函數的教學設計
篇一：函數的表示法教學設計
2.2 函數的表示法教學設計
鄂倫春中學 張建軍
教學目標：
1.使學生掌握函數的常用的三種表示法；
2.使學生能根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數，瞭解函數不同表示法的優缺點； 3.使學生理解分段函數及其表示法，會處理某些簡單的分段函數問題； 4.培養學生數形結合與分類討論的數學思想方法，激發學生的學習熱情。
教學重點：
函數的三種表示法及其相互轉化，分段函數及其表示法
教學難點：
根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數，分段函數及其表示法。
教學過程：
一、新課引入
複習提問：函數的定義
問題1
（1）這份表格表示的是函數關係嗎? （2）當x在(0,+∞)變化時呢? 怎麼表示?
2
答：（1）是函數關係； （2）是函數關係；y＝x x∈(0，＋∞）或圖象法。
在研究函數的過程中，採用不同的方法表示函數，可以幫助我們從不同的角度理解函數的性質，同時也是研究函數的重要手段.
問題2：請同學們回憶一下國中學過的函數有哪些常用的表示法？ 答：列表法是、圖像法、解析法 二、新課講解
請同學們閲讀課本P28-P29例2以上部分內容。 1.列表法
在實際問題中常常使用表格，有些表格描述了兩個變量間的函數關係，比如，某天一晝夜温度變化情況如下表.
問題：列表法是怎樣定義的？有什麼優、缺點？ 在學生回答的基礎上師生共同總結：
（1）定義：用表格的形式表示兩個變量之間函數關係的方法，稱為列表法。
（2）優點：不用通過計算就能知道兩個變量之間的對應關係，比較直觀.
缺點：只能表示有限個元素間的函數關係. 2．圖象法：
人的心臟跳動強度是時間的函數，醫學上常用的心電圖，就是利用儀器記錄心臟跳動的強度（函數值）隨時間變化的曲線圖.
問題：圖像法是怎樣定義的？有什麼優、缺點？ 在學生回答的基礎上師生共同總結：
（1）定義：用圖像把兩個變量間的函數關係表示出來的方法，稱為圖像法。
（2）優點：圖像法可以直觀地表示函數的局部變化規律，進而可以預測它的整體趨勢. 缺點：只能近似反映函數的變化情況. 3解析式法：
例如，設正方形的邊長為x，面積為y，則y是x的函數，用解析式表示為y＝x x∈(0，＋∞） 問題：解析式法是怎樣定義的？有什麼優、缺點？ 在學生回答的基礎上師生共同總結：
（1）解析式法：一個函數對應關係用自變量的解析表達式（簡稱解析式）表示出來的方法，稱
為解析法。
（2）優點：解析法表示的函數關係能較便利地通過計算等手段研究函數性質.
缺點：一些實際問題很難找到它的解析式.
函數的三種表示法並不是相互獨立的，它們可以相互轉化，是有機的一個整體，像我們非常熟悉的一次函數、二次函數，我們都可以用列表法是、圖像法、解析法來表示和研究它們。
下面我們再通過幾個具體實例來研究函數的列表法是、圖像法、解析法的相互轉化和應用。
例1、 請畫出函數y?x的圖像
2
解：由絕對值定義，得y?x??
?x,x?0
?x,x?0?
它的圖像為第一和第二象限的角平分線，如右圖所示
例2、 畫出圖像，並寫出函數的解析式。
解：郵資M是信函質量m的函數，函數圖像如下圖所示
?1.20,?2.40,??
函數解析式為：M??3.60,
?4.80,???6.00,
0?m?2020?m?4040?m?60 60?m?8080?m?100
4．分段函數：像這樣在定義域內的不同區間上對應着不同的解析式的函數叫分段函數
注意：（1）分段函數是一個函數，而不是“幾個函數”；
（2）分段函數的定義域是各段定義域的並集，值域是各段值域的並集 （3） 有些函數既可用列表法表示,也可用圖像法或解析法表示.
三、思考交流
1.某種筆記本的單價是5元，買x（x∈{1，2，3，4，5}）個筆記本需要多少元？試用函數的三種表示法表示函數.
解：這個函數的定義域是數集｛1，2，3，4，5｝,解析式法：y＝5x，x∈{1，2，3，4，5}
列表法：
圖像法：多媒體顯示
四、課堂練習
P31第1、2題。 五、課堂小結
師生共同歸納本節主要內容
1.掌握函數三種表示法的優、缺點，靈活運用三種表示法表示函數. 2.掌握運用分段函數來表達實際問題.
六、佈置作業
P34習題2-2 A組 第1、2題。
篇二：優秀教案8-函數的表示法(1)
1.2.2 函數的表示法(1)
教材分析
本節內容是數學1第一章函數的第二節內容，學習函數的表示，不僅是研究函數本身和應用函數解決實際問題所必須涉及的問題，而且是加深理解函數概念的過程。同時，基於高中階段所接觸的許多函數均可用幾種不同的方式表示，因而使得學習函數的表示也是向學生滲透數形結合方法的重要過程。本課題的重點是
課時分配
本節內容用1課時的時間完成，主要講解函數的三種表示法及應用.
教學目標
重點:掌握函數的三種方法表示以及各自的特點並靈活應用函數的三種表示方法。 難點：使學生面對實際情境時會根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數。
能力點：如何在實際問題中抽象出函數模型，數形結合、歸納推理的數學思想的運用.
教育點：經歷學習內容與生活實際的聯繫，驗證與歸納等數學活動，感受數學美，增強學生好學樂學的
情感
自主探究點：如何運用國中的方法表示例3中的函數及利用描點作圖的方法畫分段函數的圖象. 考試點：能使用恰當的方法表示函數、會畫分段函數的圖象及研究其性質. 易錯易混點：分段函數的解析式和圖象.
拓展點：如何恰當利用函數的表示法研究函數的性質.
教具準備 多媒體課件、三角板 課堂模式 學案導學 一、引入新課
提出問題:
國中學過的三種表示法:解析法、圖象法和列表法各是怎樣表示函數的？ 【設計意圖】引導學生回憶表示函數常用的三種方法：解析法、列表法。 【師生活動】教師引導：1.2.1中實例（1）（2）（3）分別是什麼方法表示函數關係？
學生討論，也可能產生疑問，如認為只有解析式表示的才是函數，圖像法和列表法不是函數的表達形式。 教師與學生總結：(1)解析法:就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關係；(2)圖象法:就是用圖像表示兩個變量間的對應關係。以自變量x的取值為橫座標,對應的函數值y為縱座標,在平面直角座標系中描出各個點,這些點構成了函數的圖象.
(3)列表法:就是列出表格來表示兩個變量間的對應關係。列一個兩行多列的表格,第一行是自變量的取值,第二行是對應的函數值.
【設計意圖】讓學生進一步理解並掌握三種函數表示法的含義。
二、探究新知
例3 某種筆記本的單價是5元,買x(x∈{1,2,3,4,5})個筆記本需要y元,試用三種表示法表示函數y=f(x).
師：能獨立用三種方法表示例3中的函數嗎？是否所有的函數都能用解析式表示？指導學生獨立解決例3，並提出問題：（1）用解析法表示函數是否一定要寫出自變量的取值範圍？ （2）用描點法畫函數圖象的一般步驟是什麼？此題中的圖象為什麼不是一條直線？
【設計意圖】注意本例的設問，此處“y?f(x)”有三種含義，它可以是解析表達式，可以是圖象，也可以是對應值表．
解：這個函數的定義域是數集{1,2,3,4,5}, 用解析法可將函數y=f(x)表示為 y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.
用圖象法可將函數y=f(x)表示為圖1-2-2-1.
生：思考、解決例3,。 師生共同得出：（1）在寫函數解析式時一定要寫出函數的定義域，定義域第函數存在的前提。（2）描點法畫函數圖象的一般步驟是列表、描點、連線。
由（1）得出函數y?5x,x??1,2,3,4,5?與函數y?5x是兩個不同的函數，函數y?5x的圖象是一條直線，函數y?5x,x??（1）在畫函數圖象時一定注意函數的1,2,3,4,5?的圖象是5個離散的點。由此可以看出：定義域；（2）函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等。 師：比較三種表示法，他們各自的特點是什麼？
師生共同總結：解析式的特點是：函數關係清楚，容易從自變量的值求出其對應的函數值，便於用解析式 來研究函數的性質，還有利於我們求函數的值域．
列表法的特點是：不通過計算就知道自變量取某些值時函數的對應值. 圖像法的特點是：能直觀形象地表示出函數的變化情況.
師：向學生強調①解析法：必須註明函數的定義域；②列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特徵；③圖象法：是否連線；④函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等. ） 師：判
斷一個圖象是不是函數圖象的依據是什麼？鼓勵學生用自己學過的只是和方法探求結論。 生：積極討論，得出結論：平行於y軸的直線（或y軸）與圖象至多有一個交點。 師：思考：所有的函數都能用解析法表示嗎？ 生：不能。例如1.2.1實例（2）（3）。 師：讓學生舉出例子。 練習：課本P23練習1
請你對這三位同學在高一學年度的數學學習情況做一個分析.
【設計意圖】讓學生掌握對於一個具體的問題，應該如何選擇恰當的方法表示問題中的函數問題，也讓學生意識到不是所有的函數都可以用解析法表示。
師：指導學生閲讀例題並思考：由題目中給出的表格能否直觀地分析出三位同學的成績高低？如何才能更好地比較三個人的成績高低呢？ 生：認真思考提出自己的觀點。
師：具體要分析什麼？怎麼分析？藉助什麼工具？本題利用表格給出了四個函數,它們分別表示王偉、張城、趙磊的考試成績及各次考試的班級平均分.由於表格區分三位同學的成績高低不直觀,故採用圖象法來表示.做學情分析,具體要分析學習成績是否穩定,成績變化趨勢. 解：由圖可看到:
王偉同學的數學成績始終高於班級平均分,學習情況比較穩定而且成績優秀;
張城同學的數學成績不穩定,總是在班級平均分水平上下波動,而且波動幅度較大; 趙磊同學的數學學習成績呈上升趨勢,表明他的數學成績穩步提高.
【設計説明】本例利用表格給出了四個函數，它們分別表示王偉、張城、趙磊的各次考試成績及各次考試的班級平均分.由表格區分三位同學的成績高低不直觀，所以教科書選擇了圖象法表示.要培養學生根據實際需要選擇恰當的函數表示法的能力.要注意的是，圖中的虛線不是函數圖象的組成部分，之所以用虛線連接散點，主要是為了區分這三個函數，並且讓三個函數的圖象具有整體性，以方便比較.教學時應引導學生觀察圖象，學習如何從圖象上獲取有用信息，為分析每位同學的學習情況提供依據. 練習：課本P23練習2
三、理解新知
許多函數均可用幾種不同的方式表示，函數的表示滲透數形結合方法是研究函數本身和應用函數解決實際問題所必須涉及的問題，
四、運用新知
例5 畫出函數y=|x|的圖象.
師：學生思考函數圖象的畫法:①化簡函數的解析式為基本初等函數;②利用變換法畫出圖象,根據絕對值的概念來化簡解析式.
?x,x?0,
解法一：由絕對值的概念,我們有y=?
-x,x?0.?
所以,函數y=|x|的圖象如圖所示.
解法二：畫函數y=x的圖象,將其位於x軸下方的部分對稱到x軸上方,與函數y=x的圖象位於x軸上方的部分合起來得函數y=|x|的圖象如圖所示. 變式訓練
1.課本P23練習3.
【設計意圖】讓學生練習分段函數的圖象畫法。
x?0,?x?4,
?2
2.已知函數y=?x?2x,0?x?4,
??x?2,x?4.?
(1)求f{f［f(5)］}的值; (2)畫出函數的圖象.
【設計意圖】本題主要考查分段函數及其圖象.f(x)是分段函數,要求f{f［f(5)］},需要確定f［f(5)］的取值範圍,為此又需確定f(5)的取值範圍,然後根據所在定義域代入相應的解析式,逐步求解.畫出函數在各段上的圖象,再合起來就是分段函數的圖象.
解：(1)∵5>4,∴f(5)=-5+2=-3.∵-3<0,∴f［f(5)］=f(-3)=-3+4=1.
2
∵0<1<4,∴f{f［f(5)］}=f(1)=1-2×1=-1,即f{f［f(5)］}=-1. (2)圖象如圖所示
:
3.畫函數y=(x+1),-x,x≤0,x>0的圖象.
2
步驟:①畫整個二次函數y=x的圖象,再取其在區間(-∞,0］上的圖象,其他部分刪去不要;②畫一次函數y=-x的圖象,再取其在區間(0,+∞)上的圖象,其他部分刪去不要;③這兩部分合起來就是所要畫的分段函數的圖象.如圖所示
.
2
函數y=f(x)的圖象位於x軸上方的部分和y=|f(x)|的圖象相同,函數y=f(x)的圖象位於x軸下方的部分對稱到上方就是函數y=|f(x)|的圖象的一部分.利用函數y=f(x)的圖象和函數y=|f(x)|的圖象的這種關係,由函數y=f(x)的圖象畫出函數y=|f(x)|的圖象.
例6 某市“招手即停”公共汽車的票價按下列規則制定:
(1)乘坐汽車5千米以內(含5千米),票價2元;
(2)5千米以上,每增加5千米,票價增加1元(不足5千米按5千米計算),
如果某條線路的總里程為20千米,請根據題意,寫出票價與里程之間的函數解析式,並畫出函數的圖象. 【設計意圖】本題主要考查分段函數的實際應用,以及應用函數解決問題的能力.生活中有很多可以用分段函數描述的'實際問題,如出租車的計費、個人所得税納税額等等.在列出其解析式時,要充分考慮實際問題的規定,根據規定來求得解析式. 生：討論交流題目的條件,弄清題意.
師：本例是一個實際問題,有具體的實際意義,根據實際情況公共汽車到站才能停車,所以行車裏程只能取整數值.由於里程在不同的範圍內,票價有不同的計算方法,故此函數是分段函數. 解：設里程為x千米時,票價為y元,根據題意得x∈(0,20］. 由空調汽車票價制定的規定,可得到以下函數解析式
:
圖1-2-2-13
?2,0?x?5,?3,5?x?10,?y=?
4,10?x?15,???5,15?x?20.
根據這個函數解析式,可畫出函數圖象,如圖1-2-2-13所示.
【設計説明】①本例具有實際背景,所以解題時應考慮其實際意義;
②分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程,而應寫成函數值幾種不同的表達式並用一個左大括號括起來,並分別註明各部分的自變量的取值情況.
變式訓練：上海中學高三測試,理7某客運公司確定客票價格的方法是:如果行程不超過100千米,票價是每千米0.5元,如果超過100千米,超過部分按每千米0.4元定價,則客運票價y(元)與行程千米數x(千米)之間的函數關係式是________.
分析:根據行程是否大於100千米來求出解析式. 答案：y=?
0?x?100,?0.5x,
10?0.4x,x?100.?
五、課堂小結
教師提問：本節課我們學習了哪些知識，涉及到哪些數學思想方法？學生作答：
教師總結: 許多函數均可用幾種不同的方式表示，函數的表示滲透數形結合方法是研究函數本身和應用函數解決實際問題所必須涉及的問題，
六、佈置作業
1．課本P24練習3、5、
2.書面作業練習：課本P24練習7、8 選做題：練習：課本P24練習1、2、3、4
篇三：函數表示法 經典教案
1.2.2 函數的表示法 （一）
一、説教材
函數的表示法是“函數及其表示”這一節的主要內容之一．
學習函數表示法，可以加深對函數概念的理解，領悟數形結合，化歸等函數思想，函數的不同表示法能豐富對函數的認識，幫助理解抽象的函數概念．
解析法優點：
一是簡明、精確地概括了變量間的關係；
二是可以通過解析式求出任意一個自變量的值所對應的函數值． 解析法缺點： 不直觀形象
圖象法的優點：
直觀形象地表示自變量的變化的趨勢，在生產和生活中有許多應用
缺點：不精確 列表法的優點：
不需要計算就可以直接看出與自變量的值相對應的函數值，．列表法在實際生產和生活中也有廣泛應用．銀行的利率表等．
缺點：只能表示自變量個數較少的情況
在研究函數時，函數有三種表示方法，但並不是每個函數都可以用三種方法表示，根據問題的特點，恰當的選取表示方法。
分段函數是一類重要的函數．所謂分段函數，就是在同一個定義域的不同子集上對應關係不同的函數．這類似於，同一個國家的不同地區可以實行不同的社會制度． 二、説目標
1、知識目標：
(1)理解函數的三種表示方法；
(2)掌握簡單的分段函數，並能簡單應用． 2、能力目標：
(1) 進一步提高對函數本質的理解；
(2) 初步培養學生運用函數知識解決實際問題的能力． 3、情感目標：
通過本節課的教學，使學生進一步認識到，數學源於生活，數學也可應用於生活，能夠解決生活中的實際問題． 三、説重難點
1．函數三種表示方法的優缺點，恰當選取表示方法。 2．分段函數的理解
突破方法：通過探究1、説明函數有三種表示方法，而例1 ，無法用列表法表示，引出問題，加上思考2，説明，函數有三種表示方法，但並不是每個函數都可以用三種方法表示，應根據問題的特點，恰當的選取表示方法。如何選取呢，就要研究其優缺點，一氣呵成，使學生易於接受
分段函數，通過實例實踐，加上畫含絕對值號的函數的圖象，讓學生體驗到，分段函數的問題應該分段解決，然後再綜合．這也為下一步研究分段函數的單調性等性質打下伏筆．
在數學的天地裏，重要的不是我們知道什麼，而是我們怎麼知道什麼-------畢達哥拉斯
四、説教學基本流程
五、教學過程設計
一、自主學習
我們在國中就已經知道函數的三種表示法：解析法，圖象法，列表法． 探索
1：北方饅頭的單價是0.5
元，賣
x個饅頭得錢y元，剛5歲的兒童暑期幫父母賣饅頭，只要你説出購買個數，他就能準確説出錢數，其祕笈如右圖，兒童的祕笈是用 法表示的函數，試用其它兩種表示方法表示該函數。 （1）y?0.5x,x?N
（2）
*
在數學的天地裏，重要的不是我們知道什麼，而是我們怎麼知道什麼-------畢達哥拉斯
設計意圖：通過具體例子，讓學生用三種不同的表示方法來表示的同一個函數，加深對函數概念的理解．
根據學生探究結果，點評：
1、函數概念中的對應關係、定義域、值域是一個整體．寫解析式要註明定義域 2、函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等 學習了三種方法就是應用，看例1：
例1.某市“招手即停”公共汽車的票價按下列規則制定： （1）5公里以內(含5公里)，票價2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票價增加1元（不足5公里的按5公里計算）。
如果某條路線的總里程為20公里，請根據題意，寫出票價y元與里程x公里之間的函數解析式，並畫出函數的圖象。
?2,0?x?5；?3,5?x?10；?
解析：由題意知，自變量x的取值範圍是：?0,20?；函數解析式為：y??
?4,10?x?15；??5,15?x?20.
二、點撥歸納
思考
1、你能用列表法表示例1中的函數嗎？ 答：不能，自變量個數較多
2、心電圖、股票走勢圖是函數圖象嗎，能用函數解析式表示嗎？ 答：不能用解析式表示。
在數學的天地裏，重要的不是我們知道什麼，而是我們怎麼知道什麼-------畢達哥拉斯
動手試一試：畫出函數y?x的圖象.
探究：
?2,0?x?5,?3,5?x?10,
?x,x?0,?
像例1及試一試中所涉及的函數， y??；y??是在定義域不同
??x,x?0.?4,10?x?15,
??5,15?x?20.
子集上對應關係不同的函數稱為分段函數
1、 分段函數是一個函數嗎？答：是
2、 分段函數的定義域指各段自變量取值集合的並集嗎？值域呢？答：是；也是
所謂分段函數，就是在函數的同一個定義域的不同子集上對應關係不同的函數．類似於大陸、台灣是同一個國家的不同地區，社會制度可以不同．
三、自檢互評
在數學的天地裏，重要的不是我們知道什麼，而是我們怎麼知道什麼-------畢達哥拉斯
1、如下圖可作為函數y?f(x)的圖象的是（ D ）
.
A. B. C. D.
2、已知正方形的邊長為x，它的外接圓的半徑 為y，則y關於x的解析式為（A ）
A.y?
222x B.y?x C.y?xD.y?x 24816
?x2,0?x?1
3、已知f(x)??，則函數
x?1,?1?x?0?
11
f(?)?f(x)的定義域為??1,， ?22
若f(x0)?
11
，則x0=
?或 222
四、拓展遷移
1、畫出函數f(x)=|x－1|＋|x＋2|的圖象.
小結：
本節課學習的主要內容:
1、 2、 分段函數概念及應用 作業：
必做題： p.24 A組 7、8、9 選做題： B組 3、
