向量證明正弦定理
表述：設三面角∠P-ABC的三個面角∠BPC，∠CPA，∠APB所對的二面角依次為∠PA，∠PB，∠PC，則 Sin∠PA/Sin∠BPC=Sin∠PB/Sin∠CPA=Sin∠PC/Sin∠APB。
目錄
1證明2全向量證明
證明
過A做OA⊥平面BPC於O。過O分別做OM⊥BP於M與ON⊥PC於N。連結AM、AN。 顯然，∠PB=∠AMO，Sin∠PB=AO/AM;∠PC=∠ANO，Sin∠PC=AO/AN。 另外，Sin∠CPA=AN/AP，Sin∠APB=AM/AP。 則Sin∠PB/Sin∠CPA=AO×AP/(AM×AN)=Sin∠PC/Sin∠APB。 同理可證Sin∠PA/Sin∠BPC=Sin∠PB/Sin∠CPA。即可得證三面角正弦定理。
全向量證明
如圖1，△ABC為鋭角三角形，過點A作單位向量j垂直於向量AC，則j與向量AB的夾角為90°-A，j與向量CB的夾角為90°-C
由圖1，AC+CB=AB(向量符號打不出)
在向量等式兩邊同乘向量j,得·
j·AC+CB=j·AB
∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)
=│j││AB│cos(90°-A)
∴asinC=csinA
∴a/sinA=c/sinC
同理，過點C作與向量CB垂直的單位向量j，可得
c/sinC=b/sinB
∴a/sinA=b/sinB=c/sinC
2步驟1
記向量i ，使i垂直於AC於C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c
∴a+b+c=0
則i(a+b+c)
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)
=-asinC+csinA=0
接着得到正弦定理
其他
步驟2.
在鋭角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，
b/sinB=c/sinC
步驟3.
證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.
作直徑BD交⊙O於D. 連接DA.
因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度
因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等於∠C.
所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
類似可證其餘兩個等式。
3
用向量叉乘表示面積則 s = CB 叉乘 CA = AC 叉乘 AB
=> absinC = bcsinA (這部可以直接出來哈哈，不過為了符合向量的做法)
=> a/sinA = c/sinC
2015-7-18 17:16 jinren92 | 三級
記向量i ，使i垂直於AC於C，△ABC三邊AB,BC,接着得到正弦定理 其他步驟2. 在鋭角△ABC中，證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 任意三角形ABC,
4
過三角形ABC 的頂點A作BC邊上的高，垂足為D.(1)當D落在邊BC上時，向量AB 與向量AD 的夾角為90°-B ，向量AC 與向量AD 的夾角為90°-C ，由於向量AB、向量AC 在向量AD 方向上的射影相等，有數量積的幾何意義可知 向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即 向量AB的絕對值*向量AD的絕對值*COS(90°-B)=向量的AC絕對值*向量AD的'絕對值*cos(90°-C)所以 csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)當D落在BC的延長線上時，同樣可以證得
【擴展閲讀篇】
用文字記載一個星期來的自己的思想、學習、生活情況的文字記錄。
它有別於“流水賬”，日記，在於流水賬是有什麼就記錄什麼，不需要作任何修飾和認識的昇華，而且內容不限，一週之內可以記錄您每一天的任何事情。而週記就是：每週一次，並且對自己的生活學習思想認識有一定的昇華。 週記是對個人和某個團體一週的所見、所聞、所思、所感、所惑、所獲的記錄。還可以寫一件在這一週裏讓你有所感觸的事。
編輯本段作用
從學生角度來説，週記用來了解學生的思想動態，學習情況，答疑解惑，並通過週記的形式而置一些跟教育主題有關的主題作文，提高學生的認識，從而在全班範圍內形成正確、積極、健康的輿論環境，併為主題班會準備材料，提高同學們參與的積極性。
從老師的角度來説，週記用來回顧一週的得失，提出經驗教訓，讓班主任對班上情況有一個更加詳細和全面的瞭解，提高工作的針對性和準確性。老師除了用來了解同學一週發生的事情外，還用來鍛鍊同學的文章水平，使同學文章水平得以提高。
編輯本段格式
週記的題目(寫作範圍：讀後感;見聞;趣事;數學週記......)
1.記事
2.自評(優，缺)
3.解決措施
4.下週計劃
5.自己的所見所聞所感
其實週記並沒有一種標準的格式，只需要同學們每週把自己的所看到的、聽到的、想到的、經歷的東西記下來，形成的文字片斷或一篇文章，一週寫一則就可以了。
編輯本段怎麼寫週記
不少同學又開始問了，週記怎麼寫?國小國中週記開頭怎麼寫?
如果是一個片斷，將事情寫清、將要表達的意思表達完整就行了，當然，時間充裕，你可以將前因後果，你的想法補充完整，形成一篇文章。不論無論，週記沒有什麼特殊規定的格式，跟我們平時説話寫文章一樣，要求就是條理清楚地説清一件事、一個想法。
週記的關鍵是要真，真事、真情、真想，不要虛構。用力表達你正經歷的、正思考的事，對提高你的寫作能力是有幫助的，不要當作負擔，也不要覺得有任何壓力，因為真的，只要排列一下就行了。
同時，週記交給老師後，也可讓老師來了解你的生活、你的想法，或許對你有幫助。
去年也談過週記怎麼寫，轉到下面，大家再看看。
老師佈置了週記作業，怎麼寫呢?許多同學發了愁。
其實週記也好，日記也好，都是要寫一段時間內印象最深的事。週記就是本星期內的事。
回想一下這個星期發生了什麼，在學習上有什麼問題，班級裏有什麼新鮮事，和朋友老師間關係如何，這些都可以寫，和日記相比周記可以寫的內容更多了，需要突出一兩個重點。
如果大腦裏立刻就想起一二件事情，記憶深刻，那麼恭喜，你就有材料了，將它們的前因後果，事情經過，個人感想寫清楚吧。
有人會問：不好意思，一想到過去的幾天，我印象裏只記得吃了一次大餐，或者只記得被老師罵了一頓，或者跟同學鬧彆扭心裏不爽，這些都沒有重要意義，怎麼能寫呢?告訴你，既然你想到了，就説明是值得寫的。有意義的事情，不一定非得是意義重大，思想崇高，自己的生活瑣事，也是值得一寫的，只要你寫出你的感受。我們每天的日子不都是這些細小的沙子一樣的事情組成的嗎?這些沙子，串起了我們的歡笑，串起了我們的憂愁，串起了我們的無聊，引領着我們一天天，不知不覺地在長大。
更有一些同學説，這個周最無味，什麼也沒有發生，沒什麼可寫的。再想想，再想想，多個心眼，仔細觀察，你會找到的。
