數學高二歸納推理的課後練習題與答案

一、選擇題

1.關於歸納推理，下列説法正確的是()

A.歸納推理是一般到一般的推理

B.歸納推理是一般到個別的推理

C.歸納推理的結論一定是正確的

D.歸納推理的結論是或然性的

[答案] D

[解析] 歸納推理是由特殊到一般的推理，其結論的正確性不一定.故應選D.

2.下列推理是歸納推理的是()

A.A，B為定點，動點P滿足|PA|+|PB|=2a|AB|，得P的軌跡為橢圓

B.由a1=1，an=3n-1，求出S1，S2，S3，猜想出數列的前n項和Sn的表達式

C.由圓x2+y2=r2的面積r2，猜出橢圓x2a2+y2b2=1的面積S=ab

D.科學家利用魚的沉浮原理製造潛艇

[答案] B

[解析] 由歸納推理的定義知B是歸納推理，故應選B.

3.數列{an}：2,5,11,20，x,47，中的x等於()

A.28

B.32

C.33

D.27

[答案] B

[解析] 因為5-2=31,11-5=6=32,20-11=9=33，猜測x-20=34,47-x=35，推知x=32.故應選B.

4.在數列{an}中，a1=0，an+1=2an+2，則猜想an是()

A.2n-2-12

B.2n-2

C.2n-1+1

D.2n+1-4

[答案] B

[解析] ∵a1=0=21-2，

a2=2a1+2=2=22-2，

a3=2a2+2=4+2=6=23-2，

a4=2a3+2=12+2=14=24-2，

猜想an=2n-2.

故應選B.

5.某人為了觀看2015年奧運會，從2005年起，每年5月10日到銀行存入a元定期儲蓄，若年利率為p且保持不變，並約定每年到期存款均自動轉為新的一年定期，到2015年將所有的存款及利息全部取回，則可取回的錢的總數(元)為()

A.a(1+p)7

B.a(1+p)8

[(1+p)7-(1+p)]

[(1+p)8-(1+p)]

[答案] D

[解析] 到2006年5月10日存款及利息為a(1+p).

到2007年5月10日存款及利息為

a(1+p)(1+p)+a(1+p)=a[(1+p)2+(1+p)]

到2008年5月10日存款及利息為

a[(1+p)2+(1+p)](1+p)+a(1+p)

=a[(1+p)3+(1+p)2+(1+p)]

所以到2015年5月10日存款及利息為

a[(1+p)7+(1+p)6++(1+p)]

=a(1+p)[1-(1+p)7]1-(1+p)

=ap[(1+p)8-(1+p)].

故應選D.

6.已知數列{an}的前n項和Sn=n2an(n2)，而a1=1，通過計算a2，a3，a4，猜想an等於()

A.2(n+1)2

B.2n(n+1)

C.22n-1

D.22n-1

[答案] B

[解析] 因為Sn=n2an，a1=1，

所以S2=4a2=a1+a2a2=13=232，

S3=9a3=a1+a2+a3a3=a1+a28=16=243，

S4=16a4=a1+a2+a3+a4

a4=a1+a2+a315=110=254.

所以猜想an=2n(n+1)，故應選B.

7.n個連續自然數按規律排列下表：

根據規律，從2016到2015箭頭的方向依次為()

A.

B.

C.

D.

[答案] C

[解析] 觀察特例的`規律知：位置相同的數字都是以4為公差的等差數列，由234可知從2016到2015為，故應選C.

8.(2016山東文，10)觀察(x2)=2x，(x4)=4x3，(cosx)=-sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數f(x)滿足f(-x)=f(x)，記g(x)為f(x)的導函數，則g(-x)=()

A.f(x)

B.-f(x)

C.g(x)

D.-g(x)

[答案] D

[解析] 本題考查了推理證明及函數的奇偶性內容，由例子可看出偶函數求導後都變成了奇函數，

g(-x)=-g(x)，選D，體現了對學生觀察能力，概括歸納推理的能力的考查.

9.根據給出的數塔猜測1234569+7等於()

19+2=11

129+3=111

1239+4=1111

12349+5=11111

123459+6=111111

A.1111110

B.1111111

C.1111112

D.1111113

[答案] B

[解析] 根據規律應為7個1，故應選B.

10.把1、3、6、10、15、21、這些數叫做三角形數，這是因為這些數目的點子可以排成一個正三角形(如下圖)，

試求第七個三角形數是()

A.27

B.28

C.29

D.30

[答案] B

[解析] 觀察歸納可知第n個三角形數共有點數：1+2+3+4++n=n(n+1)2個，第七個三角形數為7(7+1)2=28.

二、填空題

11.觀察下列由火柴桿拼成的一列圖形中，第n個圖形由n個正方形組成：

通過觀察可以發現：第4個圖形中，火柴桿有________根;第n個圖形中，火柴桿有________根.

[答案] 13,3n+1

[解析] 第一個圖形有4根，第2個圖形有7根，第3個圖形有10根，第4個圖形有13根猜想第n個圖形有3n+1根.

12.從1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52中，可得一般規律是__________________.

[答案] n+(n+1)+(n+2)++(3n-2)=(2n-1)2

[解析] 第1式有1個數，第2式有3個數相加，第3式有5個數相加，故猜想第n個式子有2n-1個數相加，且第n個式子的第一個加數為n，每數增加1，共有2n-1個數相加，故第n個式子為：

n+(n+1)+(n+2)++{n+[(2n-1)-1]}

=(2n-1)2，

即n+(n+1)+(n+2)++(3n-2)=(2n-1)2.

13.觀察下圖中各正方形圖案，每條邊上有n(n2)個圓圈，每個圖案中圓圈的總數是S，按此規律推出S與n的關係式為________.

[答案] S=4(n-1)(n2)

[解析] 每條邊上有2個圓圈時共有S=4個;每條邊上有3個圓圈時，共有S=8個;每條邊上有4個圓圈時，共有S=12個.可見每條邊上增加一個點，則S增加4，S與n的關係為S=4(n-1)(n2).

14.(2009浙江理，15)觀察下列等式：

C15+C55=23-2，

C19+C59+C99=27+23，

C113+C513+C913+C1313=211-25，

C117+C517+C917+C1317+C1717=215+27，

由以上等式推測到一個一般的結論：

對於nN*，C14n+1+C54n+1+C94n+1++C4n+14n+1=__________________.

[答案] 24n-1+(-1)n22n-1

[解析] 本小題主要考查歸納推理的能力

等式右端第一項指數3,7,11,15，構成的數列通項公式為an=4n-1，第二項指數1,3,5,7，的通項公式bn=2n-1，兩項中間等號正、負相間出現，右端=24n-1+(-1)n22n-1.

三、解答題

15.在△ABC中，不等式1A+1B+1C成立，

在四邊形ABCD中，不等式1A+1B+1C+1D成立，

在五邊形ABCDE中，不等式1A+1B+1C+1D+1E成立，猜想在n邊形A1A2An中，有怎樣的不等式成立?

[解析] 根據已知特殊的數值：9、162、253，，總結歸納出一般性的規律：n2(n-2)3).

在n邊形A1A2An中：1A1+1A2++1Ann2(n-2)3).

16.下圖中(1)、(2)、(3)、(4)為四個平面圖.數一數每個平面圖各有多少個頂點?多少條邊?它們圍成了多少個區域?並將結果填入下表中.

平面區域 頂點數 邊數 區域數

(1)

(2)

(3)

(4)

(1)觀察上表，推斷一個平面圖形的頂點數、邊數、區域數之間有什麼關係?

(2)現已知某個平面圖有999個頂點，且圍成了999個區域，試根據以上關係確定這個平面圖有多少條邊?

[解析] 各平面圖形的頂點數、邊數、區域數如下表：

平面區域 頂點數 邊數 區域數 關係

(1) 3 3 2 3+2-3=2

(2) 8 12 6 8+6-12=2

(3) 6 9 5 6+5-9=2

(4) 10 15 7 10+7-15=2

結論 V E F V+F-E=2

推廣 999 E 999 E=999+999-2

=1996

其頂點數V，邊數E，平面區域數F滿足關係式V+F-E=2.

故可猜想此平面圖可能有1996條邊.

17.在一容器內裝有濃度為r%的溶液a升，注入濃度為p%的溶液14a升，攪勻後再倒出溶液14a升，這叫一次操作，設第n次操作後容器內溶液的濃度為bn(每次注入的溶液濃度都是p%)，計算b1、b2、b3，並歸納出bn的計算公式.

[解析] b1=ar100+a4p100a+a4=110045r+15p，

b2=ab1+a4p100a+a4=1100452r+15p+452p.

b3=ab2+a4p100a+a4

=1100453r+15p+452p+4253P，

歸納得bn=110045nr+15p+452p++4n-15nP.

18.設f(n)=n2+n+41，nN+，計算f(1)，f(2)，f(3)，，f(10)的值，同時作出歸納推理，並用n=40驗證猜想是否正確.

[解析] f(1)=12+1+41=43，f(2)=22+2+41=47，

f(3)=32+3+41=53，f(4)=42+4+41=61，

f(5)=52+5+41=71，f(6)=62+6+41=83，

f(7)=72+7+41=97，f(8)=82+8+41=113，

f(9)=92+9+41=131，f(10)=102+10+41=151.

由於43、47、53、61、71、83、97、113、131、151都為質數.

即：當n取任何非負整數時f(n)=n2+n+41的值為質數.

但是當n=40時，f(40)=402+40+41=1681為合數.

所以，上面由歸納推理得到的猜想不正確.

【總結】2016年數學網為小編在此為您收集了此文章高二數學課後練習題：歸納推理測試題，今後還會發布更多更好的文章希望對大家有所幫助，祝您在數學網學習愉快!