高二數學函數的極值與導數課後練習題及答案
一、選擇題
1.已知函數f(x)在點x0處連續，下列命題中，正確的是()
A.導數為零的點一定是極值點
B.如果在點x0附近的左側f(x)0，右側f(x)0，那麼f(x0)是極小值
C.如果在點x0附近的左側f(x)0，右側f(x)0，那麼f(x0)是極大值
D.如果在點x0附近的左側f(x)0，右側f(x)0，那麼f(x0)是極大值
[答案] C
[解析] 導數為0的點不一定是極值點，例如f(x)=x3，f(x)=3x2，f(0)=0，但x=0不是f(x)的極值點，故A錯;由極值的定義可知C正確，故應選C.
2.函數y=1+3x-x3有()
A.極小值-2，極大值2
B.極小值-2，極大值3
C.極小值-1，極大值1
D.極小值-1，極大值3
[答案] D
[解析] y=3-3x2=3(1-x)(1+x)
令y=0，解得x1=-1，x2=1
當x-1時，y0，函數y=1+3x-x3是減函數，
當-10，函數y=1+3x-x3是增函數，
當x1時，y0，函數y=1+3x-x3是減函數，
當x=-1時，函數有極小值，y極小=-1.
當x=1時，函數有極大值，y極大=3.
3.設x0為f(x)的極值點，則下列説法正確的是()
A.必有f(x0)=0
B.f(x0)不存在
C.f(x0)=0或f(x0)不存在
D.f(x0)存在但可能不為0
[答案] C
[解析] 如：y=|x|，在x=0時取得極小值，但f(0)不存在.
4.對於可導函數，有一點兩側的導數值異號是這一點為極值的()
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
[答案] C
[解析] 只有這一點導數值為0，且兩側導數值異號才是充要條件.
5.對於函數f(x)=x3-3x2，給出命題：
①f(x)是增函數，無極值;
②f(x)是減函數，無極值;
③f(x)的遞增區間為(-，0)，(2，+)，遞減區間為(0,2);
④f(0)=0是極大值，f(2)=-4是極小值.
其中正確的命題有()
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
[答案] B
[解析] f(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f(x)0，得x2或x0，令f(x)0，得0
6.函數f(x)=x+1x的極值情況是()
A.當x=1時，極小值為2，但無極大值
B.當x=-1時，極大值為-2，但無極小值
C.當x=-1時，極小值為-2;當x=1時，極大值為2
D.當x=-1時，極大值為-2;當x=1時，極小值為2
[答案] D
[解析] f(x)=1-1x2，令f(x)=0，得x=1，
函數f(x)在區間(-，-1)和(1，+)上單調遞增，在(-1,0)和(0,1)上單調遞減，當x=-1時，取極大值-2，當x=1時，取極小值2.
7.函數f(x)的定義域為開區間(a，b)，導函數f(x)在(a，b)內的圖象如圖所示，則函數f(x)在開區間(a，b)內有極小值點()
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
[答案] A
[解析] 由f(x)的'圖象可知，函數f(x)在區間(a，b)內，先增，再減，再增，最後再減，故函數f(x)在區間(a，b)內只有一個極小值點.
8.已知函數y=x-ln(1+x2)，則函數y的極值情況是()
A.有極小值
B.有極大值
C.既有極大值又有極小值
D.無極值
[答案] D
[解析] ∵y=1-11+x2(x2+1)=1-2xx2+1=(x-1)2x2+1
令y=0得x=1，當x1時，y0，當x1時，y0，函數無極值，故應選D.
9.已知函數f(x)=x3-px2-qx的圖象與x軸切於(1,0)點，則函數f(x)的極值是()
A.極大值為427，極小值為0
B.極大值為0，極小值為427
C.極大值為0，極小值為-427
D.極大值為-427，極小值為0
[答案] A
[解析] 由題意得，f(1)=0，p+q=1①
f(1)=0，2p+q=3②
由①②得p=2，q=-1.
f(x)=x3-2x2+x，f(x)=3x2-4x+1
=(3x-1)(x-1)，
令f(x)=0，得x=13或x=1，極大值f13=427，極小值f(1)=0.
10.下列函數中，x=0是極值點的是()
A.y=-x3 B.y=cos2x
C.y=tanx-x D.y=1x
[答案] B
[解析] y=cos2x=1+cos2x2，y=-sin2x，
x=0是y=0的根且在x=0附近，y左正右負，
x=0是函數的極大值點.
二、填空題
11.函數y=2xx2+1的極大值為______，極小值為______.
[答案] 1 -1
[解析] y=2(1+x)(1-x)(x2+1)2，
令y0得-11或x-1，
當x=-1時，取極小值-1，當x=1時，取極大值1.
12.函數y=x3-6x+a的極大值為____________，極小值為____________.
[答案] a+42 a-42
[解析] y=3x2-6=3(x+2)(x-2)，
令y0，得x2或x-2，
令y0，得-2
當x=-2時取極大值a+42，
當x=2時取極小值a-42.
13.已知函數y=x3+ax2+bx+27在x=-1處有極大值，在x=3處有極小值，則a=______，b=________.
[答案] -3 -9
[解析] y=3x2+2ax+b，方程y=0有根-1及3，由韋達定理應有
14.已知函數f(x)=x3-3x的圖象與直線y=a有相異三個公共點，則a的取值範圍是________.
[答案] (-2,2)
[解析] 令f(x)=3x2-3=0得x=1，
可得極大值為f(-1)=2，極小值為f(1)=-2，
y=f(x)的大致圖象如圖
觀察圖象得-2
三、解答題
15.已知函數f(x)=x3-3x2-9x+11.
(1)寫出函數f(x)的遞減區間;
(2)討論函數f(x)的極大值或極小值，如有試寫出極值.
[解析] f(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)，
令f(x)=0，得x1=-1，x2=3.
x變化時，f(x)的符號變化情況及f(x)的增減性如下表所示：
x (-，-1) -1 (-1,3) 3 (3，+)
f(x) + 0 - 0 +
f(x) 增 極大值
f(-1) 減 極小值
f(3) 增
(1)由表可得函數的遞減區間為(-1,3);
(2)由表可得，當x=-1時，函數有極大值為f(-1)=16;當x=3時，函數有極小值為f(3)=-16.
16.設函數f(x)=ax3+bx2+cx，在x=1和x=-1處有極值，且f(1)=-1，求a、b、c的值，並求出相應的極值.
[解析] f(x)=3ax2+2bx+c.
∵x=1是函數的極值點，-1、1是方程f(x)=0的根，即有
又f(1)=-1，則有a+b+c=-1，
此時函數的表達式為f(x)=12x3-32x.
f(x)=32x2-32.
令f(x)=0，得x=1.
當x變化時，f(x)，f(x)變化情況如下表：
x (-，-1) -1 (-1,1) 1 (1，+)
f(x) + 0 - 0 +
f(x) ? 極大
值1 ? 極小
值-1 ?
由上表可以看出，當x=-1時，函數有極大值1;當x=1時，函數有極小值-1.
17.已知函數f(x)=ax3+bx2-3x在x=1處取得極值.
(1)討論f(1)和f(-1)是函數f(x)的極大值還是極小值;
(2)過點A(0,16)作曲線y=f(x)的切線，求此切線方程.
[解析] (1)f(x)=3ax2+2bx-3，依題意，
f(1)=f(-1)=0，即
解得a=1，b=0.
f(x)=x3-3x，
f(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1).
令f(x)=0，得x1=-1，x2=1.
若x(-，-1)(1，+)，則f(x)0，故
f(x)在(-，-1)上是增函數，
f(x)在(1，+)上是增函數.
若x(-1,1)，則f(x)0，故
f(x)在(-1,1)上是減函數.
f(-1)=2是極大值;f(1)=-2是極小值.
(2)曲線方程為y=x3-3x.點A(0,16)不在曲線上.
設切點為M(x0，y0)，則點M的座標滿足y0=x30-3x0.
∵f(x0)=3(x20-1)，故切線的方程為
y-y0=3(x20-1)(x-x0).
注意到點A(0,16)在切線上，有
16-(x30-3x0)=3(x20-1)(0-x0).
化簡得x30=-8，解得x0=-2.
切點為M(-2，-2)，
切線方程為9x-y+16=0.
18.(2016北京文，18)設函數f(x)=a3x3+bx2+cx+d(a0)，且方程f(x)-9x=0的兩個根分別為1,4.
(1)當a=3且曲線y=f(x)過原點時，求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在(-，+)內無極值點，求a的取值範圍.
[解析] 本題考查了函數與導函數的綜合應用.
由f(x)=a3x3+bx2+cx+d得f(x)=ax2+2bx+c
∵f(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0的兩根為1,4.
(1)當a=3時，由(*)式得 ，
解得b=-3，c=12.
又∵曲線y=f(x)過原點，d=0.
故f(x)=x3-3x2+12x.
(2)由於a0，所以f(x)=a3x3+bx2+cx+d在(-，+)內無極值點等價於f (x)=ax2+2bx+c0在(-，+)內恆成立
由(*)式得2b=9-5a，c=4a.
又∵=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9)
解 得a[1,9]，
即a的取值範圍[1,9].
