因式分解的十二種方法

學習國中數學因式分解方程首要培養學習興趣，並培養學習習慣；其次是多做題，熟練掌握；最後就是掌握好因式分解方程的常用方算法，與做題相結合，能夠讓自己更好的理解這些方算法。接下來小編為你帶來因式分解方程的十二種方算法，希望對你有幫助。

因式分解方程是我們解決許多數學問題的有力工具。接下來的內容是八年級數學知識點之因式分解方程。

因式分解方程

定義：把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解方程(也叫作分解因式)。

分解因式與整式乘法為相反變形。

同時也是解一元二次方程中公式法的重要步驟

1、因式分解方程與解高次方程有密切的關係。對於一元一次方程和一元二次方程，國中已有相對固定和容易的方法。在數學上可以證明，對於一元三次和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因為公式過於複雜，在非專業領域沒有介紹。對於分解因式，三次多項式和四次多項式也有固定的分解方法，只是比較複雜。對於五次以上的一般多項式，已經證明不能找到固定的因式分解方程法，五次以上的一元方程也沒有固定解法。

2 、所有的三次和三次以上多項式都可以因式分解方程。這看起來或許有點不可思議。比如X^4+1,這是一個一元四次多項式，看起來似乎不能因式分解方程。但是它的次數高於3，所以一定可以因式分解方程。如果有興趣，你也可以用待定係數法將其分解，只是分解出來的式子並不整潔。

3 、因式分解方程雖然沒有固定方法，但是求兩個多項式的公因式卻有固定方法。因式分解方程很多時候就是用來提公因式的。尋找公因式可以用輾轉相除法來求得。標準的輾轉相除技能對於中學生來説難度頗高，但是中學有時候要處理的多項式次數並不太高，所以反覆利用多項式的除法也可以比較笨，但是有效地解決找公因式的問題。

方法 因式分解方程沒有普遍適用的方法，國中數學教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競賽上，又有拆項和添減項法，分組分解法和十字相乘法，待定係數法，雙十字相乘法，對稱多項式，輪換對稱多項式法，餘式定理法，求根公式法，換元法，長除法，短除法，除法等。

注意三原則

1.分解要徹底(是否有公因式，是否可用公式)

2.最後結果只有小括號

3.最後結果中多項式首項係數為正(例如：-3x^2+x=x(-3x+1))

4.最後結果每一項都為最簡因式

歸納方法：

1.提公因式法。

2.公式法。

3.分組分解法。

4.湊數法。[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]

5.組合分解法。

6.十字相乘法。

7.雙十字相乘法。

8.配方法。

9.拆項補項法。

10.換元法。

11.長除法。

12.求根法。

13.圖象法。

14.主元法。

15.待定係數法。

16.特殊值法。

17.因式定理法。

温馨提示：在高等數學上因式分解方程有一些重要結論，在初等數學層面上證明很困難，但是理解很容易。

國中數學知識點總結：平面直角座標系

下面是對平面直角座標系的內容學習，希望同學們很好的掌握下面的內容。

平面直角座標系

平面直角座標系：在平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數軸，組成平面直角座標系。

水平的數軸稱為x軸或橫軸，豎直的數軸稱為y軸或縱軸，兩座標軸的交點為平面直角座標系的原點。

平面直角座標系的要素：①在同一平面②兩條數軸③互相垂直④原點重合

三個規定：

①正方向的規定橫軸取向右為正方向，縱軸取向上為正方向

②單位長度的規定；一般情況，橫軸、縱軸單位長度相同；實際有時也可不同，但同一數軸上必須相同。

③象限的規定：右上為第一象限、左上為第二象限、左下為第三象限、右下為第四象限。

相信上面對平面直角座標系知識的講解學習，同學們已經能很好的掌握了吧，希望同學們都能考試成功。

國中數學知識點：平面直角座標系的構成

對於平面直角座標系的構成內容，下面我們一起來學習哦。

平面直角座標系的構成

在同一個平面上互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角座標系，簡稱為直角座標系。通常，兩條數軸分別置於水平位置與鉛直位置，取向右與向上的方向分別為兩條數軸的正方向。水平的數軸叫做X軸或橫軸，鉛直的數軸叫做Y軸或縱軸，X軸或Y軸統稱為座標軸，它們的公共原點O稱為直角座標系的原點。

通過上面對平面直角座標系的構成知識的講解學習，希望同學們對上面的內容都能很好的掌握，同學們認真學習吧。

國中數學知識點：點的座標的性質

下面是對數學中點的座標的性質知識學習，同學們認真看看哦。

點的座標的性質

建立了平面直角座標系後，對於座標系平面內的任何一點，我們可以確定它的座標。反過來，對於任何一個座標，我們可以在座標平面內確定它所表示的一個點。

對於平面內任意一點C，過點C分別向Ｘ軸、Ｙ軸作垂線，垂足在Ｘ軸、Ｙ軸上的對應點a，b分別叫做點C的橫座標、縱座標，有序實數對（a，b）叫做點C的座標。

一個點在不同的象限或座標軸上，點的座標不一樣。

希望上面對點的座標的'性質知識講解學習，同學們都能很好的掌握，相信同學們會在考試中取得優異成績的。

國中數學知識點：因式分解方程的一般步驟

關於數學中因式分解方程的一般步驟內容學習，我們做下面的知識講解。

因式分解方程的一般步驟

如果多項式有公因式就先提公因式，沒有公因式的多項式就考慮運用公式法；若是四項或四項以上的多項式，

通常採用分組分解法，最後運用十字相乘法分解因式。因此，可以概括為：“一提”、“二套”、“三分組”、“四十字”。

注意：因式分解方程一定要分解到每一個因式都不能再分解為止，否則就是不完全的因式分解方程，若題目沒有明確指出在哪個範圍內因式分解方程，應該是指在有理數範圍內因式分解方程，因此分解因式的結果，必須是幾個整式的積的形式。

相信上面對因式分解方程的一般步驟知識的內容講解學習，同學們已經能很好的掌握了吧，希望同學們會考出好成績。

國中數學知識點：因式分解方程

下面是對數學中因式分解方程內容的知識講解，希望同學們認真學習。

因式分解方程

因式分解方程定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式的變形叫把這個多項式因式分解方程。

因式分解方程要素：①結果必須是整式②結果必須是積的形式③結果是等式④

因式分解方程與整式乘法的關係：m(a+b+c)

公因式：一個多項式每項都含有的公共的因式，叫做這個多項式各項的公因式。

公因式確定方法：①係數是整數時取各項最大公約數。②相同字母取最低次冪③係數最大公約數與相同字母取最低次冪的積就是這個多項式各項的公因式。

提取公因式步驟：

①確定公因式。②確定商式③公因式與商式寫成積的形式。

分解因式注意；

①不準丟字母

②不準丟常數項注意查項數

③雙重括號化成單括號

④結果按數單字母單項式多項式順序排列

⑤相同因式寫成冪的形式

⑥首項負號放括號外

⑦括號內同類項合併。

通過上面對因式分解方程內容知識的講解學習，相信同學們已經能很好的掌握了吧，希望上面的內容給同學們的學習很好的幫助。

把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式因式分解方程.因式分解方程的方算法多種多樣,現總結如下：

1、 提公因算法

如果一個多項式的各項都含有公因式,那麼就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式.

例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市會考題)

x -2x -x=x(x -2x-1)

2、 應用公式算法

是因為分解因式與整式乘算法有着互逆的關係,如果把乘算法公式反過來,那麼就可以用來把某些多項式分解因式.

例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市會考題)

a +4ab+4b =（a+2b）

3、 分組分解算法

要把多項式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前兩項分成一組,並提出公因式a,把它後兩項分成一組,並提出公因式b,從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,從而得到(a+b)(m+n)

例3、分解因式m +5n-mn-5m

m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n

= (m -5m )+(-mn+5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)

4、 十字相乘算法

對於mx +px+q形式的多項式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,則多項式可因式分解方程為(ax+d)(bx+c)

例4、分解因式7x -19x-6

分析：1 -3

7 2

2-21=-19

7x -19x-6=（7x+2）(x-3)

5、配方算法

對於那些不能利用公式算法的多項式,有的可以利用將其配成一個完全平方式,然後再利用平方差公式,就能將其因式分解方程.

例5、分解因式x +3x-40

解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40

=(x+ ) -( )

=(x+ + )(x+ - )

=(x+8)(x-5)

6、拆、添項算法

可以把多項式拆成若干部分,再用進行因式分解方程.

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)

7、 換元算法

有時在分解因式時,可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數,然後進行因式分解方程,最後再轉換回來.

例7、分解因式2x -x -6x -x+2

2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x

=x [2(x + )-(x+ )-6

令y=x+ ,x [2(x + )-(x+ )-6

= x [2(y -2)-y-6]

= x (2y -y-10)

=x (y+2)(2y-5)

=x (x+ +2)(2x+ -5)

= (x +2x+1) (2x -5x+2)

=(x+1) (2x-1)(x-2)

8、 求根算法

令多項式f(x)=0,求出其根為x ,x ,x ,……x ,則多項式可因式分解方程為f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6

令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0

通過綜合除算法可知,f(x)=0根為 ,-3,-2,1

則2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

9、 圖象算法

令y=f(x),做出函數y=f(x)的圖象,找到函數圖象與X軸的交點x ,x ,x ,……x ,則多項式可因式分解方程為f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例9、因式分解方程x +2x -5x-6

令y= x +2x -5x-6

作出其圖象,見右圖,與x軸交點為-3,-1,2

則x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

10、 主元算法

先選定一個字母為主元,然後把各項按這個字母次數從高到低排列,再進行因式分解方程.

例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)

分析：此題可選定a為主元,將其按次數從高到低排列

a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)

=(b-c) [a -a(b+c)+bc]

=(b-c)(a-b)(a-c)

11、 利用特殊值算法

將2或10代入x,求出數P,將數P分解質因數,將質因數適當的組合,並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式,將2或10還原成x,即得因式分解方程式.

例11、分解因式x +9x +23x+15

令x=2,則x +9x +23x+15=8+36+46+15=105

將105分解成3個質因數的積,即105=3×5×7

注意到多項式中最高項的係數為1,而3、5、7分別為x+1,x+3,x+5,在x=2時的值

則x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）

12、待定係數算法

首先判斷出分解因式的形式,然後設出相應整式的字母系數,求出字母系數,從而把多項式因式分解方程.

例12、分解因式x -x -5x -6x-4

分析：易知這個多項式沒有一次因式,因而只能分解為兩個二次因式.

設x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)

= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd

所以 解得

則x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)