解決奧數難題的基本技巧

奧數對青少年的腦力鍛鍊有着一定的作用，可以通過奧數對思維和邏輯進行鍛鍊，對學生起到的並不僅僅是數學方面的作用,通常比普通數學要深奧些。下面是小編整理的解決奧數難題的基本技巧，歡迎大家參考。

　　一、構造的技巧：

它的基本形式是：以已知條件為原料、以所求結論為方向，構造出一種新的數學形式，使得問題在這種形式下簡捷解決。常見的有構造圖形，構造方程，構造恆等式，構造函數，構造反例，構造抽屜，構造算法等。

　　二、映射的技巧：

它的基本形式是RMI原理。令R表示一組原像的關係結構(或原像系統)，其中包含着待確定的原像 ，令 表示一種映射，通過它的作用把原像結構R被映成映象關係結構R*，其中自然包含着未知原像 的映象 。如果有辦法把 確定下來，則通過反演即逆映射 也就相應地把 確定下來。取對數計算、換元、引進座標系、設計數學模型，構造發生函數等都體現了這種原理。建立對應來解題，也屬於這一技巧。

　　三、遞推的技巧：

如果前一件事與後一件事存在確定的關係，那麼，就可以從某一(幾)個初始條件出發逐步遞推，得到任一時刻的結果，用遞推的方法解題，與數學歸納法(但不用預知結論)，無窮遞降法相聯繫，關鍵是找出前號命題與後號命題之間的遞推關係。

　　四、區分的技巧：

當“數學黑箱”過於複雜時，可以分割為若干個小黑箱逐一破譯，即把具有共同性質的部分分為一類，形成數學上很有特色的方法——區分情況或分類，不會正確地分類就談不上掌握數學。

有時候，也可以把一個問題分階段排成一些小目標系列，使得一旦證明了前面的情況，便可用來證明後面的情況，稱為爬坡式程序。比如，解柯西函數方程就是將整數的情況歸結為自然數的情況來解決，再將有理數的情況歸結為整數的情況來解決，最後是實數的情況歸結為有理數的情況來解決。

區分情況不僅分化了問題的難度，而且分類標準本身又附加了一個已知條件，所以，每一類子問題的解決都大大降低了難度。

　　五、染色的.技巧：

染色是分類的直觀表現，在數學競賽中有大批以染色面目出現的問題，其特點是知識點少，邏輯性強，技巧性強;同時，染色作為一種解題手段也在數學競賽中廣泛使用。下面是一些熟知的結果。

1.在(點)二染色的直線上存在相距1或2的同色兩點;

2.在(點)二染色的直線上存在成等差數列的同色三點;

3.在(點)二染色的平面上存在邊長為1或 的單色正三角形(三個頂點同色的三角形);

4.設T1，T2是兩個三角形，T1有一邊長1，T2一邊長 ，若將平面作(點)二染色，則恆可找到一個全等於T1或T2的單色三角形;

5.在(點)三染色的平面上，必有相距為1的兩點同色;

6.在(點)三染色的平面上，必存在一個斜邊為1的直角三角形，它的三個頂點是全同色的或是全不同色的;

7.在(邊)染色的六階完全圖中必有單三角形(三邊同色);

8.在(邊)染色的六階完全圖中至少有兩個單色三角形。

　　六、極端的技巧：

某些數學問題中所出現的各個元素的地位是不平衡的，其中的某個極端元素或某個元素的極端狀態往往具有優先於其它元素的特殊性質，而這又恰好為解題提供了突破口，從極端元素入手，進而簡捷地解決問題，這就是通常所説的“極端原理”。

　　七、對稱的技巧：

對稱性分析就是將數學的對稱美與題目的條件或結論相結合，再憑藉知識經驗與審美直覺，從而確定解題的總體思想或入手方向。其實質是美的啟示、沒的追求在解題過程中成為一股宏觀指導的力量。著名物理學家楊振寧曾高度評價對稱性方法：“當我們默默考慮一下這中間所包含的數學推理的優美性和它的美麗完整性，並以此對比它的複雜的、深入的物理成果，我們就不能不深深感到對對稱定律的力量的欽佩”。

　　八、配對的技巧：

配對的形式是多樣的，有數字的湊整配對或共軛配對，有解析式的對稱配對對或整體配對，有子集與其補集的配對，也有集合間象與原象的配對。凡此種種，都體現了數學和諧美的追求與力量，小高斯求和(1+2+…+99+100)首創了配對。

　　九、特殊化的技巧：

特殊化體現了以退求進的思想：從一般退到特殊，從複雜退到簡單，從抽象退到具體，從整體退到部分，從較強的結論退到較弱的結論，從高維退到低維，退到保持特徵的最簡單情況、退到最小獨立完全系的情況，先解決特殊性，再歸納、聯想、發現一般性。華羅庚先生説，解題時先足夠地退到我們最易看清楚問題的地方，認透了、鑽深了，然後再上去。特殊化既是尋找解題方法的方法，又是直接解題的一種方法。

　　十、一般化的技巧：

推進到一般，就是把維數較低或抽象程度較弱的有關問題轉化為維數較高、抽象程度較強的問題，通過整體性質或本質關係的考慮，而使問題獲得解決，離散的問題可以一般化用連續手段處理，有限的問題可以一般化用數學歸納法處理，由於特殊情況往往涉及一些無關宏旨的細節而掩蓋了問題的關鍵，一般情況則更明確地表達了問題的本質。波利亞説：“這看起來矛盾，但當從一個問題過渡到另一個，我們常常看到，新的雄心大的問題比原問題更容易掌握，較多的問題可能比只有一個問題更容易回答，較複雜的定理可能更容易證明，較普遍的問題可能更容易解決。”希爾伯特還説：在解決一個數學問題時，如果我們沒有獲得成功，原因常常在於我們沒有認識到更一般的觀點，即眼下要解決的只不夠是一連串有關問題的一個環節。

　　十一、數字化的技巧：

數字化的好處是：將實際問題轉化為數學問題的同時，還將抽象的推理轉化為具體的計算。

　　十二、有序化的技巧：

當題目出現多參數、多元素(數、字母、點、角、線段等)時，若按一定的規則(如數的大小，點的次序等)，將其重新排列，則排序本身就給題目增加了一個已知條件(有效增設)，從而大大降低問題的難度。特別是處理不等關係時，這是一種行之有效的技巧。

　　十三、不變量的技巧：

在一個變化的數學過程中常常有個別的不變元素或特殊的不變狀態，表現出相對穩定的較好性質，選擇這些不變性作為解題的突破口是一個好主意。