2017九年級數學上第一次月考模擬試卷
一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分)
1.下列函數表達式中，一定為二次函數的是( )
A.y=3x﹣1 B.y=ax2+bx+c C.y=2t2+1 D.y=x2+
2.在下列二次函數中，其圖象對稱軸為x=﹣2的是( )
A.y=(x+2)2 B.y=2x2﹣2 C.y=﹣2x2﹣2 D.y=2(x﹣2)2
3.二次函數y=(x﹣1)2+2的最小值是( )
A.﹣2 B.2 C.﹣1 D.1
4.將拋物線y=(x﹣2)2+2向左平移2個單位，再向下平移3個單位後，拋物線的解析式為( )
A.y=x2+3 B.y=x2﹣1 C.y=x2﹣3 D.y=(x+2)2﹣3
5.已知拋物線y=x2﹣x﹣2與x軸的一個交點為(m，0)，則代數式m2﹣m+2012的值為( )
A.2012 B.2013 C.2014 D.2015
6.若拋物線y=(x﹣a)2+(a﹣1)的頂點在第一象限，則a的取值範圍為( )
A.a>1 B.a>0 C.a>﹣1 D.﹣1
7.軍事演習時發射一顆炮彈，經xs後炮彈的高度為ym，且時間x(s)與高度y(m)之間的函數關係為y=ax2+bx(a≠0)，若炮彈在第8s與第14s時的高度相等，則在下列哪一個時間的高度是最高的( )
A.第9s B.第11s C.第13s D.第15s
8.已知二次函數y=﹣x2+2x+3，當x≥2時，y的取值範圍是( )
A.y≥3 B.y≤3 C.y>3 D.y<3
9.二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖，點C在y軸的正半軸上，且OA=OC，則( )
+1=b +1=c +1=a D.以上都不是
10.一次函數y=ax+b與二次函數y=ax2+bx+c在同一座標系中的圖象大致是( )
A. B. C. D.
二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，滿分16分)
11.如圖所示，在同一平面直角座標系中，作出①y=﹣3x2，②y=﹣ ，③y=﹣x2的圖象，則從裏到外的三條拋物線對應的函數依次是 (填序號)
12.已知二次函數y=﹣x2+4x﹣2與x軸交於A，B兩點，與y軸交於點C，則△ABC的面積為 .
13.教練對小明推鉛球的錄像進行技術分析，發現鉛球行進高度y(m)與水平距離x(m)之間的關係為y=﹣ (x﹣4)2+3，由此可知鉛球推出的距離是 m.
14.二次函數y=x2+x+c的圖象與x軸有兩個交點A(x1，0)、B(x2，0)，且x1x2時，n>0;③當n<0時，x10時，x
三、本大題共2小題，每小題8分，共16分
15.用配方法或公式法求二次函數 的對稱軸、頂點座標和最值.
16.已知當x=1時，二次函數有最大值5，且圖象過點(0，﹣3)，求此函數關係式.
四、本大題共2小題，每小題8分，共16分
17.已知拋物線y=﹣ + 與x軸交於A，B兩點，與y軸交於點C，若點D是AB的中點，求CD的長.
18.如圖是一座拋物線拱形橋，在正常水位時，水面AB寬是20m，水位上升3m就達到警戒線CD，這是水面寬度為10m，請構建適當的水平直角座標系求拋物線所對應的函數表達式，並求水位到達警戒線時拱頂與水面之間的距離.
五、本大題共2小題，每小題12分，共20分
19.如圖，O，B，C三點均在二次函數y= 的圖象上，點O為座標原點，四邊形OBAC為菱形，且∠OBA=120°，試求菱形OBAC的面積.
20.已知拋物線yn=﹣(x﹣an)2+an(n為正整數，且0
(1)求a1，b1的值及拋物線y2的解析式;
(2)拋物線y3的頂點座標為( ， );依此類推第n條拋物線yn的頂點座標為( ， );所有拋物線的頂點座標滿足的函數關係是 .
六、本題滿分12分
21.已知二次函數y=ax2+b的圖象與直線y=x+2相交於點A(1，m)和點B(n，0).
(1)試確定二次函數的解析式;
(2)在給出的平面直角座標系中畫出這個函數圖象的草圖，並結合圖象直接寫出ax2+b>x+2時x的取值範圍.
七、本題，滿分12分
22.超市市場部整理出銷售某品牌新款童裝的銷售量與銷售單價的相關信息如下：
已知該童裝的進價為每件60元，設銷售單價為x元，銷售單價不低於進價，且獲利不得高於45%，設銷售該款童裝的利潤為W元.
(1)求利潤W與銷售單價x之間的關係式，並求銷售單價定為多少元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元?
(2)若超市銷售該款童裝獲得的利潤不低於500元，試確定銷售單價x的範圍.
八、本題滿分14分
23.如圖，將一塊三角板放在平面直角座標系中，已知∠AOB=30°，∠ABO=90°，且點A的座標為(2，0).
(1)求點B的座標;
(2)若二次函數y=ax2+bx的圖象經過A，B，O三點，試確定此二次函數的解析式;
(3)在(2)中的二次函數圖象的OB段(不包括點O，B)上，是否存在一點C，使得△OBC的面積最大?若存在，求出這個最大值及此時點C的座標;若不存在，請説明理由.
參考答案與試題解析
一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分)
1.下列函數表達式中，一定為二次函數的是( )
A.y=3x﹣1 B.y=ax2+bx+c C.y=2t2+1 D.y=x2+
【考點】二次函數的定義.
【分析】根據二次函數的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常數，a≠0)的函數，叫做二次函數進行分析.
【解答】解：A、是一次函數，故此選項錯誤;
B、當a≠0時，是二次函數，故此選項錯誤;
C、是二次函數，故此選項正確;
D、含有分式，不是二次函數，故此選項錯誤;
故選：C.
【點評】此題主要考查了二次函數定義，判斷函數是否是二次函數，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然後再根據二次函數的定義作出判斷，要抓住二次項係數不為0這個關鍵條件.
2.在下列二次函數中，其圖象對稱軸為x=﹣2的是( )
A.y=(x+2)2 B.y=2x2﹣2 C.y=﹣2x2﹣2 D.y=2(x﹣2)2
【考點】二次函數的性質.
【分析】根據二次函數的性質求出各個函數的對稱軸，選出正確的選項.
【解答】解：y=(x+2)2的對稱軸為x=﹣2，A正確;
y=2x2﹣2的對稱軸為x=0，B錯誤;
y=﹣2x2﹣2的對稱軸為x=0，C錯誤;
y=2(x﹣2)2的對稱軸為x=2，D錯誤.
故選：A.
【點評】本題考查的是二次函數的性質，正確求出二次函數圖象的對稱軸是解題的關鍵.
3.二次函數y=(x﹣1)2+2的最小值是( )
A.﹣2 B.2 C.﹣1 D.1
【考點】二次函數的最值.
【分析】考查對二次函數頂點式的理解.拋物線y=(x﹣1)2+2開口向上，有最小值，頂點座標為(1，2)，頂點的縱座標2即為函數的最小值.
【解答】解：根據二次函數的性質，當x=1時，二次函數y=(x﹣1)2+2的最小值是2.
故選：B.
【點評】求二次函數的最大(小)值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法.
4.將拋物線y=(x﹣2)2+2向左平移2個單位，再向下平移3個單位後，拋物線的解析式為( )
A.y=x2+3 B.y=x2﹣1 C.y=x2﹣3 D.y=(x+2)2﹣3
【考點】二次函數圖象與幾何變換.
【分析】先根據二次函數的性質得到拋物線y=(x﹣2)2+2的頂點座標為(2，2)，再利用點平移的規律得到點(2，2)平移後所得對應點的.座標為(0，﹣1)，然後利用頂點式寫出平移後拋物線的解析式.
【解答】解：拋物線y=(x﹣2)2+2的頂點座標為(2，2)，把點(2，2)先向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度所得對應點的座標為(0，﹣1)，所以所得到的拋物線的解析式為y=x2﹣1.
故答案為y=x2﹣1.
故選B.
【點評】本題考查了二次函數圖象與幾何變換：由於拋物線平移後的形狀不變，故a不變，所以求平移後的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移後的座標，利用待定係數法求出解析式;二是隻考慮平移後的頂點座標，即可求出解析式.
5.已知拋物線y=x2﹣x﹣2與x軸的一個交點為(m，0)，則代數式m2﹣m+2012的值為( )
A.2012 B.2013 C.2014 D.2015
【考點】拋物線與x軸的交點.
【分析】把點(m，0)代入拋物線解析式求出m2﹣m，再代入代數式計算即可得解.
【解答】解：∵拋物線y=x2﹣x﹣2與x軸的一個交點為(m，0)，
∴m2﹣m﹣2=0，
解得m2﹣m=2，
∴m2﹣m+2012=2+2012=2014.
故選：C.
【點評】本題考查了二次函數圖象上點的座標特徵，根據函數圖象上點的座標滿足函數解析式求出m2﹣m的值是解題的關鍵.
6.若拋物線y=(x﹣a)2+(a﹣1)的頂點在第一象限，則a的取值範圍為( )
A.a>1 B.a>0 C.a>﹣1 D.﹣1
【考點】二次函數的性質.
【分析】求得拋物線y=(x﹣a)2+(a﹣1)的頂點在第一象限，即可得出a的取值範圍.
【解答】解：∵物線y=(x﹣a)2+(a﹣1)的頂點在第一象限，
∴ ，
∴a的取值範圍為a>1，
故選A.
【點評】本題考查了二次函數的性質，掌握拋物線的頂點座標的求法是解題的關鍵.
7.軍事演習時發射一顆炮彈，經xs後炮彈的高度為ym，且時間x(s)與高度y(m)之間的函數關係為y=ax2+bx(a≠0)，若炮彈在第8s與第14s時的高度相等，則在下列哪一個時間的高度是最高的( )
A.第9s B.第11s C.第13s D.第15s
【考點】二次函數的應用.
【分析】由於炮彈在第8s與第14s時的高度相等，即x取8和14時y的值相等，根據拋物線的對稱性可得到拋物線y=ax2+bx的對稱軸為直線x=8+ =11，然後根據二次函數的最大值問題求解.
【解答】解：∵x取6和14時y的值相等，
∴拋物線y=ax2+bx的對稱軸為直線x=8+ =11，
即炮彈達到最大高度的時間是11s.
故選：B.
【點評】本題考查了二次函數的應用：先通過題意確定出二次函數的解析式，然後根據二次函數的性質解決問題;實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數的最值時，一定要注意自變量x的取值範圍.
8.已知二次函數y=﹣x2+2x+3，當x≥2時，y的取值範圍是( )
A.y≥3 B.y≤3 C.y>3 D.y<3
【考點】二次函數的性質.
【分析】先求出x=2時y的值，再求頂點座標，根據函數的增減性得出即可.
【解答】解：當x=2時，y=﹣4+4+3=3，
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，
∴當x>1時，y隨x的增大而減小，
∴當x≥2時，y的取值範圍是y≤3，
故選B.
【點評】本題考查了二次函數的性質的應用，能理解二次函數的性質是解此題的關鍵，數形結合思想的應用.
9.二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖，點C在y軸的正半軸上，且OA=OC，則( )
+1=b +1=c +1=a D.以上都不是
【考點】二次函數圖象與係數的關係.
【專題】數形結合.
【分析】根據圖象易得C(0，c)且c>0，再利用OA=OC可得A(﹣c，0)，然後把A(﹣c，0)代入y=ax2+bx+c即可得到a、b、c的關係式.
【解答】解：當x=0時，y=ax2+bx+c=c，則C(0，c)(c>0)，
∵OA=OC，
∴A(﹣c，0)，
∴a(﹣c)2+b(﹣c)+c=0，
∴ac﹣b+1=0，
即ac+1=b.
故選A.
【點評】本題考查了二次項係數與係數的關係：對於二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)，二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小：當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口;一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左; 當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右.;拋物線與x軸交點個數由△決定：△=b2﹣4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點;△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點;△=b2﹣4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.
10.一次函數y=ax+b與二次函數y=ax2+bx+c在同一座標系中的圖象大致是( )
A. B. C. D.
【考點】二次函數的圖象;一次函數的圖象.
【分析】可先根據一次函數的圖象判斷a、b的符號，再判斷二次函數圖象與實際是否相符，判斷正誤.
【解答】解：A、由一次函數y=ax+b的圖象可得：a>0，此時二次函數y=ax2+bx+c的圖象應該開口向上，錯誤;
B、由一次函數y=ax+b的圖象可得：a>0，b>0，此時二次函數y=ax2+bx+c的圖象應該開口向上，對稱軸x=﹣ <0，錯誤;
C、由一次函數y=ax+b的圖象可得：a<0，b<0，此時二次函數y=ax2+bx+c的圖象應該開口向下，對稱軸x=﹣ <0，正確.
D、由一次函數y=ax+b的圖象可得：a<0，b<0，此時二次函數y=ax2+bx+c的圖象應該開口向下，錯誤;
故選C.
【點評】應該熟記一次函數y=kx+b在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數的有關性質：開口方向、對稱軸、頂點座標等.
二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，滿分16分)
11.如圖所示，在同一平面直角座標系中，作出①y=﹣3x2，②y=﹣ ，③y=﹣x2的圖象，則從裏到外的三條拋物線對應的函數依次是 ①③② (填序號)
【考點】二次函數的圖象.
【分析】拋物線的形狀與|a|有關，根據|a|的大小即可確定拋物線的開口的寬窄.
【解答】解：①y=﹣3x2，
②y=﹣ x2，
③y=﹣x2中，二次項係數a分別為﹣3、﹣ 、﹣1，
∵|﹣3|>|﹣1|>|﹣ ，
∴拋物線②y=﹣ x2的開口最寬，拋物線①y=﹣3x2的開口最窄.
故答案為：①③②.
【點評】本題考查了二次函數的圖象，拋物線的開口大小由|a|決定，|a|越大，拋物線的開口越窄;|a|越小，拋物線的開口越寬.
12.已知二次函數y=﹣x2+4x﹣2與x軸交於A，B兩點，與y軸交於點C，則△ABC的面積為 2 .
【考點】拋物線與x軸的交點.
【專題】計算題.
【分析】根據拋物線與x軸的交點問題，通過解方程﹣x2+4x﹣2=0得到A(2﹣ ，0)，B(2+ ，0)，再計算自變量為0時的函數值得到C點座標，然後根據三角形面積公式計算.
【解答】解：當y=0時，﹣x2+4x﹣2=0，解得x1=2+ ，x2=2﹣ ，則A(2﹣ ，0)，B(2+ ，0)，所以AB=2+ ﹣(2﹣ )=2 ，
當x=0時，y=﹣x2+4x﹣2=﹣2，則C(0，﹣2)，
所以△ABC的面積= ×2 ×2=2 .
故答案2 .
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數y=ax2+bx+c(a，b，c是常數，a≠0)與x軸的交點座標問題轉化為解關於x的一元二次方程.
