對未來數學的展望

一、 高數的發展

高等數學是一門古老的自然學科，它以微積分為主要研究對象。如果將整個數學比作一棵大樹，那麼初等數學是樹的根，名目繁多的數學分支是樹枝，而樹幹的主要部分就是微積分。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。

從17世紀開始，隨着社會的進步和生產力的發展，以及如航海、天文、礦山建設等許多課題要解決，數學也開始研究變化着的量，數學進入了“變量數學”時代，即微積分不斷完善成為一門學科。整個17世紀有數十位科學家為微積分的創立做了開創性的研究，但使微積分成為數學的一個重要分支的還是牛頓和萊布尼茨。

但是，微分和積分的思想早在古代就已經產生了。公元前3世紀，古希臘的數學家、力學家阿基米德（公元前287—前212）的著作《圓的測量》和《論球與圓柱》中就已含有微積分的萌芽，他在研究解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉雙曲線的體積的問題中就隱含着近代積分的思想。

作為微積分的基礎極限理論來説，早在我國的古代就有非常詳盡的論述，比如莊周所著的《莊子》一書中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。三國時期的劉徽在他的割圓術中提出“割之彌細，所失彌少，割之又割以至於不可割，則與圓合體而無所失矣”。他在1615年《測量酒桶體積的新科學》一書中，就把曲線看成邊數無限增大的直線形。圓的面積就是無窮多個三角形面積之和，

這些都可視為典型極限思想的佳作。意大利數學家卡瓦列利在1635年出版的《連續不可分幾何》，就把曲線看成無限多條線段（不可分量）拼成的。這些都為後來的微積分的誕生作了思想準備。

17世紀生產力的發展推動了自然科學和技術的發展，不但已有的數學成果得到進一步鞏固、充實和擴大，而且由於實踐的需要，開始研究運動着的物體和變化的量，這樣就獲得了變量的概念，研究變化着的量的一般性和它們間的依賴關係。

到了17世紀下半葉，在前人創造性研究的基礎上，英國大數學家、物理學家艾薩克·牛頓（1642-1727）是從物理學的角度研究微積分的，他為了解決運動問題，創立了一種和物理概念直接聯繫的數學理論，即牛頓稱之為“流數術”的理論，這實際上就是微積分理論。牛頓的有關“流數術”的主要著作是《求曲邊形面積》、《運用無窮多項方程的計算法》和《流數術和無窮極數》。這些概念是力學概念的數學反映。牛頓認為任何運動存在於空間，賴於時間，因而他把時間作為自變量，把和時間有關的固變量作為流量，不僅這樣，他還把幾何圖形——線、角、體，都看作力學位移的結果。因而，一切變量都是流量。牛頓指出，“流數術”基本上包括三類問題。

（1）“已知流量之間的關係，求它們的流數的關係”，這相當於微分學。

（2）已知表示流數之間的關係的.方程，求相應的流量間的關係。這相當於積分學，牛頓意義下的積分法不僅包括求原函數，還包括解微分方程。

（3）“流數術”應用範圍包括計算曲線的極大值、極小值、求曲線的切線和曲率，求曲線長度及計算曲變形面積等。

牛頓已完全清楚上述（1）（2）兩類問題中運算是互逆的運算，於是建立起微分學和積分學之間的聯繫。牛頓在1665年5月20日的一份手稿中提到“流數術”，因為有人把這天作為誕生微積分的標誌。 而萊布尼茨使微積分更加簡潔和準確。從幾何方面獨立發現了微積分，在牛頓和萊布尼茨之前至少有數十位數學家研究過，他們為微積分的誕生作了開創性貢獻。但是他們這些工作是零碎的，不連貫的，缺乏統一性。萊布尼茨創立微積分的途徑與方法與牛頓是不同的。萊布尼茨是經過研究曲線的切線和曲線包圍的面積，運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則的。牛頓在微積分的應用上更多地結合了運動學，造詣較萊布尼茨高一籌，但他的表達形式採用數學符號卻又遠遠優於牛頓一籌，既簡潔又準確地揭示出微積分的實質，強有力地促進了高等數學的發展。

萊布尼茨創造的微分和積分符號，正像印度——阿拉伯數字促進了算數與代數發展一樣，促進了微積分學的發展，他是數學史上最傑出的符號創造者之一。

牛頓當時採用的微分和積分符號現在不用了，而萊布尼茨所採用的符號現今仍在使用。萊布尼茨比別人更早更明確地認識到，好的符號能大大節省思維勞動，運用符號的技巧是數學成功的關鍵之一。 從17世紀到18世紀的過渡時期，法國數學家羅爾在其論文《任意次方程一個解法的證明》中給出了微分學的一個重要定理，也就是我

們現在所説的羅爾微分中值定理。

伯努利兄弟雅各布和約翰，他們的工作構成了現今初等微積分的大部分內容。其中，約翰給出了求未定式極限的一個定理，這個定理後由約翰的學生羅比達編入其微積分著作《無窮小分析》，現在通稱為羅比達法則。

1715年數學家泰勒在著作《正的和反的增量方法》中陳述了他獲得的著名定理，即現在以他的名字命名的泰勒定理。後來麥克勞林重新得到泰勒公式的特殊情況，現代微積分教材中一直將這一特殊情形的泰勒級數稱為“麥克勞林”級數。

18世紀的數學家還將微積分算法推廣到多元函數而建立了偏導數理論和多重積分理論。由於微積分的迅猛發展，人們將微積分應用到自然科學的各個方面，建立了不少一微積分為主的分支學科，如常微分方程、偏微分方程、變分法等等形成了數學的三大分支之一的‘分析’。但是微積分的基礎是不牢固的，尤其在適用無窮小概念上的隨意與混亂，引起了人們對他們理論的懷疑與批評。這方面的貢獻主要應歸功於尼古拉·伯努利、歐拉和拉格朗日等數學家。

加上貝努利，歐拉，傅里葉等科學家在研究的應用數學問題之中的不斷研究，使的這門學科近乎完善，最終形成了以微積分為主要研究內容的高等數學。

直到19世紀，分析的嚴密性真正有影響的先驅則是偉大的法國數學家柯西。柯西關於分析基礎的最具代表性的著作是他的《分析教程》，《無窮小計算教程》以及《微分計算教程》。柯西的工作在一定

程度上澄清了微積分基礎問題上長期存在的混亂，向分析的全面嚴格化邁出了關鍵的一步。

微積分是與實際應用聯繫着發展起來的，最初牛頓應用微積分學及微分方程為了從萬有引力定律導出了開普勒行星運動三定律。它在天文學、力學、化學、生物學、工程學、經濟學等自然科學、社會科學及應用科學個分支中，有越來越廣泛的應用。

關於微積分的現代發展。Riemann將Cauchy的積分含義擴展之後，Lebesgue又引進了測度的概念，進一步將Riemann積分的含義擴展。例如著名的Dirichilet函數在Riemann積分下不可積，而在Lebesgue積分下便可積。

我國的數學泰斗陳省身先生所研究的微分幾何領域，便是利用微積分的理論來研究幾何，這門學科對人類認識時間和空間的性質發揮的巨大的作用。並且這門學科至今仍然很活躍。前不久由我國數學家朱熹平、曹懷東完成最後封頂的龐加萊猜想便屬於這一領域。

微積分的發展歷史表明了人的認識是從生動的直觀開始，進而達到抽象思維，也就是從感性認識到理性認識的過程。人類對客觀世界的規律性的認識具有相對性，受到時代的侷限。隨着人類認識的深入，認識將一步一步地由低級到高級、由不全面到比較全面地發展。人類對自然的探索永遠不會有終點。

二、 高數的未來展望

高等數學在當今社會有着廣泛的應用。如：計算機方面、電子應用方面、航天技術方面、醫學方面等等眾多領域都起着巨大的作用！ 特別是計算機的發明更有助於這些應用的不斷髮展。

在計算機領域，計算機中許多地方要用到數學模型，特別是算法複雜度，人工智能、業務領域的數學建模等等，都需要有一定的數學功底。

隨着現代科學技術的發展和電子計算機的應用與普及，數學方法在醫藥學中的應用日益廣泛和深入。醫藥學科逐步由傳統的定性描述階段向定性、定量分析相結合的新階段發展。數學方法為醫藥科學研究的深入發展提供了強有力的工具。

高等數學同時是醫學院校開設的重要基礎課程，用高等數學基礎知識解決醫學中的一些實際問題的例子，旨在啟發學生怎樣正確理解和鞏固加深所學的知識，並且強化應用數學解決實際問題的意識。使我國的醫術在前有的基礎上再創輝煌！