餘弦定理的證明
在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b
則c^2=a^2+b^2-2ab*cosC
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
下面在鋭角△中證明第一個等式，在鈍角△中證明以此類推。
過A作AD⊥BC於D，則BD+CD=a
由勾股定理得：
c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2
所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2
=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2
=a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2
=a^2+b^2-2a*CD
因為cosC=CD/b
所以CD=b*cosC
所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC
題目中^2表示平方。
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談正、餘弦定理的多種證法
聊城二中 魏清泉
正、餘弦定理是解三角形強有力的工具，關於這兩個定理有好幾種不同的證明方法.人教A版教材《數學》(必修5)是用向量的數量積給出證明的，如是在證明正弦定理時用到作輔助單位向量並對向量的等式作同一向量的數量積，這種構思方法過於獨特，不易被初學者接受.本文試圖通過運用多種方法證明正、餘弦定理從而進一步理解正、餘弦定理，進一步體會向量的巧妙應用和數學中“數”與“形”的完美結合.
定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,則
(1)(正弦定理) = = ;
(2)(餘弦定理)
c2=a2+b2-2abcos C,
b2=a2+c2-2accos B,
a2=b2+c2-2bccos A.
一、正弦定理的證明
證法一：如圖1，設AD、BE、CF分別是△ABC的三條高。則有
AD=b•sin∠BCA，
BE=c•sin∠CAB，
CF=a•sin∠ABC。
所以S△ABC=a•b•csin∠BCA
=b•c•sin∠CAB
=c•a•sin∠ABC.
證法二：如圖1，設AD、BE、CF分別是△ABC的`3條高。則有
AD=b•sin∠BCA=c•sin∠ABC，
BE=a•sin∠BCA=c•sin∠CAB。
證法三：如圖2，設CD=2r是△ABC的外接圓
的直徑，則∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。
證法四：如圖3，設單位向量j與向量AC垂直。
因為AB=AC+CB，
所以j•AB=j•(AC+CB)=j•AC+j•CB.
因為j•AC=0，
j•CB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=a•sinC，
j•AB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=c•sinA .
二、餘弦定理的證明
法一：在△ABC中，已知 ，求c。
過A作 ，
在Rt 中， ，
法二：
，即：
法三：
先證明如下等式：
⑴
證明：
故⑴式成立，再由正弦定理變形，得
結合⑴、 有
即 .
同理可證
.
三、正餘弦定理的統一證明
法一：證明：建立如下圖所示的直角座標系，則A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函數的定義可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCC′，則∠BAC′=π-∠B，
∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B).
根據向量的運算：
=(-acos B,asin B)，
= - =(bcos A-c,bsin A),
(1)由 = ：得
asin B=bsin A,即
= .
同理可得： = .
∴ = = .
(2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A，
又| |=a,
∴a2=b2+c2-2bccos A.
同理：
c2=a2+b2-2abcos C;
b2=a2+c2-2accos B.
法二：如圖5，
,設 軸、 軸方向上的單位向量分別為 、 ，將上式的兩邊分別與 、 作數量積，可知
，
即
將(1)式改寫為
化簡得b2-a2-c2=-2accos B.
即b2=a2+c2-2accos B.(4)
這裏(1)為射影定理，(2)為正弦定理，(4)為餘弦定理.
參考文獻：
【1】孟燕平?抓住特徵，靈活轉換?數學通報2003年第11期.
【2】《中學生數學》(上)2000年3月上
【3】《數學(必修5)》人民教育出版社
