拉普拉斯隨筆

説起概率論起源的故事，就要提到法國的兩個數學家。一個叫做帕斯卡，一個叫做費馬。帕斯卡是17世紀有名的“神童”數學家。費馬是一位業餘的大數學家，許多故事都與他有關。

帕斯卡認識的朋友中有兩個是賭徒。

1651年，法國一位貴族梅累向法國數學家、物理學家帕斯卡提出了一個十分有趣的“分賭注”問題。這兩個賭徒説，他倆下賭金之後，約定誰先贏滿5局，誰就獲得全部賭金。賭了半天，A贏了4局，B贏了3局，時間很晚了，他們都不想再賭下去了。那麼，這個錢應該怎麼分？是不是把錢分成7份，贏了4局的就拿4份，贏了3局的就拿3份呢？或者，因為最早説的是滿5局，而誰也沒達到，所以就一人分一半呢？

這兩種分法都不對。正確的答案是：贏了4局的拿這個錢的3／4，贏了3局的拿這個錢的1／4。

為什麼呢？假定他們倆再賭一局，或者A贏，或者B贏。若是A贏滿了5局，錢應該全歸他；A如果輸了，即A、B各贏4局，這個錢應該對半分。現在，A贏、輸的可能性都是1／2，所以，他拿的錢應該是1／2×1＋1／2×1／2＝3／4，當然，B就應該得1／4。

這個問題可把他難住了，他苦苦思考了兩三年，到1654年才算有了點眉目。於是他寫信給的好友費馬，兩人討論結果，取得了一致的意見：梅累的分法是對的，他應得64個金幣的，賭友應得64金幣的。

通過這次討論，開始形成了概率論當中一個重要的概念—————數學期望。

在上述問題中，數學期望是一個平均值，就是對將來不確定的錢今天應該怎麼算，這就要用A贏輸的概率1／2去乘上他可能得到的錢，再把它們加起來。概率論從此就發展起來，今天已經成為應用非常廣泛的一門學科。

這時有位荷蘭的數學家惠更斯在巴黎聽到這件新聞，也參加了他們的討論。討論結果，惠更斯把它寫成一本書叫《論賭博中的計算》（1657年），這就是概率論最早的一部著作。

概率論現在已經成了數學的一個重要分支，在科學技術各領域裏有着十分廣泛的應用。

概率論進一步的發展

帕斯卡、費馬和惠更斯以來，第一個對概率論給予認真注意的是雅各布·伯努利。他的《猜度術》一書，包含了大數律的敍述；棣莫弗最早使用正態分佈曲線；拉格朗日的貢獻在於誤差理論。

不過，首先將概率論建立在堅固的數學基礎上的是拉普拉斯。從1771年起，拉普拉斯發表了一系列重要著述，特別是1812年出版的《概率的解析理論》，對古典概率論作出了強有力的'數學綜合，敍述並證明了許多重要定理。拉普拉斯等人的著作還討論了概率論對人口統計、保險事業、度量衡、天文學甚至某些法律問題的應用。概率論在十八世紀已遠不再是隻與賭博問題相聯繫的學科了。

概率論起源於15世紀中葉。儘管任何一個數學分支的產生與發展都不外乎是社會生產、科學技術自身發展的推動，然而概率論的產生，卻肇事於所謂的“賭金分配問題”。1494年意大利數學家帕西奧尼(1445－1509)出版了一本有關算術技術的書。書中敍述了這樣的一個問題：在一場賭博中，某一方先勝6局便算贏家，那麼，當甲方勝了4局，乙方性了3局的情況下，因出現意外，賭局被中斷，無法繼續，此時，賭金應該如何分配？帕西奧尼的答案是：應當按照4：3的比例把賭金分給雙方。當時，許多人都認為帕西奧尼的分法不是那麼公平合理。

因為，已勝了4局的一方只要再勝2局就可以拿走全部的賭金，而另一方則需要勝3局，並且只少有2局必須連勝，這樣要困難得多。但是，人們又找不到更好的解決方法。在這以後100多年中，先後有多位數學家研究過這個問題，但均未得到過正確的答案。

直到1654年一位經驗豐富的法國賭徒默勒以自己的親身經歷向帕斯卡請教“賭金分配問題”，引起了這位法國天才數學家的興趣，並促成了帕斯卡與費馬這兩位大數學家之間就此問題展開的異乎尋常頻繁的通信，他們分別用了自己的方法獨立而又正確地解決了這個問題。

費馬的解法是，如果繼續賭局，最多隻要再賭4輪便可決出勝負，如果用“甲”表示甲方勝，用“乙”表示乙方勝，那麼最後4輪的結果，不外乎以下16種排列。

甲甲甲甲甲甲乙乙甲乙乙乙

甲甲甲乙甲乙甲乙乙甲乙乙

甲甲乙甲甲乙乙甲乙乙甲乙

甲乙甲甲乙乙甲甲乙乙乙甲

乙甲甲甲乙甲乙甲乙乙乙乙

乙甲甲乙

甲方勝乙方勝

在這16種排列中，當甲出現2次或2次以上時，甲方獲勝，這種情況共有11種；當乙出現3次或3次以上時，乙方勝出，這種情況共有5種。因此，賭金應當按11：5比例分配。

帕斯卡解決這個問題則利用了他的“算術三角形”，歐洲人常稱之為“帕斯卡三角形”。

早些時候，法國有兩個大數學家，一個叫做巴斯卡爾，一個叫做費馬。

巴斯卡爾認識兩個賭徒，這兩個賭徒向他提出了一個問題。他們説，他倆下賭金之後，約定誰先贏滿5局，誰就獲得全部賭金。賭了半天，A贏了4局，B贏了3局，時間很晚了，他們都不想再賭下去了。那麼，這個錢應該怎麼分？

是不是把錢分成7份，贏了4局的就拿4份，贏了3局的就拿3份呢？或者，因為最早説的是滿5局，而誰也沒達到，所以就一人分一半呢？

這兩種分法都不對。正確的答案是：贏了4局的拿這個錢的3／4，贏了3局的拿這個錢的1／4。

為什麼呢？假定他們倆再賭一局，或者A贏，或者B贏。若是A贏滿了5局，錢應該全歸他；A如果輸了，即A、B各贏4局，這個錢應該對半分。現在，A贏、輸的可能性都是1／2，所以，他拿的錢應該是1／2×1＋1／2×1／2＝3／4，當然，B就應該得1／4。

通過這次討論，開始形成了概率論當中一個重要的概念—————數學期望。

在上述問題中，數學期望是一個平均值，就是對將來不確定的錢今天應該怎麼算，這就要用A贏輸的概率1／2去乘上他可能得到的錢，再把它們加起來。

概率論從此就發展起來，今天已經成為應用非常廣泛的一門學科。

物理學上有四大神獸，薛定諤的貓，芝諾的烏龜，麥克斯韋的妖精和拉普拉斯妖。這四大神獸都是難以理解，且有着深刻內涵的假設。其中拉普拉斯妖是一種關於宇宙學説的科學假設。

拉普拉斯妖是在1814年由法國的一名數學家名為皮耶爾·西蒙·拉普拉斯的人提出的。拉普拉斯在青年的時候就已經在數學方面顯示出他的天賦，18歲時就去了巴黎從事數學工作。當時想向法國的知名學者達朗貝爾求教，但是被拒絕了。之後，他向達朗貝爾寄出了一封力學論文，被達朗貝爾所認同。

後來，拉普拉斯在法國科學院裏擔任院士，研究出一系列關於天體學的問題，在研究這些問題的時候他創造了一些數學方法，像是以他的名字命名的拉普拉斯變換，拉普拉斯定理以及拉普拉斯方程。這些方法在科學界的很多技術方面得到了應用。

拉普拉斯妖出現的這個假設的大致意思就是：把宇宙現在的狀態視為未來的因和過去的果，那麼如果有一名智者能夠知道宇宙過去得到的這些結果的公式，包括宇宙裏最大的物體和最小的粒子運動的一條簡單公式，那麼這個智者根據這些進行數據分析，就能夠推測出未來的因。這個智者就指的拉普拉斯妖。

但是拉普拉斯提出的這個假設是在十九世紀的時候，那時沒有近代量子力學的出現，而近代量子力學的出現使得拉普拉斯妖的理論基礎受到質疑和反駁。

從正則系綜配分函數切換到微正則系綜態密度或者説譜密度的時候，所用的是拉普拉斯逆變換；反之是拉普拉斯變換。其中核的指數上的複數也很好理解，它經常出現於統計力學中的Lee-Yang理論（由李政道和楊振寧於1952年通過兩篇論文建立）：即復化之後的温度，化學勢或者外磁場。

他們通過這種復化的方法推導出出了在熱力學極限下，系統發生一級或者連續相變的條件（原文是對於自旋系統的）：就像複分析裏的branchcut一樣，Lee-Yang零點在複平面上聚集成一條線，只有取實數值的物理量在相變是跨過這條線，才會發生一級相變。這些零點解釋了為什麼一個明明是解析函數的配分函數在相變時卻能導致發散的物理量，也給出了一個no-gotheorem：不取熱力學極限就不會發生相變；至今這套理論還是研究傳統非拓撲相變的利器。有人會説復的物理學量只是數學技巧罷了，但近來有實驗表明我們是能觀測到Lee-Yang零點的，參見ExperimentalDeterminationofDynamicalLee-YangZeros。跑偏一點，這套理論還衍生出Lee-Yangedge，即高於相變温度時，上述的Lee-Yang零點匯聚線終止於兩個臨界點，而用於描述該臨界點附近復物理量的理論是一個centralcharge為的2維共形場論，叫非幺正minimalmodel。

因此拉普拉斯變換在研究3維純量子引力（不含費米物質）特別是黑洞熵以及黑洞Hawking-Page相變的時候，經常出現在半經典近似中，因為如果假設AdS/CFT成立，復化的熱力學量既屬於二維漸進邊界上的引力邊界條件，也是邊界二維共形場論的參數。