數學必修一知識點15篇

在日復一日的學習中，大家都沒少背知識點吧？知識點就是“讓別人看完能理解”或者“通過練習我能掌握”的內容。哪些才是我們真正需要的知識點呢？下面是小編精心整理的數學必修一知識點，僅供參考，大家一起來看看吧。

一、集合有關概念

1、集合的含義

2、集合的中元素的三個特性：

（1）元素的確定性如：世界上最高的山

（2）元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H，A，P，Y}

（3）元素的無序性：如：{a，b，c}和{a，c，b}是表示同一個集合

3、集合的表示：{…}如：{我校的籃球隊員}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}

（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員}，B={1，2，3，4，5}

（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。

注意：常用數集及其記法：XKb1、Com

非負整數集（即自然數集）記作：N

正整數集：Nx或N+

整數集：Z

有理數集：Q

實數集：R

1）列舉法：{a，b，c……}

2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合{x？R|x—3>2}，{x|x—3>2}

3）語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4）Venn圖：

4、集合的分類：

（1）有限集含有有限個元素的集合

（2）無限集含有無限個元素的集合

（3）空集不含任何元素的集合

二、集合間的基本關係

1、“包含”關係—子集

注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。

反之：集合A不包含於集合B，或集合B不包含集合A，記作AB或BA

2、“相等”關係：A=B（5≥5，且5≤5，則5=5）

實例：設A={x|x2—1=0}B={—1，1}“元素相同則兩集合相等”

即：①任何一個集合是它本身的子集。A？A

②真子集：如果A？B，且A？B那就説集合A是集合B的真子集，記作AB（或BA）

③如果A？B，B？C，那麼A？C

④如果A？B同時B？A那麼A=B

3、不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

4、子集個數：

有n個元素的集合，含有2n個子集，2n—1個真子集，含有2n—1個非空子集，含有2n—1個非空真子集

三、集合的運算

運算類型交集並集補集

定義由所有屬於A且屬於B的元素所組成的集合，叫做A，B的交集、記作AB（讀作‘A交B’），即AB={x|xA，且xB｝、

由所有屬於集合A或屬於集合B的元素所組成的集合，叫做A，B的並集、記作：AB（讀作‘A並B’），即AB={x|xA，或xB}）、

數學的學習方法

1、養成良好的學習數學習慣。建立良好的學習數學習慣，會使自己學習感到有序而輕鬆。高中數學的良好習慣應是：多質疑、勤思考、好動手、重歸納、注意應用。學生在學習數學的過程中，要把教師所傳授的知識翻譯成為自己的特殊語言，並永久記憶在自己的腦海中。良好的學習數學習慣包括課前自學、專心上課、及時複習、獨立作業、解決疑難、系統小結和課外學習幾個方面。

2、及時瞭解、掌握常用的數學思想和方法，學好高中數學，需要我們從數學思想與方法高度來掌握它。中學數學學習要重點掌握的的數學思想有以上幾個：集合與對應思想，分類討論思想，數形結合思想，運動思想，轉化思想，變換思想。

數學一元二次方程知識點

（1）一元二次方程的定義

等號兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），並且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

注意一下幾點：

①只含有一個未知數；

②未知數的最高次數是2；

③是整式方程。

（2）一元二次方程的一般形式

一般形式：

ax2+ bx + c = 0（a ≠0）、

其中，ax2是二次項，a是二次項係數；

bx是一次項，b是一次項係數；c是常數項。

（3）一元二次方程的根

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定義是解方程過程中驗根的依據。

　　一、集合有關概念

1. 集合的含義

2. 集合的中元素的三個特性：

(1) 元素的確定性,

(2) 元素的互異性,

(3) 元素的無序性,

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

(2) 集合的表示方法：列舉法與描述法。

? 注意：常用數集及其記法：

非負整數集(即自然數集) 記作：N

正整數集 N*或 N+ 整數集Z 有理數集Q 實數集R

1) 列舉法：{a,b,c……}

2) 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}

3) 語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4) Venn圖:

4、集合的分類：

(1) 有限集 含有有限個元素的集合

(2) 無限集 含有無限個元素的集合

(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=-5｝

　　二、集合間的基本關係

1.“包含”關係—子集

注意： 有兩種可能(1)A是B的一部分，;(2)A與B是同一集合。

反之: 集合A不包含於集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A

2.“相等”關係：A=B (5≥5，且5≤5，則5=5)

實例：設 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同則兩集合相等”

即：① 任何一個集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且A? B那就説集合A是集合B的真子集，記作A B(或B A)

③如果 A?B, B?C ,那麼 A?C

④ 如果A?B 同時 B?A 那麼A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

? 有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集

　　三、集合的運算

運算類型 交 集 並 集 補 集

定 義 由所有屬於A且屬於B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.記作A B(讀作‘A交B’)，即A B={x|x A，且x B｝.

由所有屬於集合A或屬於集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的並集.記作：A B(讀作‘A並B’)，即A B ={x|x A，或x B}).

設S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬於A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集(或餘集)

　　二、函數的有關概念

1.函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數.記作： y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值範圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域.

　　注意：

1.定義域：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。

求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：

(1)分式的分母不等於零;

(2)偶次方根的被開方數不小於零;

(3)對數式的真數必須大於零;

(4)指數、對數式的底必須大於零且不等於1.

(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那麼，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.

(6)指數為零底不可以等於零，

(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.

相同函數的判斷方法：①表達式相同(與表示自變量和函數值的字母無關);②定義域一致 (兩點必須同時具備)

2.值域 : 先考慮其定義域

(1)觀察法

(2)配方法

(3)代換法

3. 函數圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角座標系中，以函數 y=f(x) , (x∈A)中的x為橫座標，函數值y為縱座標的點P(x，y)的集合C，叫做函數 y=f(x),(x ∈A)的圖象.C上每一點的座標(x，y)均滿足函數關係y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為座標的點(x，y)，均在C上 .

(2) 畫法

A、 描點法：

B、 圖象變換法

常用變換方法有三種

1) 平移變換

2) 伸縮變換

3) 對稱變換

4.區間的概念

(1)區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間

(2)無窮區間

(3)區間的數軸表示.

5.映射

一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對於集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：A B為從集合A到集合B的一個映射。記作f：A→B

6.分段函數

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。

(2)各部分的自變量的取值情況.

(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的並集.

補充：複合函數

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 稱為f、g的複合函數。

　　二.函數的性質

1.函數的單調性(局部性質)

(1)增函數

設函數y=f(x)的定義域為I，如果對於定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1

如果對於區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1f(x2)，那麼就説f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.

注意：函數的單調性是函數的局部性質;

(2) 圖象的特點

如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那麼説函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.

(3).函數單調區間與單調性的判定方法

(A) 定義法：

○1 任取x1，x2∈D，且x1

○2 作差f(x1)-f(x2);

○3 變形(通常是因式分解和配方);

○4 定號(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負);

○5 下結論(指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性).

(B)圖象法(從圖象上看升降)

(C)複合函數的單調性

複合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”

注意：函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其並集.

8.函數的奇偶性(整體性質)

(1)偶函數

一般地，對於函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那麼f(x)就叫做偶函數.

(2).奇函數

一般地，對於函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=—f(x)，那麼f(x)就叫做奇函數.

(3)具有奇偶性的函數的圖象的特徵

偶函數的圖象關於y軸對稱;奇函數的圖象關於原點對稱.

利用定義判斷函數奇偶性的步驟：

○1首先確定函數的定義域，並判斷其是否關於原點對稱;

○2確定f(-x)與f(x)的關係;

○3作出相應結論：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，則f(x)是偶函數;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，則f(x)是奇函數.

(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定;

(3)利用定理，或藉助函數的圖象判定 .

9、函數的解析表達式

(1).函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關係時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.

(2)求函數的解析式的主要方法有：

1) 湊配法

2) 待定係數法

3) 換元法

4) 消參法

10.函數最大(小)值(定義見課本p36頁)

○1 利用二次函數的性質(配方法)求函數的最大(小)值

○2 利用圖象求函數的最大(小)值

○3 利用函數單調性的判斷函數的最大(小)值：

如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b);

如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b);

兩個平面的位置關係：

(1)兩個平面互相平行的定義：空間兩平面沒有公共點

(2)兩個平面的位置關係：

兩個平面平行-----沒有公共點;兩個平面相交-----有一條公共直線。

a、平行

兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行於另一個平面，那麼這兩個平面平行。

兩個平面平行的性質定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那麼交線平行。

b、相交

二面角

(1)半平面：平面內的一條直線把這個平面分成兩個部分，其中每一個部分叫做半平面。

(2)二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值範圍為[0°，180°]

(3)二面角的稜：這一條直線叫做二面角的稜。

(4)二面角的面：這兩個半平面叫做二面角的面。

(5)二面角的平面角：以二面角的稜上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直於稜的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。

(6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

esp.兩平面垂直

兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就説這兩個平面互相垂直。記為⊥

兩平面垂直的判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那麼這兩個平面互相垂直

兩個平面垂直的性質定理：如果兩個平面互相垂直，那麼在一個平面內垂直於交線的直線垂直於另一個平面。

Attention：

二面角求法：直接法(作出平面角)、三垂線定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法(注意求出的角與所需要求的角之間的等補關係)多面體

稜柱

稜柱的定義：有兩個面互相平行，其餘各面都是四邊形，並且每兩個四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫做稜柱。

稜柱的性質

(1)側稜都相等，側面是平行四邊形

(2)兩個底面與平行於底面的截面是全等的多邊形

(3)過不相鄰的兩條側稜的截面(對角面)是平行四邊形

稜錐

稜錐的定義：有一個面是多邊形，其餘各面都是有一個公共頂點的三角形，這些面圍成的幾何體叫做稜錐

稜錐的性質：

(1)側稜交於一點。側面都是三角形

(2)平行於底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等於截得的稜錐的高與遠稜錐高的比的平方

正稜錐

正稜錐的定義：如果一個稜錐底面是正多邊形，並且頂點在底面內的射影是底面的中心，這樣的稜錐叫做正稜錐。

正稜錐的性質：

(1)各側稜交於一點且相等，各側面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正稜錐的斜高。

(3)多個特殊的直角三角形

esp：

a、相鄰兩側稜互相垂直的正三稜錐，由三垂線定理可得頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。

b、四面體中有三對異面直線，若有兩對互相垂直，則可得第三對也互相垂直。且頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。

集合間的基本關係

1.“包含”關係—子集

注意： 有兩種可能(1)A是B的一部分，;(2)A與B是同一集合。 反之: 集合A不包含於集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A

2.“相等”關係(5≥5，且5≤5，則5=5)

實例：設 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”

結論：對於兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就説集合A等於集合B，即：A=B

A?① 任何一個集合是它本身的子集。A

B那就説集合A是集合B的真子集，記作A B(或B A)?B,且A?②真子集:如果A

C?C ,那麼 A?B, B?③如果 A

A 那麼A=B?B 同時 B?④ 如果A

3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

集合的運算

1.交集的定義：一般地，由所有屬於A且屬於B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.

記作A∩B(讀作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}.

2、並集的定義：一般地，由所有屬於集合A或屬於集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的並集。記作：A∪B(讀作”A並B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}.

3、交集與並集的性質：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A.

4、全集與補集

(1)補集：設S是一個集合，A是S的一個子集(即 )，由S中所有不屬於A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集(或餘集)

A}?S且 x? x?記作： CSA 即 CSA ={x

(2)全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。

(3)性質：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U

⑴如果數列{a}是公比為q的等比數列，那麼，它的前n項和公式是S=

也就是説，公比為q的等比數列的前n項和公式是q的分段函數的一系列函數值，分段的界限是在q=1處。因此，使用等比數列的前n項和公式，必須要弄清公比q是可能等於1還是必不等於1，如果q可能等於1，則需分q=1和q≠1進行討論。

⑵當已知a，q，n時，用公式S=；當已知a，q，a時，用公式S=。

⑶若S是以q為公比的等比數列，則有S=S+qS。⑵

⑷若數列{a}為等比數列，則S，S—S，S—S，…仍然成等比數列。

⑸若項數為3n的等比數列（q≠—1）前n項和與前n項積分別為S與T，次n項和與次n項積分別為S與T，最後n項和與n項積分別為S與T，則S，S，S成等比數列，T，T，T亦成等比數列

萬能公式：sin2α=2tanα/（1+tan^2α）（注：tan^2α是指tan平方α）

cos2α=（1—tan^2α）/（1+tan^2α）tan2α=2tanα/（1—tan^2α）

升冪公式：1+cosα=2cos^2（α/2）1—cosα=2sin^2（α/2）1±sinα=（sin（α/2）±cos（α/2））^2

降冪公式：cos^2α=（1+cos2α）/2sin^2α=（1—cos2α）/21）sin（2kπ+α）=sinα，cos（2kπ+α）=cosα，tan（2kπ+α）=tanα，cot（2kπ+α）=cotα，其中k∈Z；

（2）sin（—α）=—sinα，cos（—α）=cosα，tan（—α）=—tanα，cot（—α）=—cotα

（3）sin（π+α）=—sinα，cos（π+α）=—cosα，tan（π+α）=tanα，cot（π+α）=cotα

（4）sin（π—α）=sinα，cos（π—α）=—cosα，tan（π—α）=—tanα，cot（π—α）=—cotα

（5）sin（π/2—α）=cosα，cos（π/2—α）=sinα，tan（π/2—α）=cotα，cot（π/2—α）=tanα

（6）sin（π/2+α）=cosα，cos（π/2+α）=—sinα，

tan（π/2+α）=—cotα，cot（π/2+α）=—tanα

（7）sin（3π/2+α）=—cosα，cos（3π/2+α）=sinα，

tan（3π/2+α）=—cotα，cot（3π/2+α）=—tanα

（8）sin（3π/2—α）=—cosα，cos（3π/2—α）=—sinα，

tan（3π/2—α）=cotα，cot（3π/2—α）=tanα（k·π/2±α），其中k∈Z

注意：為方便做題，習慣我們把α看成是一個位於第一象限且小於90°的角；

當k是奇數的.時候，等式右邊的三角函數發生變化，如sin變成cos。偶數則不變；

用角（k·π/2±α）所在的象限確定等式右邊三角函數的正負。例：tan（3π/2+α）=—cotα

∵在這個式子中k=3，是奇數，因此等式右邊應變為cot

又，∵角（3π/2+α）在第四象限，tan在第四象限為負值，因此為使等式成立，等式右邊應為—cotα。三角函數在各象限中的正負分佈

sin：第一第二象限中為正；第三第四象限中為負cos：第一第四象限中為正；第二第三象限中為負cot、tan：第一第三象限中為正；第二第四象限中為負。

1.函數思想：把某變化過程中的一些相互制約的變量用函數關係表達出來，並研究這些量間的相互制約關係，最後解決問題，這就是函數思想;

2.應用函數思想解題，確立變量之間的函數關係是一關鍵步驟，大體可分為下面兩個步驟：

(1)根據題意建立變量之間的函數關係式，把問題轉化為相應的函數問題;

(2)根據需要構造函數，利用函數的相關知識解決問題;

(3)方程思想：在某變化過程中，往往需要根據一些要求，確定某些變量的值，這時常常列出這些變量的方程或(方程組)，通過解方程(或方程組)求出它們，這就是方程思想;

3.函數與方程是兩個有着密切聯繫的數學概念，它們之間相互滲透，很多方程的問題需要用函數的知識和方法解決，很多函數的問題也需要用方程的方法的支援，函數與方程之間的辯證關係，形成了函數方程思想。

⑴公差為d的等差數列，各項同加一數所得數列仍是等差數列，其公差仍為d。

⑵公差為d的等差數列，各項同乘以常數k所得數列仍是等差數列，其公差為kd。

⑶若{a}、{b}為等差數列，則{a±b}與{ka+b}（k、b為非零常數）也是等差數列。

⑷對任何m、n，在等差數列{a}中有：a=a+（n—m）d，特別地，當m=1時，便得等差數列的通項公式，此式較等差數列的通項公式更具有一般性。

⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆為自然數，且l+k+p+…=m+n+r+…（兩邊的自然數個數相等），那麼當{a}為等差數列時，有：a+a+a+…=a+a+a+…。

⑹公差為d的等差數列，從中取出等距離的項，構成一個新數列，此數列仍是等差數列，其公差為kd（k為取出項數之差）。

⑺如果{a}是等差數列，公差為d，那麼，a，a，…，a、a也是等差數列，其公差為—d；在等差數列{a}中，a—a=a—a=md。（其中m、k、）

⑻在等差數列中，從第一項起，每一項（有窮數列末項除外）都是它前後兩項的等差中項。

⑼當公差d>0時，等差數列中的數隨項數的增大而增大；當d<0時，等差數列中的數隨項數的減少而減小；d=0時，等差數列中的數等於一個常數。

⑽設a，a，a為等差數列中的三項，且a與a，a與a的項距差之比=（≠—1），則a=。

⑴數列{a}為等差數列的充要條件是：數列{a}的前n項和S可以寫成S=an+bn的形式（其中a、b為常數）。

⑵在等差數列{a}中，當項數為2n（nN）時，S—S=nd，=；當項數為（2n—1）（n）時，S—S=a，=。

⑶若數列{a}為等差數列，則S，S—S，S—S，…仍然成等差數列，公差為。

⑷若兩個等差數列{a}、{b}的前n項和分別是S、T（n為奇數），則=。

⑸在等差數列{a}中，S=a，S=b（n>m），則S=（a—b）。

⑹等差數列{a}中，是n的一次函數，且點（n，）均在直線y=x+（a—）上。

⑺記等差數列{a}的前n項和為S。①若a>0，公差d<0，則當a≥0且a≤0時，S；②若a<0，公差d>0，則當a≤0且a≥0時，S最小。

1、對於集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。

中元素各表示什麼？

注重藉助於數軸和文氏圖解集合問題。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

3、注意下列性質：

（3）德摩根定律：

4、你會用補集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）

的取值範圍。

6、命題的四種形式及其相互關係是什麼？

（互為逆否關係的命題是等價命題。）

原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。

7、對映射的概念瞭解嗎？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中與之對應元素的性，哪幾種對應能構成映射？

（一對一，多對一，允許B中有元素無原象。）

8、函數的三要素是什麼？如何比較兩個函數是否相同？

（定義域、對應法則、值域）

9、求函數的定義域有哪些常見類型？

10、如何求複合函數的定義域？

義域是_____________。

11、求一個函數的解析式或一個函數的反函數時，註明函數的定義域了嗎？

12、反函數存在的條件是什麼？

（一一對應函數）

求反函數的步驟掌握了嗎？

（①反解x；②互換x、y；③註明定義域）

13、反函數的性質有哪些？

①互為反函數的圖象關於直線y=x對稱；

②保存了原來函數的單調性、奇函數性；

14、如何用定義證明函數的單調性？

（取值、作差、判正負）

如何判斷複合函數的單調性？

∴……）

15、如何利用導數判斷函數的單調性？

值是（）

A、0B、1C、2D、3

∴a的值為3）

16、函數f（x）具有奇偶性的必要（非充分）條件是什麼？

（f（x）定義域關於原點對稱）

注意如下結論：

（1）在公共定義域內：兩個奇函數的乘積是偶函數；兩個偶函數的乘積是偶函數；一個偶函數與奇函數的乘積是奇函數。

17、你熟悉周期函數的定義嗎？

函數，T是一個週期。）

二次函數

I.定義與定義表達式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關係：y=ax^2+bx+c

(a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大.)

則稱y為x的二次函數。

二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

II.二次函數的三種表達式

一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)

頂點式：y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點P(h，k)]

交點式：y=a(x-x?)(x-x?)[僅限於與x軸有交點A(x?，0)和B(x?，0)的拋物線]

注：在3種形式的互相轉化中，有如下關係：

h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

III.二次函數的圖像

在平面直角座標系中作出二次函數y=x^2的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。

IV.拋物線的性質

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。對稱軸與拋物線的交點為拋物線的頂點P。

特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

2.拋物線有一個頂點P，座標為

P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)

當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ=b^2-4ac=0時，P在x軸上。

3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。

當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

集合與函數概念

一、集合有關概念

1、集合的含義

2、集合的中元素的三個特性：

（1）元素的確定性如：世界上最高的山

（2）元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H，A，P，Y}

（3）元素的無序性：如：{a，b，c}和{a，c，b}是表示同一個集合

3、集合的表示：{…}如：{我校的籃球隊員}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}

（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員}，B={1，2，3，4，5}

（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。

注意：常用數集及其記法：XKb1、Com

非負整數集（即自然數集）記作：N

正整數集：N或N+

整數集：Z

有理數集：Q

實數集：R

1）列舉法：{a，b，c……}

2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合{x？R|x—3>2}，{x|x—3>2}

3）語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4）Venn圖：

4、集合的分類：

（1）有限集含有有限個元素的集合

（2）無限集含有無限個元素的集合

（3）空集不含任何元素的集合

二、集合間的基本關係

1、“包含”關係—子集

注意：有兩種可能

（1）A是B的一部分；

（2）A與B是同一集合。

反之：集合A不包含於集合B，或集合B不包含集合A，記作AB或BA

2、“相等”關係：A=B（5≥5，且5≤5，則5=5）

實例：設A={x|x2—1=0}B={—1，1}“元素相同則兩集合相等”

即：

①任何一個集合是它本身的子集。A？A

②真子集：如果A？B，且A？B那就説集合A是集合B的真子集，記作AB（或BA）

③如果A？B，B？C，那麼A？C

④如果A？B同時B？A那麼A=B

3、不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

4、子集個數：

有n個元素的集合，含有2n個子集，2n—1個真子集，含有2n—1個非空子集，含有2n—1個非空真子集。

三、集合的運算

運算類型交集並集補集

定義由所有屬於A且屬於B的元素所組成的集合，叫做A，B的交集、記作AB（讀作‘A交B’），即AB={x|xA，且xB｝、

由所有屬於集合A或屬於集合B的元素所組成的集合，叫做A，B的並集、記作：AB（讀作‘A並B’），即AB={x|xA，或xB}）、

基本初等函數

一、指數函數

（一）指數與指數冪的運算

1、根式的概念：一般地，如果，那麼叫做的次方根（nthroot），其中>1，且∈，當是奇數時，正數的次方根是一個正數，負數的次方根是一個負數、此時，的次方根用符號表示、式子叫做根式（radical），這裏叫做根指數（radicalexponent），叫做被開方數（radicand），當是偶數時，正數的次方根有兩個，這兩個數互為相反數、此時，正數的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號—表示、正的次方根與負的次方根可以合併成±（>0）、由此可得：負數沒有偶次方根。

2、分數指數冪

正數的分數指數冪的意義，規定：0的正分數指數冪等於0，0的負分數指數冪沒有意義

指出：規定了分數指數冪的意義後，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那麼整數指數冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪。

3、實數指數冪的運算性質

（二）指數函數及其性質

1、指數函數的概念：一般地，函數叫做指數函數（exponential），其中x是自變量，函數的定義域為R。

注意：指數函數的底數的取值範圍，底數不能是負數、零和1。

2、指數函數的圖象和性質

二、函數的應用

1、函數零點的概念：對於函數，把使成立的實數叫做函數的零點。

2、函數零點的意義：函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫座標。即：方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點。

求函數的零點：

1（代數法）求方程的實數根；

2（幾何法）對於不能用求根公式的方程，可以將它與函數的圖象聯繫起來，並利用函數的性質找出零點。

二次函數：

1）△>0，方程有兩不等實根，二次函數的圖象與軸有兩個交點，二次函數有兩個零點。

2）△=0，方程有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點。

3）△<0，方程無實根，二次函數的圖象與軸無交點，二次函數無零點。

1、函數知識：

基本初等函數性質的考查，以導數知識為背景的函數問題；以向量知識為背景的函數問題；從具體函數的考查轉向抽象函數考查；從重結果考查轉向重過程考查；從熟悉情景的考查轉向新穎情景的考查。

2、向量知識：

向量具有數與形的雙重性，大學聯考中向量試題的命題趨向：考查平面向量的基本概念和運算律；考查平面向量的座標運算；考查平面向量與幾何、三角、代數等學科的綜合性問題。

3、不等式知識：

突出工具性，淡化獨立性，突出解，是不等式命題的新取向。大學聯考中不等式試題的命題趨向：基本的線性規劃問題為必考內容，不等式的性質與指數函數、對數函數、三角函數、二交函數等結合起來，考查不等式的性質、最值、函數的單調性等；證明不等式的試題，多以函數、數列、解析幾何等知識為背景，在知識網絡的交匯處命題，綜合性強，能力要求高；解不等式的試題，往往與公式、根式和參數的討論聯繫在一起。考查學生的等價轉化能力和分類討論能力；以當前經濟、社會生產、生活為背景與不等式綜合的應用題仍將是大學聯考的熱點，主要考查學生閲讀理解能力以及分析問題、解決問題的能力。

4、立體幾何知識：

20xx年已經變得簡單，20xx年難度依然不大，基本的三視圖的考查難點不大，以及球與幾何體的組合體，涉及切，接的問題，線面垂直、平行位置關係的考查，已經線面角，面面角和幾何體的體積計算等問題，都是重點考查內容。

5、解析幾何知識：

小題主要涉及圓錐曲線方程，和直線與圓的位置關係，以及圓錐曲線幾何性質的考查，極座標下的解析幾何知識，解答題主要考查直線和圓的知識，直線與圓錐曲線的知識，涉及圓錐曲線方程，直線與圓錐曲線方程聯立，定點，定值，範圍的考查，考試的難度降低。

6、導數知識：

導數的考查還是以理科19題，文科20題的形式給出，從常見函數入手，導數工具作用（切線和單調性）的考查，綜合性強，能力要求高；往往與公式、導數往往與參數的討論聯繫在一起，考查轉化與化歸能力，但今年的難點整體偏低。

7、開放型創新題：

答案不，或是邏輯推理題，以及解答題中的開放型試題的考查，都是重點，理科13，文科14題。

1、“包含”關係—子集

注意：有兩種可能

（1）A是B的一部分；

（2）A與B是同一集合。

反之：集合A不包含於集合B，或集合B不包含集合A，記作AB或BA

2、“相等”關係：A=B（5≥5，且5≤5，則5=5）

實例：設A={x|x2—1=0}B={—1，1}“元素相同則兩集合相等”

即：①任何一個集合是它本身的子集。A？A

②真子集：如果A？B，且A？B那就説集合A是集合B的真子集，記作AB（或BA）

③如果A？B，B？C，那麼A？C

④如果A？B同時B？A那麼A=B

3、不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n個元素的集合，含有2n個子集，2n—1個真子集

4、集合與元素

一個東西是集合還是元素並不是絕對的，很多情況下是相對的，集合是由元素組成的集合，元素是組成集合的元素。例如：你所在的班級是一個集合，是由幾十個和你同齡的同學組成的集合，你相對於這個班級集合來説，是它的一個元素；而整個學校又是由許許多多個班級組成的集合，你所在的班級只是其中的一分子，是一個元素。班級相對於你是集合，相對於學校是元素，參照物不同，得到的結論也不同，可見，是集合還是元素，並不是絕對的

知識點2、解集合問題的關鍵

解集合問題的關鍵：弄清集合是由哪些元素所構成的，也就是將抽象問題具體化、形象化，將特徵性質描述法表示的集合用列舉法來表示，或用韋恩圖來表示抽象的集合，或用圖形來表示集合，比如用數軸來表示集合，或是集合的元素為有序實數對時，可用平面直角座標系中的圖形表示相關的集合等

一、集合有關概念

1.集合的含義

2.集合的中元素的三個特性：

(1)元素的確定性如：世界上的山

(2)元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}

(3)元素的無序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合

3.集合的表示：{…}如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。

注意：常用數集及其記法：

非負整數集(即自然數集)記作：N

正整數集N_或N+整數集Z有理數集Q實數集R

1)列舉法：{a,b,c……}

2)描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。{xR|x-3>2},{x|x-3>2}

3)語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4)Venn圖:

4、集合的分類：

(1)有限集含有有限個元素的集合

(2)無限集含有無限個元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝

二、集合間的基本關係

1.“包含”關係—子集

注意：有兩種可能(1)A是B的一部分，;(2)A與B是同一集合。

反之:集合A不包含於集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

2.“相等”關係：A=B(5≥5，且5≤5，則5=5)

實例：設A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”

即：①任何一個集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且AB那就説集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)

③如果AB,BC,那麼AC

④如果AB同時BA那麼A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集

二、函數

1、函數定義域、值域求法綜合

2.、函數奇偶性與單調性問題的解題策略

3、恆成立問題的求解策略

4、反函數的幾種題型及方法

5、二次函數根的問題——一題多解

&指數函數y=a^x

a^a_a^b=a^a+b(a>0,a、b屬於Q)

(a^a)^b=a^ab(a>0,a、b屬於Q)

(ab)^a=a^a_b^a(a>0,a、b屬於Q)

指數函數對稱規律：

1、函數y=a^x與y=a^-x關於y軸對稱

2、函數y=a^x與y=-a^x關於x軸對稱

3、函數y=a^x與y=-a^-x關於座標原點對稱

&對數函數y=loga^x

如果，且，，，那麼：

○1+;

○2-;

○3.

注意：換底公式

(，且;，且;).

冪函數y=x^a(a屬於R)

1、冪函數定義：一般地，形如的函數稱為冪函數，其中為常數.

2、冪函數性質歸納.

(1)所有的冪函數在(0，+∞)都有定義並且圖象都過點(1，1);

(2)時，冪函數的圖象通過原點，並且在區間上是增函數.特別地，當時，冪函數的圖象下凸;當時，冪函數的圖象上凸;

(3)時，冪函數的圖象在區間上是減函數.在第一象限內，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨於時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸.

方程的根與函數的零點

1、函數零點的概念：對於函數，把使成立的實數叫做函數的零點。

2、函數零點的意義：函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫座標。

即：方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點.

3、函數零點的求法：

○1(代數法)求方程的實數根;

○2(幾何法)對於不能用求根公式的方程，可以將它與函數的圖象聯繫起來，並利用函數的性質找出零點.

4、二次函數的零點：

二次函數.

(1)△>0，方程有兩不等實根，二次函數的圖象與軸有兩個交點，二次函數有兩個零點.

(2)△=0，方程有兩相等實根，二次函數的圖象與軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點.

(3)△<0，方程無實根，二次函數的圖象與軸無交點，二次函數無零點.

三、平面向量

向量：既有大小，又有方向的量.

數量：只有大小，沒有方向的量.

有向線段的三要素：起點、方向、長度.

零向量：長度為的向量.

單位向量：長度等於個單位的向量.

相等向量：長度相等且方向相同的向量

向量的運算

加法運算

AB+BC=AC，這種計算法則叫做向量加法的三角形法則。

已知兩個從同一點O出發的兩個向量OA、OB，以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O為起點的對角線OC就是向量OA、OB的和，這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。

對於零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。

|a+b|≤|a|+|b|。

向量的加法滿足所有的加法運算定律。

減法運算

與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。

數乘運算

實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa，|λa|=|λ||a|，當λ>0時，λa的方向和a的方向相同，當λ<0時，λa的方向和a的方向相反，當λ=0時，λa=0。

設λ、μ是實數，那麼：(1)(λμ)a=λ(μa)(2)(λμ)a=λaμa(3)λ(a±b)=λa±λb(4)(-λ)a=-(λa)=λ(-a)。

向量的加法運算、減法運算、數乘運算統稱線性運算。

向量的數量積

已知兩個非零向量a、b，那麼|a||b|cosθ叫做a與b的數量積或內積，記作a?b，θ是a與b的夾角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量與任意向量的數量積為0。

a?b的幾何意義：數量積a?b等於a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。

兩個向量的數量積等於它們對應座標的乘積的和。

四、三角函數

1、善於用“1“巧解題

2、三角問題的非三角化解題策略

3、三角函數有界性求最值解題方法

4、三角函數向量綜合題例析

5、三角函數中的數學思想方法

集合的運算

運算類型交 集並 集補 集

定義域 R定義域 R

值域＞0值域＞0

在R上單調遞增在R上單調遞減

非奇非偶函數非奇非偶函數

函數圖象都過定點（0，1）函數圖象都過定點（0，1）

注意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：

（1）在[a，b]上， 值域是 或 ；

（2）若 ，則 ； 取遍所有正數當且僅當 ；

（3）對於指數函數 ，總有 ；

二、對數函數

（一）對數

1．對數的概念：

一般地，如果 ，那麼數 叫做以 為底 的對數，記作： （ — 底數， — 真數， — 對數式）

説明：○1 注意底數的限制 ，且 ；

○2 ；

○3 注意對數的書寫格式．

兩個重要對數：

○1 常用對數：以10為底的對數 ；

○2 自然對數：以無理數 為底的對數的對數 ．

指數式與對數式的互化

冪值 真數

＝ N ＝ b

底數

指數 對數

（二）對數的運算性質

如果 ，且 ， ， ，那麼：

○1 ＋ ；

○2 － ；

○3 ．

注意：換底公式： （ ，且 ； ，且 ； ）．

利用換底公式推導下面的結論：（1） ；（2） ．

（3）、重要的公式 ①、負數與零沒有對數； ②、 ， ③、對數恆等式

（二）對數函數

1、對數函數的概念：函數 ，且 叫做對數函數，其中 是自變量，函數的定義域是（0，+∞）．

注意：○1 對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。如： ， 都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數．

○2 對數函數對底數的限制： ，且 ．

2、對數函數的性質：

a>10

定義域x＞0定義域x＞0

值域為R值域為R

在R上遞增在R上遞減

函數圖象都過定點（1，0）函數圖象都過定點（1，0）

（三）冪函數

1、冪函數定義：一般地，形如 的函數稱為冪函數，其中 為常數．

2、冪函數性質歸納．

（1）所有的冪函數在（0，+∞）都有定義並且圖象都過點（1，1）；

（2） 時，冪函數的圖象通過原點，並且在區間 上是增函數．特別地，當 時，冪函數的圖象下凸；當 時，冪函數的圖象上凸；

（3） 時，冪函數的圖象在區間 上是減函數．在第一象限內，當 從右邊趨向原點時，圖象在 軸右方無限地逼近 軸正半軸，當 趨於 時，圖象在 軸上方無限地逼近 軸正半軸．

第四章 函數的應用

一、方程的根與函數的零點

1、函數零點的概念：對於函數 ，把使 成立的實數 叫做函數 的零點。

2、函數零點的意義：函數 的零點就是方程 實數根，亦即函數 的圖象與 軸交點的橫座標。

即：方程 有實數根 函數 的圖象與 軸有交點 函數 有零點．

3、函數零點的求法：

○1 （代數法）求方程 的實數根；

○2 （幾何法）對於不能用求根公式的方程，可以將它與函數 的圖象聯繫起來，並利用函數的性質找出零點．

4、二次函數的零點：

二次函數 ．

（1）△＞０，方程 有兩不等實根，二次函數的圖象與 軸有兩個交點，二次函數有兩個零點．

（2）△＝０，方程 有兩相等實根，二次函數的圖象與 軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點．

（3）△＜０，方程 無實根，二次函數的圖象與 軸無交點，二次函數無零點．

5.函數的模型

一、集合及其表示

1、集合的含義：

“集合”這個詞首先讓我們想到的是上體育課或者開會時老師經常喊的“全體集合”。數學上的“集合”和這個意思是一樣的，只不過一個是動詞一個是名詞而已。

所以集合的含義是：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集，其中每一個對象叫元素。比如高一二班集合，那麼所有高一二班的同學就構成了一個集合，每一個同學就稱為這個集合的元素。

2、集合的表示

通常用大寫字母表示集合，用小寫字母表示元素，如集合A={a，b，c}。a、b、c就是集合A中的元素，記作a∈A，相反，d不屬於集合A，記作d?A。

有一些特殊的集合需要記憶：

非負整數集(即自然數集)N正整數集N_或N+

整數集Z有理數集Q實數集R

集合的表示方法：列舉法與描述法。

①列舉法：{a,b,c……}

②描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來。如{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}

③語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

例：不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2}

強調：描述法表示集合應注意集合的代表元素

A={(x,y)|y=x2+3x+2}與B={y|y=x2+3x+2}不同。集合A中是數組元素(x，y)，集合B中只有元素y。

3、集合的三個特性

(1)無序性

指集合中的元素排列沒有順序，如集合A={1,2}，集合B={2,1}，則集合A=B。

例題：集合A={1,2}，B={a,b}，若A=B，求a、b的值。

解：，A=B

注意：該題有兩組解。

(2)互異性

指集合中的元素不能重複，A={2,2}只能表示為{2}

(3)確定性

集合的確定性是指組成集合的元素的性質必須明確，不允許有模稜兩可、含混不清的情況。