關於集合大小定義的標準的高一數學知識點
作為集合大小的定義，應該滿足什麼樣的基本要求?我們當然要儘可能地使它符合一般的關於“大小”的常識和直覺，其中有許多是要比“整體大於部分”更加要緊的。首先，一個集合的大小隻應該取決於這個集合本身。
我們知道一個集合可以用多種方法來構造和表示，比如説，
A={小於等於2的正整數｝
B={1, 2｝
C={x2-3x+2=0的根｝
其實都是同一個集合，
D={n n為自然數，且方程xn+yn=zn有xyz≠0的整數解｝
又怎麼樣呢?1996年英國數學家懷爾斯證明了費爾馬大定理，所以集合D和上面的集合A、B、C是同一個集合，它裏面有兩個元素1和2。我們記得，一個集合由它所含的元素唯一決定，所以它的大小也不能取決於它被表示的方法，或者被構造的途徑，它只應該取決於它本身。
一個集合得和自己一樣大，這個沒有什麼好説的;其次，如果集合A不小於(也就是説或者大於，或者一樣大)集合B，而集合B也不小於集合A，那麼它們就必須是一樣大的;第三，如果集合A不小於集合B，而集合B又不小於集合C，那麼集合A就必須不小於集合C。在數學上，我們稱滿足這三個條件的關係為“偏序關係”(注：嚴格地説，這個偏序關係並不定義在集合之間，而是定義在集合按“一樣大”這個等價關係定義出的等價類之間，關於偏序關係的嚴格定義的敍述和上面所説的也有區別，但這些問題在這裏並不要緊，你如果看不懂這個注在講什麼也不要緊)。如果一個關於集合大小的定義違反了上面所説的三條之一，這個定義的怪異程度一定會超過上面使用一一對應原則的定義!
舉個例子，比如説我對某位科幻小説作家的喜愛程度就是一個偏序關係。如果我喜歡阿西莫夫勝於喜歡凡爾納，而喜歡凡爾納又勝於喜歡克拉克，那在阿西莫夫和克拉克中，我一定更喜歡阿西莫夫。不過一個偏序關係並不要求任意兩個對象都能相互比較。比如説劉慈欣的水平當然不能和克拉克這樣的世界級科幻大師比，但是“喜歡”是一種很個人的事情，作為一箇中國人，我對中國的科幻創作更感興趣——所以似乎不能説我更喜歡克拉克，但也不能説我更喜歡劉慈欣，而且也不能説同樣喜歡，因為喜歡的地方不一樣——所以更確切地也許應該説，他們倆之間不能比較。但偏序關係中存在這樣的可能性，有一個對象可以和兩個不能相互比較的對象中的每一個相比較，比方説我喜歡阿西莫夫勝過劉慈欣和克拉克中的任一個。
不過作為集合大小的定義，我們希望能夠比較任意兩個集合的大小。所以，對於任何給定的兩個集合A和B，或者A比B大，或者B比A大，或者一樣大，這三種情況必須有一種正確而且只能有一種正確。這樣的偏序關係被稱為“全序關係”。
最後，新的定義必須保持原來有限集合間的大小關係。有限集合間的大小關係是很清楚的，所謂的“大”，也就是集合中的元素更多，有五個元素的集合要比有四個元素的集合大，在新的擴充了的集合定義中也必須如此。這個要求是理所當然的，否則我們沒有理由將新的定義作為老定義的擴充。
“整體大於部分”原則的困難和一一對應原則的優點
滿足上面幾條要求的定義，最簡單的就是認為無限就只有一種，所有的無限集合都一樣大，而它們都大於有限集合。這其實是康托爾創立集合論以前數學家的看法，所以康托爾把無限分成許多類的革命性做法使得數學家們大吃了一驚。但是這樣的定義未免太粗糙了一點，只不過是把“無限集合比有限集合大”換了種方法説罷了，我們看不出這有什麼用處。沒有用的定義不要也罷——再説在這種定義中，自然數和正偶數也一樣多，因為所對應的集合都是無限集合。
如果我們在上面幾條要求中，再加上“整體大於部分”這條要求會怎麼樣呢?
我們想像平面上有條射線，射線的一端是原點，然後在上面我們每隔一釐米畫一個點，並在每個點旁邊標上1、2、3……等，這樣就有無窮個點。那麼這個點集和自然數集合比較大小的結果應該如何?按照我們前面的要求，任何兩個集合都應該可以比較大小的。我們很容易想像到，這其實是一條數軸的正半軸，上面的點就是代表自然數的那些點，所以這些點的個數應該和自然數的個數相同。而且，按照“整體大於部分”的規定，那些標有10、20、30……的點的集合比所有點的集合要小。但是“一釐米”實在是非常人為的規定，如果我們一開始就每隔一分米畫一個點，順着上面的思路，這些點的個數也該和自然數一樣多，但是這恰好是按一釐米間隔畫點時標有10、20、30……的點啊!那些點始終是一樣的，所以它們的個數不應該取決於在它們的旁邊標記的是“1、2、3……”還是“10、20、30……”。
再舉一個例子。假設我給你一個大口袋，裏面有無限多個小口袋，上面按照自然數標了號1、2、3……。在1號口袋中有1粒豆子，2號口袋中有2粒豆子，……依次類推。現在我當着你的.面拿掉1號小口袋，那麼剩下的小口袋數和原來的相比如何?如果按照“整體大於部分”的觀點，應該是少了，少一條。但是如果我當初就揹着你拿掉1號口袋，然後從其他每個小口袋中取出一粒豆子，再把小口袋上的號碼改掉，2改成1，3改成2……，然後再把大口袋給你，你顯然不會知道我做了手腳，因為這時大口袋裏的東西和原來沒有任何區別，所以小口袋的數量和原來一樣多。這就和“少一條”矛盾了，從小口袋裏拿一粒豆子或者是塗改上面的標號不應該改變口袋的數量。大家明白我是打了一個比方，大口袋就是一個集合。按照上面的要求，集合的大小隻應該取決於集合本身，而不應該取決於集合的表示方法或構造方法，也就是得到集合的過程。你拿到了大口袋，也就是就應該知道里面小口袋的數量，而不用知道我是否做過手腳。
這樣的例子可以舉很多。我們發現，如果堅持“整體大於部分”的話，固然可以使得某些集合和自己的子集相比較時，比如比較自然數和正偶數的個數時，符合“直觀”和“常識”。但是更多的非常直觀的東西和常識卻都會變成錯誤的。比如説，x'=x+1這樣一個數軸上的座標平移，會將座標上的點集{1,2,3……｝變為{2,3,4……｝，一個座標平移居然可以變動點集中元素的個數!“元素可以一一對應的兩個集合大小相同”這條原理的失效，會使得我們在比較兩個元素很不相同的集合時無所適從：怎樣不使用一一對應的方法來比較自然數和數軸上(0,1)區間中點的個數?
在上面的兩個例子中我們會有這樣的感覺，對於無限集合來説，從部分中似乎可以“產生”出整體來。比如射線上的每隔一釐米畫一個點的例子，如果我們把不是10的倍數的點去掉，然後將平面“收縮”到原來尺度的十分之一，我們就重新得到了原來的那個點集。在裝豆子的口袋的例子中，只要從去掉1號口袋後剩下的那些袋子中拿去一粒豆子，我們就又得到了原來的那個大口袋。這暗示了無限集合的一個重要特點：從某種意義上來説，它和自己的一部分相似。事實上，無限集合的一個定義就是“能和自己的一部分一一對應的集合”。所以在無限集合大小的比較中，違反了“整體大於部分”的原則並不奇怪，因為這恰好就是無限集合的特徵。
如果使用一一對應的比較方法，我們發現它滿足所有第二節中提出的關於集合大小定義的要求。而且除了“整體大於部分”這個我們已經解釋過的不適用的原則外，不違反其他的直覺和常識。事實上用一一對應的方法來比較兩個集合的大小，也是非常符合直觀的。如果有兩盒火柴，我們想比較哪盒中的火柴數量更多，我們大可不必去數出每盒中火柴的數量，那樣很容易出錯。其實只要從不斷地從兩盒火柴中拿掉相同數量的火柴，最後如果同時兩盒都不剩下火柴，那麼就説明數量一樣多，否則就是還剩有火柴的那盒比較多。
而更重要的是，這樣的定義非常有用。康托爾在提出他關於集合的基數理論後，非常簡潔地證明了“幾乎所有實數都是超越數”，而那個時候數學家連一個超越數的實例都還沒有找到!引起第三次數學革命的羅素悖論也是從基數理論中產生出來的。雖然集合的基數理論現在已經為一般的數學系學生和許多數學愛好者所熟悉，數學家們還是能從中找到非常有趣和深奧的課題，比如説“超大集合理論”，這是關於一些基數大得匪夷所思的集合的理論。我們知道對於任何一個集合A，它的冪集P(A)(也就是它所有子集構成的集合)一定比它本身大，所以我們可以構造一系列的集合A，P(A)，P(P(A))……一個比一個大，所以沒有最大的集合。而“超大集合理論”聲稱，存在一個集合B，比前面這一系列集合中的每個都要大!
所以説，使用一一對應原則來定義集合大小，是數學家迫不得已和最佳的選擇。
直覺的合理性和數學結構
在文章的最前面我們提到過，從直覺上説來，自然數的個數應該是正偶數的兩倍，這裏難道沒有一點合理的因素在內嗎?有時我們會聽到數學家説：“幾乎所有的自然數都不是素數。
”如果按照一一對應的原則，素數和自然數是一樣多的(第一個素數2對應1，第二個素數3對應2，第三個素數5對應3，……第n個素數對應n，……)，這不矛盾嗎?
數學並不依賴於直覺，但是尊重直覺，直覺中常常包含着合理的因素。受過數學訓練的人對數學的直覺一般來説要比其他人更有合理性，數學大師能夠用直覺把握住很深刻的數學理論，他們有時會説：“雖然我還沒有一個嚴格證明，但是我知道它是對的。”數學大師的直覺當然不是每個人能模仿的，但是我們的確可以改變對一些數學物體的想像方法，來改善自己的直覺，使得它更有合理性。
當我們談到集合的大小，這裏所談論的集合應該是沒有附加的數學結構的。當所比較的集合都是自然數的子集時，直覺往往會偷偷地把自然數的數學結構加在上面。什麼是數學結構?讓我們先從最一般的集合説起。當我們談論集合時，我們只應該把它看做一個裝着元素的大袋子，裏面的元素之間沒有任何聯繫，比如説自然數集合，我們應該想像那是一個裝了標了號的球(或者其他什麼)的大袋子，球和球之間並沒有什麼聯繫，10並不一定非得在100的前面出現，如果你把口袋使勁抖抖，裏面的球有些翻上來有些被壓到底下去，但這並不改變這個集合——這仍然是自然數集合。
所謂的結構，就是在元素間增加聯繫，使得它們不能隨便亂動。建築工地上搭的腳手架就是一種結構，上面的鋼管啊鐵絲啊木板啊都不是隨隨便便堆在一起的，而是按照一定的方式聯繫在一起。修建完了一幢大樓後，工人們會把它們都拆下來再拿到另一個工地上去安裝使用，雖然構成腳手架的元素——鋼管鐵絲木板還是原來的那些，但是腳手架卻完全是另一個了，變化了的其實是結構。
數學結構也一樣。比如説上面我們講的序關係，就是元素之間的一種聯繫。我們可以很方便地驗證自然數的大小滿足我們前面所説的偏序關係的三個條件，而且每兩個自然數之間都可以比較大小，所以在自然數集合上有一個全序關係，這個關係就給了自然數集合一個結構，就叫序結構。你可以把擁有全序結構的自然數集合仍舊想像成上面那個裝了球的袋子，只是這時候那些球已經被從小到大串成了一串，不能隨便亂跑了。平時我們想像自然數集合，可能會把它想成數軸上離原點越來越遠的一串點，或者1、2、3、……這樣從小到大的一列數，不知不覺地，我們已經把序結構想像進去了。當我們感到“正偶數的個數應該是自然數個數的一半，因為每隔一個數就有一個是偶數”，我們是在想像那條串成一串的球，偶數球得老老實實地和奇數球一個隔一個地串在一起，而不是雜亂無章放在袋裏，後面這種情況是談不上“每隔一個”的。
在考慮到自然數的序結構後，我們就可以給“自然數的個數是正偶數的個數的兩倍”這種直覺一個合理的解釋了。考慮小於100的正偶數，一共有49個，所以佔小於100的自然數的49/99，接近1/2;如果把“小於100”改成“小於1000”，那麼結果是499/999，更接近1/2了;把上面的100和1000換成越來越大的數字，我們會發現正偶數所佔的比例會越來越接近1/2。這就提示我們可以採用這樣一種關於自然數的子集的大小的定義：如果A是自然數的一個子集，令p(n)為A中小於n的元素的個數，我們稱limn→∞p(n)/n(就是當n趨向無窮大時，p(n)/n的極限)為A相對於自然數集合的大小。在這個定義下，正偶數集合相對於自然數集合的大小就是1/2。按照這樣的定義，素數集合相對於自然數集合的大小是0，這也就是所謂的“幾乎所有的自然數都不是素數”。用上面這個方法還可以比較兩個自然數集合的子集的相對大小，具體方法就由讀者自己來思考了。
如果沒有自然數序結構這個“背景”，我們就只能夠使用一一對應的方法來討論集合的基數，那種“自然數的個數是正偶數的個數的兩倍”的直覺只是一種錯覺。比如説考慮下面平面圖上，所有(2n,n)這樣的點所組成的集合(其中n是自然數)。如果站在x軸的角度來看，我們發現每隔一列就有一個點，而列數顯然和自然數一樣多，所以點數就該和正偶數一樣多;如果站在y軸的角度來看，我們發現每行都有一個點，而行數也和自然數一樣多，所以點數就該和自然數一樣多。按照集合基數的觀點，自然數和正偶數一樣多，上面這種情況完全不造成矛盾，但是“直覺”所給予的一會兒“一樣多”一會兒“兩倍”的印象，就沒有太大的意義了(最多得到“兩倍的無窮大等於無窮大”這種我們按照一一對應原則早已熟知，而且解釋得更好的觀點)。
除了序結構外，還有其他的數學結構。法國著名的布爾巴基學派就認為數學基於三種母結構：序結構、代數結構和拓撲結構，各種數學結構可以混雜在一起得出不同的數學對象，比如説實數集上有比較大小的序結構，還有由算術運算(加和乘，減和除是它們的逆運算)定義的代數結構，以及由極限理論(它規定了某些點必須在另一些點的“附近”)定義的拓撲結構。布爾巴基學派試圖用結構主義的觀點來統一數學，出版了著名的《數學原理》。結構主義的觀點大致來説，就是數學結構決定數學對象。兩個分別定義在兩個不同集合上的數學對象，如果它們的數學結構相同，那麼即使集合中的元素很不相同，它們其實也是同一個數學對象。在數學中我們有時會碰到“同構”這個詞，就是指在某種一一映射下，兩個數學對象的數學結構相同。
舉一個簡單的例子。中學裏我們學過複數和它的幾何表示法，知道每個複數都可以對應到直角座標平面上的一個點，而複數的加法和乘法也都有各自的幾何意義。在這裏，一個複數是a+bi這樣的一對數，還是平面上的一個點(a,b)並不是關鍵，儘管一對數和一個點是完全不同的兩樣東西，只要在實數對集合和平面點集上面由加法和乘法決定代數結構是相同的，它們都可稱作是複數，是同一個數學對象。相反地，如果我們在平面上定義另一種乘法為(a1, b1)*(a2, b2)=((a1*a2, b1*b2)，那麼儘管平面上的點仍舊是那些，但是因為在上面所定義的數學結構變了，於是就完全是兩種不同的數學對象了。
象上面這樣的例子中數學結構的相同當然很直觀，而有一些此類問題則牽涉到極其深刻的數學理論，比如説著名的龐加萊猜想(新千年的七大數學問題之一，價值百萬美金:-))就是問，是否任意閉單連通3維流形都同胚於3維球，換句話説，是否給定了“閉單連通”這個條件，在3維流形上就只能有一種拓撲結構，也就是3維球的拓撲結構?另外，證明兩個原來似乎沒有關係的數學對象的數學結構其實是相同的，意義非常重大，這樣的定理是連通兩個數學領域的橋樑。這意味着這兩個數學對象其實是同一種東西，對於其中一個數學對象成立的理論，可以立刻應用在另一個上面;以往用來研究一種數學對象的方法，就可以被用來研究另一類數學對象。本文開頭説到英國數學家懷爾斯證明了費爾馬大定理，他證明的其實是更一般的“谷山-志村猜想”。這個猜想就是此類意義重大的命題，它溝通了兩個數學領域：橢圓曲線和模形式。它的證明被稱為是“人類智慧的凱歌”。
最後舉個搞笑的例子。網上有人發現了下面兩張圖片，左邊是變形金剛的電影招貼，右邊是藍貓的廣告，構成畫面的元素不同，一個是機器人，一個是藍貓和它的朋友，但是擺的“甫士”和畫面結構卻相同，也算是個不光彩的“同構”例子吧。
“一個平面上的點應該比一條直線上的點的個數多”這樣的直覺也可以用附加的數學結構來解釋合理性。當我們想像直線或平面上的點時，我們不但想像了那些點集，同時也在想像着這些點集構成的直線和平面，於是它們就再不是那些集合中散亂的點了，它們的排列非常有規律。換句話説，我們在點集上增加了決定直線和平面的數學結構。如果我們把直線和平面看作是實數域上的線性空間(關於線性空間的理論是線性代數，所有理科的學生會在大學一年級學習)，我們就遇見了一些數學結構：首先我們需要一個實數域，上面有一個域的代數結構，其次我們在直線和平面的點集上定義了一個交換羣的代數結構，最後在實數域和交換羣上定義了稱作“數乘”的代數結構，這個代數結構同域和交換羣上的各種運算都兼容，這樣我們最終得到了這個被稱為“實數域上的線性空間”的代數結構。上面這一串話也許有點複雜，但是中心思想就是上面所説的結構主義的思想：數學對象是由各種數學結構混雜在一起(當然要合理地混雜在一起，上面所説的“兼容”就是這個意思)而得到的。一旦我們這樣規定了線性空間的結構，我們就可以定義線性空間的維數，這時我們可以説，兩維的線性空間(平面)在這種意義下要比一維的線性空間(直線)大。
從上面兩個例子我們看到，當集合中的元素只是被看做一個沒有任何數學結構的集合中散亂的元素時，我們只能用一一對應的方法來比較集合的大小;而當豐富多彩的數學結構被加在集合上時，我們才有可能用更精細和更符合直覺的手段來定義不同的比較(附加有數學結構的)集合大小的方法。
