小升中數學專項複習重點之餘數問題

一、同餘的定義：

①若兩個整數a、b除以m的餘數相同，則稱a、b對於模m同餘。

②已知三個整數a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對於模m同餘，記作a≡b（modm），讀作a同餘於b模m。

二、同餘的性質：

①自身性：a≡a（modm）；

②對稱性：若a≡b（modm），則b≡a（modm）；

③傳遞性：若a≡b（modm），b≡c（modm），則a≡c（modm）；

④和差性：若a≡b（modm），c≡d（modm），則a+c≡b+d（modm），a-c≡b-d（modm）；

⑤相乘性：若a≡b（modm），c≡d（modm），則a×c≡b×d（modm）；

⑥乘方性：若a≡b（modm），則an≡bn（modm）；

⑦同倍性：若a≡b（modm），整數c，則a×c≡b×c（modm×c）；

三、關於乘方的'預備知識：

①若A=a×b，則MA=Ma×b=（Ma）b

②若B=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md

四、被3、9、11除後的餘數特徵：

①一個自然數M，n表示M的各個數位上數字的和，則M≡n（mod9）或（mod3）；

②一個自然數M，X表示M的各個奇數位上數字的和，Y表示M的各個偶數數位上數字的和，則M≡Y-X或M≡11-（X-Y）（mod11）；

五、費爾馬小定理：

如果p是質數（素數），a是自然數，且a不能被p整除，則ap-1≡1（modp）。