因式分解的數學方法

要想能在綜合性較強的幾何題目中能靈活應用，就必須要熟記啦。因式分解沒有普遍的方法，國中數學教材中主要介紹了提公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法。小編為大家整理了數學公式：因式分解的方法，方便大家查閲學習。

一、換元法

有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來，這種方法叫做換元法。注意:換元后勿忘還元.

【例】在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12時，可以令y=x^2+x,則原式=(y+1)(y+2)-12=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x^2+x+5)(x^2+x-2)=(x^2+x+5)(x+2)(x-1).

二、運用公式法

如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫運用公式法。

① 平方差公式：a-b=(a+b)(a-b);

② 完全平方公式：a±2ab+b=(a±b) ;

注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍。

③ 立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a-ab+b);

④ 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a+ab+b);

⑤ 完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3.

【例】a+4ab+4b =(a+2b)

三、分組分解法

把一個多項式適當分組後，再進行分解因式的方法叫做分組分解法。用分組分解法時，一定要想想分組後能否繼續完成因式分解，由此選擇合理選擇分組的方法，即分組後，可以直接提公因式或運用公式。

【例】m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n = (m-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n).

四、拆項、補項法

這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項(或幾項)，使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解。要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形。

【例】bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b).

五、配方法

對於某些不能利用公式法的多項式，可以將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬於拆項、補項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形。

【例】x+3x-40=x+3x+2.25-42.25=(x+1.5)-(6.5)=(x+8)(x-5).

六、十字相乘法

這種方法有兩種情況：

① x+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

這類二次三項式的特點是：二次項的係數是1;常數項是兩個數的積;一次項係數是常數項的兩個因數的和。因此，可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分解：x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .

② kx+mx+n型的式子的因式分解

如果如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m時，那麼kx+mx+n=(ax+b)(cx+d).

圖示如下：

a b

×

c d

例如：因為

1 -3

×

7 2

且2-21=-19， 所以7x-19x-6=(7x+2)(x-3).

多項式因式分解的一般步驟>>

① 如果多項式的各項有公因式，那麼先提公因式;

② 如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解;

③ 如果用上述方法不能分解，那麼可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解;

④ 分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。

也可以用一句話來概括：“先看有無公因式，再看能否套公式。十字相乘試一試，分組分解要合適。”

【例題】

1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2.

解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2

=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]

=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)

=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]

=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y).

2.求證：對於任何實數x,y，下式的`值都不會為33：x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5.

解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y).

當y=0時，原式=x^5不等於33;當y不等於0時，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四個以上不同因數的積，所以原命題成立。

3.△ABC的三邊a、b、c有如下關係式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求證：這個三角形是等腰三角形。

解：此題實質上是對關係式的等號左邊的多項式進行因式分解。證明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0.∴(a-c)(a+2b+c)=0.∵a、b、c是△ABC的三條邊，∴a+2b+c>0.∴a-c=0，即a=c，△ABC為等腰三角形。

4.把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。

解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1).

七、應用因式定理

對於多項式f(x)=0，如果f(a)=0，那麼f(x)必含有因式x-a.

【例】f(x)=x^2+5x+6，f(-2)=0，則可確定x+2是x^2+5x+6的一個因式。(事實上，x^2+5x+6=(x+2)(x+3).)

八、提公因式法

各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

具體方法：當各項係數都是整數時，公因式的係數應取各項係數的最大公約數;字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的;取相同的多項式，多項式的次數取最低的。如果多項式的第一項是負的，一般要提出“-”號，使括號內的第一項的係數成為正數。提出“-”號時，多項式的各項都要變號。

【例】①-am+bm+cm=-m(a-b-c)②a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)

九、求根法

令多項式f(x)=0,求出其根為x1，x2，x3，……xn，則該多項式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) .

【例】在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6時，令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0，則通過綜合除法可知，該方程的根為0.5 ，-3，-2，1.所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1).

令y=f(x)，做出函數y=f(x)的圖象，找到函數圖像與X軸的交點x1 ,x2 ,x3 ,…xn ，則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)… (x-xn).與方法九相比，能避開解方程的繁瑣，但是不夠準確。

【例】在分解x^3 +2x^2 -5x-6時，可以令y=x^3 +2x^2 -5x-6.作出其圖像，與x軸交點為-3，-1，2 ，則x^3 +2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2).

十、雙十字相乘法

雙十字相乘法屬於因式分解的一類，類似於十字相乘法。用一道例題來説明如何使用。

【例】分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12.

解：這是一個二次六項式，可考慮使用雙十字相乘法進行因式分解。

x 2y 2

① ② ③

x 3y 6

∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6).

雙十字相乘法其步驟為>>

① 先用十字相乘法分解2次項，如十字相乘圖①中X^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y);

② 先依一個字母(如y)的一次係數分數常數項。如十字相乘圖②中6y^2+18y+12=(2y+2)(3y+6);

③ 再按另一個字母(如x)的一次係數進行檢驗，如十字相乘圖③，這一步不能省，否則容易出錯。

十一、主元法

先選定一個字母為主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。

十二、特殊值法

將2或10代入x，求出數p，將數p分解質因數，將質因數適當的組合，並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。

【例】在分解x^3+9x^2+23x+15時，令x=2，則x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105，將105分解成3個質因數的積，即105=3×5×7 .

注意到多項式中最高項的係數為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值，則x^3+9x^2+23x+15可能等於(x+1)(x+3)(x+5)，驗證後的確如此。

十三、待定係數法

首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。

【例】在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4時，由分析可知：這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。

於是設x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd，由此可得a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4.解得a=1，b=1，c=-2，d=-4.則x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4).

通過以上數學公式：因式分解的方法的學習後，想必同學們的學習會更進一步，如想了解更多請繼續關注數學網。