《圓錐曲線中的最值問題》數學教案
一、內容與內容解析
圓錐曲線的單元複習的基礎內容包括橢圓、雙曲線和拋物線的定義、標準方程、簡單幾何性質，直線與圓錐曲線的位置關係,在掌握以上一些陳述性知識和程序性知識的基礎上，再學習圓錐曲線的一些綜合應用.
在解析幾何中，運動是曲線的靈魂，在形的運動中必然伴隨着量的變化，而在變化中，往往重點關注變化中不變的量或關係，以及變量的變化趨勢，由此產生圓錐曲線中的定點、定值問題，圓錐曲線的中的參數取值範圍問題，圓錐曲線中的最值問題等.
圓錐曲線的最值問題是本單元複習綜合性較強的內容.重點研究變化的距離、弦長、角度、面積、斜率、定比等幾何量的最值及相關問題.本課重點是藉助對常見的距離問題等的研究提煉出解決此類問題的思想方法和基本策略，並能進行簡單的應用.
解決圓錐曲線的最值問題，不僅要用到圓錐曲線定義、方程、幾何性質，還常用到函數、方程、不等式及三角函數等重要知識，綜合性強，聯繫性廣,策略性要求高.其基本的思想是函數思想和數形結合思想，基本策略主要是代數和幾何兩個角度分析. 由於圓錐曲線是幾何圖形，研究的量也往往是幾何量，因此藉助幾何性質，利用幾何直觀來分析是優先選擇；但幾何直觀往往嚴謹性不強，難以細緻入微，在解析幾何中需要藉助代數的工具來實現突破.
幾何方法主要結合圖形的幾何特徵，藉助圓錐曲線的定義以及平面幾何知識作直接論證及判斷;代數方法主要是將幾何量及幾何關係用代數形式表示,通過設動點座標或動直線的方程，將目標表示為變量的函數，從而轉化為函數的最值問題，再借助函數、方程、不等式等知識解決問題.
二、教學問題診斷
圓錐曲線的最值問題的解決，涉及的知識面廣，需要綜合運用圓錐曲線、平面幾何、代數等相關知識，還需要較強的運算技能和分析問題解決問題的能力.
在本課的學習中，學生可能存在的問題有：知識的聯繫性和系統性較弱，難以調動眾多的知識合理地解決問題；運算能力不強，算得慢，易算錯，影響問題解決的執行力；問題解決的策略性不強，就題論題，對問題的數學本質認識模糊等現象.再加上學生對複習課的認識比較片面，對複習課缺乏新鮮感。
在教學中，可以從簡單的問題（或者教材中的問題）出發，通過問題的提出、問題的拓展、問題的變式等措施，使學生對圓錐曲線最值問題的本質特徵有更新、更深的認識，同時激發學生學習的積極性；在教學中，通過學生對一類問題的主動思考、交流互動、反思提煉，構建知識體系，形成基本技能，關注數學本質，體驗與感悟問題解決的策略。
為了更好地加強策略性知識的學習，教學中可一題多用，減少問題解決的運算量,使學生在關鍵點加強思考與交流，有更多的時間進行創造性的實踐與反思.
三、目標與目標解析：
1.進一步理解圓錐曲線的定義、標準方程和幾何性質，會求解橢圓、拋物線的相關變量的最值問題，並形成一定的方法;
2.進一步體會“解析法”思想，會從代數與幾何兩個角度分析和解決曲線的最值問題，並會進行合理的選擇；
3.在問題的提出、分析、解決的過程，進一步形成圓錐曲線最值問題的方法體系和數學思想，形成處理最值問題的基本策略,養成質疑和創新的`意識.
解決問題後需要重構認知結構，對知識間的聯繫有新的認識，並在操作中形成技能;會通過反思與交流，感悟並提煉重要的數學思想；在具體的最值問題中，能根據問題的結構有意識地選擇幾何或代數的策略，並進行具體的操作.
四、教學支持條件分析
由於圓錐曲線的最值問題涉及到圖形運動和數量變化，學生往往缺乏對問題的直覺把握和深切的感受，教學中可通過幾何畫板、TI—Nspire圖形計算器、GeGebra等軟件，直觀地呈現數、式、形的聯動變化，使學生逐步形成多元聯繫的觀點.
對於一些的運算，可以利用TI—Nspire CAS代數運算系統，幫助學生在課堂上降低運算的難度，減少運算的時間，更深入地體會數學的本質.
五、教學過程設計
（一） 提出問題——解決問題——形成初步經驗
圓錐曲線中求一些變量的最值，是一類常見的問題，如何根據這類問題的特點，尋求相應的解題策略是我們本課研究的重點.
請大家做一做問題一.並與同學交流，進行解題後的反思.
問題一 已知F(0,1),M(0,3),N(3,0), P是拋物線 上的一動點，
（1）求|PF|的最小值；
（2）求|PM|的最小值；
（3）求|PM|+|PN|的最小值.
反思： （1）通過問題一的解決，你能否總結出解決此類問題的基本策略？體現了怎樣的數學思想？
（2）你能對每一種策略，總結出明確的操作步驟嗎？
（3）面對具體問題時如何選擇相應的策略，你有了怎樣的經驗？
設計意圖：
問題一入口簡單，計算容易，在方法上有迴歸定義，構造函數，幾何論證等典型方法。讓學生先做，一方面是瞭解學生學習水平，診斷學生學習中存在的問題；另一方面，通過學生的做，讓學生對此類問題及其解法有切身的感受與體驗.
注重學生在解題後的反思活動，通過相互的交流和表達，對解決的策略進行反思提煉，並作進一步的明確，是使策略性知識內化的重要過程.
預設：解決圓錐曲線中的最值問題主要有兩種策略：
一是幾何方法：根據圖形的特點，藉助圓錐曲線的定義及幾何圖形的一些性質，進行直接判斷.
二是代數方法：核心是函數思想，具體步驟：設參變量，找關係，建立目標函數，求函數的最值.
一般地，當條件中幾何關係比較明顯時，可藉助幾何直觀，否則選用代數的方法.
（二）瞭解策略——簡單應用——形成基本技能
你能否用前面所總結的解題策略來解決下列問題：
問題二 練一練
（1）點P是拋物線C： 上的動點,F是拋物線C的焦點，M(2,4),則 的最小值為 .
（2）若P，Q分別橢圓 與圓 上的兩個動點，則
的最小值和最大值分別為 ， .
設計意圖：
題(1)是動點到兩定點的距離的最值問題，由於涉及到拋物線上的點到焦點的距離問題，可以利用拋物線的定義轉化為點P到準線 的距離,從而利用平面幾何中點到直線的所有距離中垂線段最短的結論得到問題結果.解決此類問題，要求學生有結合曲線的幾何性質進行轉化與化歸的能力.
題(2)對象涉及橢圓與圓，目標是動點到動點的距離最值問題，與問題一相比在結構上有較大差異；設計成填空題的形式可以引導學生優先選擇圖形直觀解決問題，同時強調推導需要理性，本題先借助“形”的結構特點，得到 ，從而將問題轉化為求橢圓上動點P到定點M(0,3)的距離的最值問題，進而從代數的角度，設點的座標，建立目標函數進行求解.
實際教學中學生易憑直覺判斷，需要進行適當的變式.如“壓扁橢圓”使學生直觀地感知錯誤，促進學生進行反思並調整策略.
圖3
有學生用“曲率”來進行説明,
也可以用同心圓來直覺猜想，
最簡單的方法還是用代數法——函數思想分析.
（三）問題變式——策略優化——形成能力
問題三. 議一議
點M(0,3)的直線與橢圓 交於P,Q兩個不同點,若 ,
求數 的取值範圍.
分析：先審題：（1）誰在動？目標量是誰？（2）動直線有限制條件嗎？（3）動直線確定時，P，Q的位置確定嗎？不同的位置對目標量 的值是否會有影響？
預設：本題若從代數的角度求解，當直線斜率存在時，設直線的斜率 為參變量，則將 代入 ，得
.
可得 .
（１）若直接求出方程的兩根，
則 ．
（２）若設 ，則
但若從幾何的角度，卻有意外的驚喜！
設計意圖:可以建立 與斜率 的等量關係，再由 的範圍求 的取值範圍，也可以利用問題2的結論從幾何的角度直接判斷.同樣的思想方法,可以訓練學生的學習能力,形成解決問題的策略.
實際教學中，學生更多選擇代數方法，只有三個同學選擇幾何法，學生一利用了練習二的結論 ，但這裏事實上對一般的問題有個方法上的漏洞，教師可以提出質疑：當橢圓足夠扁時， 的最小值點和最大值點不共線，還能用類似的幾何方法處理嗎？
其實同樣只需再換一個角度就可以順利解決，用幾何畫板演示 的變化即可.
練一練
直線=x(>0)與橢圓 交於P,Q兩點,A,B分別是橢圓的右、上頂點, 則四邊形APBQ面積的最大值為
你能説明理由嗎？談談你的解題思路，並與同學議一議，瞭解一些不同的思路.
設計意圖：本題的目標量是四邊形的面積，需要藉助三角形的面積，轉化為距離問題進行求解.由此產生不同的策略.
如1： ，以 為參數構建目標函數;
如2： ，以P點的座標為參數建立目標函數;
如3： ，以P點座標為參數，建立目標函數.
如4：以思路2為基礎，可以通過幾何直觀判斷面積的最大值，即求P,Q兩點到直線AB的距離之和的最大值，即為平行於AB且與橢圓相切的兩直線之間的距離．
通過交流，瞭解不同的解法，使學生進一步體會兩種策略的靈活運用，提升解題能力．
有學生提出兩種幾何法（1）如4；（2）較有創意：將橢圓通過伸縮變換成為圓，先解決圓中的四邊形面積最大問題，再進行還原！
(四)反思小結——策略內化
本節課的學習，你有什麼收穫？
（1）你認為解決最值問題有哪些策略？
（2）每種策略如何操作？
（3）這些思想體現了怎樣的數學思想？
（4）還有其他收穫或感想嗎？
設計意圖：
解題後，在教師的引導下學生的自主反思，才能使學生的解題技能提升為策略，並內化成自身的能力.
（五）目標檢測
（必做題）
1. 若P，Q分別拋物線C： 與圓 上的兩個動點，求 的最小值.
2.
2. 若P，Q分別是兩條曲線上的任意兩點，則稱長度 的最小值為這兩曲線之間的距離.給定直線 與橢圓 ，求直線l與橢圓D之間的距離.
（自主題）
3. 給定直線 與橢圓 ，請寫出你自己設計的一個最值問題，並選擇相應的策略加以解決.
設計意圖：開放式地提出問題是學生地“弱點”，但在複習課的教學中，有必要給學生機會重新審視過去做過大量問題的特徵，並嘗試提出一些 “自己”的具有創造性的問題.同時這也是學生對問題及問題解決本質理解的進一步內化的過
