國小數學難題的解決方法（包括題型）

巧判斷能被4、6、8、9、7、11、13、17、19、23、25、99、125、273約的數

能被4約：末尾兩位數是0或能被4約的數。例如36900，987136。

能被6約：既能被2約又能被3約的數。例如114，914860。

能被8約：末三位是0或能被8約的數。例如321000，5112。

能被9約：能被9整除的準則以下列的事實為基礎，即在十進系統中，1以後帶幾個零的數(即10的任何次冪)在被9除時必然得出餘數1。實際上，

第一項都是由9組成的，顯然能被9整除。因此，10n被9除時必然得餘數1。

然後，我們再看任意的數，例如4351。一千被9除得餘數1，於是四千被9除得餘數4。同樣，三百被9除得餘數3，五十被9除得餘數5，還餘下個位數1。因而，

4351=能被9整除的某一個數+4+3+5+1

如果“尾數”4+3+5+1(它是該數的各位數字之和)能被9整除，那麼，整個數也能被9整除。因而可得到結論：如果某一個數的“各位數字的和”能被9整除，那麼這個數也能被9整除。例如 111222，8973。

9的倍數除以9，其商有如下特點：

被除數是兩位數，商是被除數尾數的補數，即補足10的數。

例如 63÷9=7，3的補數是7。

被除數是三位數，商首同尾互補。

例如

被除數是四位數，商的中間數字是被除數前兩位數字之和。

被除數是五、六位數……原理同上。商的第二位數字是被除數前兩位數字之和，第三位數字是被除數前三位數字的和……

能被7約∶70以內的兩位數能否被7約一目瞭然，大於70的兩位數只要減去70也就一清二楚了。

三位數，只要把百位數字乘以2加餘下約數，和能被7約這三個數就能被7約。例如812，

(8×2+12)÷7=4。

百位數字乘以2，是因為100除以7得商14餘2，即每個100餘2，把它放到十位數裏。

四位數，只要在百位數的計算方法上減去千位數字。因為1001能被7約，即1000要能被7約還缺1，有幾個1000應減去幾。例如1820，

(8×2+20-1)÷7=5。

能被11約：

奇偶位數差法：一個數奇位上的數字和與偶位上的數字和的差(大數減小數)是0或11的倍數的數。

例1 3986576

(6+5+8+3)-(7+6+9)

=22-22=0，

則11|3986576。

例2 9844

(9+4)-(8+4)

=13-12=1，

則 11 9844。

小節法：把判斷數從個位起每兩位分成一小節，最後的不足兩位數也當作一節。只要看各小節之和是否有約數9或11。

例3 2879503

03+95+87+2

=187=11×17，

即11| 2879503。

例4 1214159265

65+92+15+14+12

=198=2×9×11，

即9|1214159265，11|1214159265。

能被7或11或13約的數一次性判斷法：

那麼要判別N能否被7或11或13約，只須判別A與B(或B與A)的差能否被7或11或13約。

證明：因為1000=7×11×13-1

10002=(7×11×13-1)2

=7×11×13的倍數+1

10003=7×11×13的倍數-1

……

例 5 987198719871

由 A-B=(871+198)-(719+987)

=1069-1706，

知 B-A=637=72×13。

即能被7和13約，不能被11約。

例6 21203547618

由(618+203)-(547+21)

=253=11×23，

知原數能被11約，不能被7或13約。

若其差為0，則這個數必能同時被7、11、13約。

例如 8008 8-8=0，

則8008÷7=1144，8008÷11=728，

8008÷13=616。

能被17約：

(1)末兩位數與以前的數字組成的數的2倍之差數(或反過來)能被17約的數;

(2)末三位數與以前的數字組成的數的3倍之差數(或反過來)能被17約的`數;

(3)末三位數的6倍與以前的數字組成的數之差數(或反過來)能被17約的數。

例如，31897168

由(1)得318971×2-68=637874，

重複四次得 170，17|170，

故知 17|31897168。

由(2)得 31897×3-168=95523，

523-95× 3=238，

17|238，故知17|31897168。

由(3)得31897-163×6=30889，

再由(2)889-30×3=799，

最後由(1)99-7×2=85，

17|85，則 17|31897168。

能被19約：

(1)末三位數的3倍與以前的數字組成的數的2倍之差(或反過來)能被19約的數;

(2)末兩位數的2倍與以前的數字組成的數的9倍之差(或反過來)能被19約的數;

(3)末三位數的11倍與以前的數字組成的數之差(或反過來)能被19約的數。

例如，742050833

由(3)得742050-833×11=732887，

再由(1)887×3-732×2=1197，

最後由(2)97×2-11×9=95，

19|95，則19|742050833。

能被23約：

(1)末三位數的2倍與以前的數字組成的數之差能被23約的數;

(2)末兩位數的2倍與以前的數字組成的數的7倍之差能被23約的數。

例如，542915

由(1)得915×2-542=1288，

288×2-1=575，

23|575，則23|542915。

由(2)5429×7-15×2=37973，

379×7-73×2=2507，

25×7-7×2=161，

23|161，則23|542915。

能被25約：

末兩位數是00、25、50、75的自然數。

能被99約：

可同時被3與33或9與11約的自然數。

能被99各因數約：

把被判斷的數從個位起，每兩位分成一段，各段數之和能被各因數的某一因數約，這個數就能被這個因數約。

證明：設這個數 N=a0+a1·10+a2·102+a3·103+a4·104+a5·105+……

因為99×(a3a2+101×a5a4+……)能被99的因數33、11、9、3約。

所以當(a1a0+a3a2+a5a4+……)能被33、11、9、3約時，N也能被這四個數約。當N是奇位數時，仍然成立。

例7 4326321

4+32+63+21=120，

3|120，則3|4326321。

例8 84564

8+45+64=117，

9|117，則 9|84564。

例9 493526

49+35+26=110，

11|110，則11|493526。

例10 18270945

18+27+09+45=99，

33|99，則33|18270945。

能被273約：

根據定理：若c|b、c a、則b a。

例如，判別272452654能否被273整除。

3|273，3 272452654，

則 273 272452654。

若判斷36786360能否被24約，根據定理：

若b|a，c|a，(b，c)=1，

則其 bc|a。

因為24=3×8，(3，8)=1，

3|36786360，8|36786360，

所以 24|36786360。

同理，因為132=3×4×11，

(3，4，11)=1，

而3、4、11能分別約992786256，

則132|992786256。