《集合的基本運算》教學設計

《集合的基本運算》是高中數學(必修一)的一節課程，這節課程對大多數學生來説比較通俗易懂，容易理解掌握，但其間有的知識點老師也要做好引導，下面小編給大家整理了這節課的教學設計，希望對大家有所幫助。

　　教學分析

課本從學生熟悉的集合出發，結合實例，通過類比實數加法運算引入集合間的運算，同時，結合相關內容介紹子集和全集等概念.在安排這部分內容時，課本繼續注重體現邏輯思考的方法，如類比等.

值得注意的問題：在全集和補集的教學中，應注意利用圖形的直觀作用，幫助學生理解補集的概念，並能夠用直觀圖進行求補集的運算.

　　三維目標

1.理解兩個集合的並集與交集、全集的含義，掌握求兩個簡單集合的交集與並集的方法，會求給定子集的補集，感受集合作為一種語言，在表示數學內容時的簡潔和準確，進一步提高類比的能力.

2.通過觀察和類比，藉助Venn圖理解集合的基本運算.體會直觀圖示對理解抽象概念的作用，培養數形結合的思想.

　　重點難點

　　教學重點：交集與並集、全集與補集的概念.

　　教學難點：理解交集與並集的概念，以及符號之間的區別與聯繫.

　　課時安排

　　2課時

　　教學過程

　　導入新課

思路1.我們知道，實數有加法運算，兩個實數可以相加，例如5+3=8.類比實數的加法運算，集合是否也可以“相加”呢?教師直接點出課題.

思路2.請同學們考察下列各個集合，你能説出集合C與集合A，B之間的關係嗎?

(1)A={1,3,5}，B={2,4,6}，C={1,2,3,4,5,6};

(2)A={x|x是有理數}，B={x|x是無理數}，C={x|x是實數}.

引導學生通過觀察、類比、思考和交流，得出結論.教師強調集合也有運算，這就是我們本節課所要學習的內容.

思路3.(1)①如圖1甲和乙所示，觀察兩個圖的陰影部分，它們分別同集合A、集合B有什麼關係?

圖1

②觀察集合A，B與集合C={1,2,3,4}之間的關係.

學生思考交流並回答，教師直接指出這就是本節課學習的課題：集合的基本運算.

(2)①已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，寫出由集合A，B中的所有元素組成的集合C.

②已知集合A={x|x>1}，B={x|x<0}，在數軸上表示出集合A與B，並寫出由集合A與B中的所有元素組成的集合C.

　　推進新課

　　新知探究

提出問題

(1)通過上述問題中集合A，B與集合C之間的關係，類比實數的加法運算，你發現了什麼?

(2)用文字語言來敍述上述問題中，集合A，B與集合C之間的關係.

(3)用數學符號來敍述上述問題中，集合A，B與集合C之間的關係.

(4)試用Venn圖表示A∪B=C.

(5)請給出集合的並集定義.

(6)求集合的並集是集合間的一種運算，那麼，集合間還有其他運算嗎?

請同學們考察下面的問題，集合A，B與集合C之間有什麼關係?

①A={2,4,6,8,10}，B={3,5,8,12}，C={8};

②A={x|x是國興中學2012年9月入學的高一年級女同學}，B={x|x是國興中學2012年9月入學的高一年級男同學}，C={x|x是國興中學2012年9月入學的高一年級同學}.

(7)類比集合的並集，請給出集合的交集定義，並分別用三種不同的語言形式來表達.

活動：先讓學生思考或討論問題，然後再回答，經教師提示、點撥，並對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路，主要引導學生髮現集合的並集和交集運算並能用數學符號來刻畫，用Venn圖來表示.

討論結果：(1)集合之間也可以相加，也可以進行運算，但是為了不和實數的運算相混淆，規定這種運算不叫集合的加法，而是叫做求集合的並集.集合C叫集合A與B的並集.記為A∪B=C，讀作A並B.

(2)所有屬於集合A或屬於集合B的元素組成了集合C.

(3)C={x|x∈A，或x∈B}.

(4)如圖1所示.

(5)一般地，由所有屬於集合A或屬於集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的並集.其含義用符號表示為A∪B={x|x∈A，或x∈B}，用Venn圖表示，如圖1所示.

(6)集合之間還可以求它們的公共元素組成的集合，這種運算叫求集合的交集，記作A∩B，讀作A交B.①A∩B=C，②A∪B=C.

(7)一般地，由屬於集合A且屬於集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集.

其含義用符號表示為：

A∩B={x|x∈A，且x∈B}.

用Venn圖表示，如圖2所示.

圖2

應用示例

例1 集合A={x|x<5}，B={x|x>0}，C={x|x≥10}，則A∩B，B∪C，A∩B∩C分別是什麼?

活動：學生先思考集合中元素的特徵，明確集合中的元素.將集合中元素利用數形結合在數軸上找到，那麼運算結果尋求就易進行.這三個集合都是用描述法表示的數集，求集合的並集和交集的關鍵是找出它們的公共元素和所有元素.

解：因為A={x|x<5}，B={x|x>0}，C={x|x≥10}，在數軸上表示，如圖3所示，所以A∩B={x|00}，A∩B∩C= .

圖3

點評：本題主要考查集合的交集和並集.求集合的並集和交集時，①明確集合中的元素;②依據並集和交集的含義，直接觀察或藉助於數軸或Venn圖寫出結果.

　　變式訓練

1.設集合A={x|x=2n，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N}，求A∩B，A∪B.

解：對任意m∈A，則有m=2n=2•2n-1，n∈N*，因n∈N*，故n-1∈N，有2n-1∈N，那麼m∈B，即對任意m∈A有m∈B，所以A⊆B.

而10∈B但10 A，即A B，那麼A∩B=A，A∪B=B.

2.求滿足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B的個數.

解：滿足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B一定含有元素3，B={3};還可含1或2其中一個，有{1,3}，{2,3};還可含1和2，即{1,2,3}，那麼共有4個滿足條件的集合B.

3.設集合A={-4,2，a-1，a2}，B={9，a-5,1-a}，已知A∩B={9}，求a.

解：∵A∩B={9}，則9∈A，a-1=9或a2=9.

∴a=10或a=±3.

當a=10時，a-5=5 ,1-a=-9;

當a=3時，a-1=2不合題意;

當a=-3時，a-1=-4不合題意.

故a=10.此時A={-4,2,9,100}，B={9,5，-9}，滿足A∩B={9}.

4.設集合A={x|2x+1<3}，B={x|-3

A.{x|-3

C.{x|x>-3} D.{x|x<1}

解析：集合A={x|2x+1<3}={x|x<1}，

觀察或由數軸得A∩B={x|-3

答案：A

例2 設集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，a∈R}，若A∩B=B，求a的值.

活動：明確集合A，B中的元素，教師和學生共同探討滿足A∩B=B的集合A，B的關係.集 合A是方程x2+4x=0的解組成的集合，可以發現，B⊆A，通過分類討論集合B是否為空集來求a的值.利用集合的表示 法來認識集合A，B均是方程的解集，通過畫Venn圖發現集合A，B的關係，從數軸上分析求得a的值.

解：由題意得A={-4,0}.

∵A∩B=B，∴B⊆A.

∴B= 或B≠ .

當B= 時，即關於x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0無實數解，

則Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0，解得a<-1.

當B≠ 時，若集合B僅含有一個元素，則Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0，解得a=-1，

此時，B={x|x2=0}={0}⊆A，即a=-1符合題意.

若集合B含有兩個元素，則這兩個元素是-4,0，

即關於x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的解是-4,0.

則有-4+0=-2(a+1)，-4×0=a2-1.

解得a=1，則a=1符合題意.

綜上所得，a=1或a≤-1.

　　變式訓練

1.已知非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，則能使A⊆(A∩B)成立的所有a值的集合是什麼?

解：由題意知A⊆(A∩B)，即A⊆B，A非空，利用數軸得 解得6≤a≤9，即所有a值的集合是{a|6≤a≤9}.

2.已知集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m -1}，且A∪B=A，試求實數m的取值範圍.

分析：由A∪B=A得B⊆A，則有B= 或B≠ ，因此對集合B分類討論.

解：∵A∪B=A，∴B⊆A.

又∵A={x|-2≤x≤5}≠ ，∴B= ，或B≠ .

當B= 時，有m+1>2m-1，∴m<2.

當B≠ 時，觀察圖4：

圖4

由數軸可得 解得2≤m≤3.

綜上所述，實數m的取值範圍是m<2或2≤m≤3，即m≤3.

點評：本題主要考查集合的運算、分類討論的思想，以及集合間關係的應用.已知兩個集合的運算結果，求集合中參數的值時，由集合的運算結果確定它們的關係，通過深刻理解集合表示法的轉換，把相關問題化歸為其他常見的方程、不等式等數學問題.這稱為數學的化歸思想，是數學中的常用方法，學會應用化歸和分類討論的數學思想方法解決有關問題.

　　知能訓練

課本本節練習1,2,3.

　　【補充練習】

1.設集合A={3,5,6,8}，B={4,5,7,8}，

(1)求A∩B，A∪B.

(2)用適當的符號(⊇，⊆)填空：

A∩B________A，B________A∩B，A∪B________A，A∪B________B，A∩B________A∪B.

解：(1)因A，B的公共元素為5,8，故兩集合的公共部分為5,8，

則A∩B={3,5,6,8}∩{4,5,7,8}={5,8}.

又A，B兩集合的所有相異元素為3,4,5,6,7,8，故A∪B={3,4,5,6,7,8}.

(2)由Venn圖可知

A∩B⊆A，B⊇A∩B，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∩B⊆A∪B.

2.設A={x|x<5}，B={x|x≥0}，求A∩B.

解：因x<5及x≥0的公共部分為0≤x<5，

故A∩B={x|x<5}∩{x|x≥0}={x|0≤x<5}.

3.設A={x|x是鋭角三角形}，B={x|x是直角三角形}，求A∩B.

解：因三角形按角分類時，鋭角三角形和直角三角形彼此孤立，故A，B兩集合沒有公共部分.

所以A∩B={x|x是鋭角三角形}∩{x|x是鈍角三角形}= .

4.設A={x|x>-2}，B={x|x≥3}，求A∪B.

解：在數軸上將A，B分別表示出來，得A∪B={x|x>-2}.

5.設A={x|x是平行四邊形}，B={x|x是矩形}，求A∪B.

解：因矩形是平行四邊形，故由A及B的元素組成的集合為A∪B，A∪B={x|x是平行四邊形}.

6.已知M={1}，N={1,2}，設A={(x，y)|x∈M，y∈N}，B={(x，y)|x∈N，y∈M}，求A∩B，A∪B.

分析：M，N中的元素是數，A，B中的元素是平面內的點集，關鍵是找其元素.

解：∵M={1}，N={1,2}，∴A={(1,1)，(1,2)}，B={(1,1)，(2,1)}，故A∩B={(1,1)}，A∪B={(1,1)，(1,2)，(2,1)}.

7.若A，B，C為三個集合，A∪B=B∩C，則一定有(　　)

A.A⊆C B.C⊆A C.A≠C D.A=

解析：思路一：∵(B∩C)⊆B，(B∩C)⊆C，A∪B=B∩C，

∴A∪B⊆B，A∪B⊆C.∴A⊆B⊆C.∴A⊆C.

思路二：取滿足條件的A={1}，B={1,2}，C={1,2,3}，排除B，D，

令A={1,2}，B={1,2}，C={1,2}，則此時也滿足條件A∪B=B∩C，