是立足於觀察、經驗、實驗和對有限資料分析的基礎上，提出帶有規律性的結論。

ⅲ步驟：

*對有限的資料進行觀察、分析、歸納整理;

*提出帶有規律性的結論，即猜想;

*檢驗猜想。

②類比推理：

ⅰ定義：由兩類對象具有類似和其中一類對象的某些已知特徵，推出另一類對象也具有這些特徵的推理，稱為類比推理，簡稱類比。

ⅱ特點：

*類比是從人們已經掌握了的事物的屬性，推測正在研究的事物的屬性，是以舊有的認識為基礎，類比出新的結果;

*類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性;

*類比的結果是猜測性的不一定可靠，單它卻有發現的功能。

ⅲ步驟：

*找出兩類對象之間可以確切表述的相似特徵;

*用一類對象的已知特徵去推測另一類對象的特徵，從而得出一個猜想;

*檢驗猜想。

(2)演繹推理：

①定義：從一般的原理出發，推出某個特殊情況下的結論，這種推理叫演繹推理。

②演繹推理是由一般到特殊的推理;

③“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：

大前提——已知的`一般結論;

小前提——所研究的特殊情況;

結 論——根據一般原理，對特殊情況得出的判斷。

④“三段論”推理的依據，用集合的觀點來理解：

若集合M的所有元素都具有性質P，S是M的一個子集，那麼S中所有元素也都具有性質P。

(3)合情推理與演繹推理的區別與聯繫：

①歸納是由特殊到一般的推理;

②類比是由特殊到特殊的推理;

③演繹推理是由一般到特殊的推理.

④從推理的結論來看，合情推理的結論不一定正確，有待證明;演繹推理得到的結論一定正確。

⑤演繹推理是證明數學結論、建立數學體系的重要思維過程;而數學結論、證明思路的發現，主要靠合情推理.

(1)直接證明：

①綜合法：利用已知條件和某些數學定義、定理、公理等，經過一系列的推理論證，最後推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫順推法，其特點是：“由因導果”。

②分析法：從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最後，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定義、定理、公理等)，這種證明的方法叫分析法。分析法又叫逆推證法，其特點是：“執果索因”。

③數學歸納法：

ⅰ數學歸納法公理：

如果①當n取第一個值

(例如

等)時結論正確;

②假設當

時結論正確，證明當n=k+1時結論也正確;

那麼，命題對於從

開始的所有正整數n都成立。

ⅱ説明：

*數學歸納法的兩個步驟缺一不可，用數學歸納法證明問題時必須嚴格按步驟進行;

*數學歸納法公理是證明有關自然數命題的依據。

(2)間接證明(反證法、歸謬法)：假設原命題不成立，經過正確的推理，最後得出矛盾，因此説明假設錯誤，從而證明原命題成立，這種證明方法叫反證法。

用反證法證明一個命題常採用以下步驟：

①假定命題的結論不成立;

②進行推理，在推理中出現下列情況之一：與已知條件矛盾;與公理或定理矛盾;

③由於上述矛盾的出現，可以斷言，原來的假定“結論不成立”是錯誤的;

④肯定原來命題的結論是正確的。

即“反設——歸謬——結論”

一、合情推理

1.歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理，在進行歸納時，要先根據已知的部分個體，把它們適當變形，找出它們之間的聯繫，從而歸納出一般結論;

2.類比推理是由特殊到特殊的推理，是兩類類似的對象之間的推理，其中一個對象具有某個性質，則另一個對象也具有類似的性質。在進行類比時，要充分考慮已知對象性質的推理過程，然後類比推導類比對象的性質。

二、演繹推理

演繹推理是由一般到特殊的推理，數學的證明過程主要是通過演繹推理進行的，只要採用的演繹推理的大前提、小前提和推理形式是正確的，其結論一定是正確，一定要注意推理過程的正確性與完備性。

三、直接證明與間接證明

直接證明是相對於間接證明説的，綜合法和分析法是兩種常見的直接證明。綜合法一般地，利用已知條件和某些數學定義、定理、公理等，經過一系列的推理論證，最後推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法(或順推證法、由因導果法)。分析法一般地，從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最後，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法。

間接證明是相對於直接證明説的，反證法是間接證明常用的方法。假設原命題不成立，經過正確的推理，最後得出矛盾，因此説明假設錯誤，從而證明原命題成立，這種證明方法叫做反證法。

四、數學歸納法

數學上證明與自然數N有關的命題的一種特殊方法，它主要用來研究與正整數有關的數學問題，在高中數學中常用來證明等式成立和數列通項公式成立。