2017年基金《證券基金基礎》要點：正態分佈

導語：正態分佈是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的概率分佈，在統計學的許多方面有着重大的影響力。若隨機變量X服從一個數學期望為μ、方差為σ^2的高斯分佈，記為N(μ，σ^2)。

　　正態分佈：

正態分佈是最重要的一類連續型隨機變量分佈，當一個隨機變量的取值受到大量不同因素作用的共同影響，並且單個因素的影響都微不足道的時候，這個隨機變量就服從或近似服從正態分佈。

正態分佈密度函數的顯著特點是中間高兩邊低，由中間(X=p)向兩邊遞減，並且分佈左右對稱，是一條光滑的“鐘形曲線”。

正態分佈距離均值越近的地方數值越集中，而在離均值較遠的地方數值則很稀疏;這意味着正態分佈出現極端值的概率很低，而出現均值附近的數值的概率非常大。同時圖像越“瘦”，正態分佈集中在均值附近的程度也越大。

　　術語特徵：

　　服從正態分佈的變量的'頻數分佈由 、 完全決定。

(1) 是正態分佈的位置參數，描述正態分佈的集中趨勢位置。正態分佈以 為對稱軸，左右完全對稱。正態分佈的均數、中位數、眾數相同。

(2) 描述正態分佈資料數據分佈的離散程度， 越大，數據分佈越分散， 越小，數據分佈越集中。 也稱為是正態分佈的形狀參數， 越大，曲線越扁平，反之， 越小，曲線越瘦高。

正態分佈集中性：正態曲線的高峯位於正中央，即均數所在的位置。對稱性：正態曲線以均數為中心，左右對稱，曲線兩端永遠不與橫軸相交。

均勻變動性：正態曲線由均數所在處開始，分別向左右兩側逐漸均勻下降。

正態分佈有兩個參數，即均數μ和標準差σ，可記作N(μ，σ)：均數μ決定正態曲線的中心位置;標準差σ決定正態曲線的陡峭或扁平程度。σ越小，曲線越陡峭;σ越大，曲線越扁平。

u變換：為了便於描述和應用，常將正態變量作數據轉換。μ是正態分佈的位置參數，描述正態分佈的集中趨勢位置。正態分佈以X=μ為對稱軸，左右完全對稱。正態分佈的均數、中位數、眾數相同，均等於μ。

σ描述正態分佈資料數據分佈的離散程度，σ越大，數據分佈越分散，σ越小，數據分佈越集中。也稱為是正態分佈的形狀參數，σ越大，曲線越扁平，反之，σ越小，曲線越瘦高。

　　分佈曲線：

　　標準正態分佈

1.標準正態分佈是一種特殊的正態分佈，標準正態分佈的μ和σ2為0和1，通常用 (或Z)表示服從標準正態分佈的變量，記為 Z～N(0，1)。

2.標準化變換：此變換有特性：若原分佈服從正態分佈 ，則Z=(x-μ)/σ ～ N(0,1) 就服從標準正態分佈,通過查標準正態分佈表就可以直接計算出原正態分佈的概率值。故該變換被稱為標準化變換。

　　3. 標準正態分佈表

標準正態分佈表中列出了標準正態曲線下從-∞到X(當前值)範圍內的面積比例 。

　　正態曲線下面積分布

1.實際工作中，正態曲線下橫軸上一定區間的面積反映該區間的例數佔總例數的百分比，或變量值落在該區間的概率(概率分佈)。不同 範圍內正態曲線下的面積可用公式計算。

2.幾個重要的面積比例

軸與正態曲線之間的面積恆等於1。正態曲線下，橫軸區間(μ-σ，μ+σ)內的面積為68.27%，橫軸區間(μ-1.96σ，μ+1.96σ)內的面積為95.00%，橫軸區間(μ-2.58σ，μ+2.58σ)內的面積為99.00%。