2017北京市大學聯考數學模擬試卷及答案

來源：文萃谷 2.06W

高中數學是一門博大精深的學科,想要獲得高分可不容易，可以通過做大學聯考數學模擬試題來鞏固。以下是本站小編為你整理的2017北京市大學聯考數學模擬試卷，希望能幫到你。

　　2017北京市大學聯考數學模擬試卷題目

一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

(1)若集合A={x|–2x1}，B={x|x–1或x3}，則AB=

(A){x|–2x–1} (B){x|–2x3}

(C){x|–1x1} (D){x|1x3}

(2)若複數(1–i)(a+i)在復平面內對應的點在第二象限，則實數a的取值範圍是

(A)(–∞，1)

(B)(–∞，–1)

(C)(1，+∞)

(D)(–1，+∞)

(3)執行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為

(A)2

(B)

(C)

(D)

(4)若x，y滿足

，則x + 2y的最大值為

(A)1 (B)3

(5)已知函數，則

(A)是奇函數，且在R上是增函數

(B)是偶函數，且在R上是增函數

(C)是奇函數，且在R上是減函數

(D)是偶函數，且在R上是減函數

(6)設m,n為非零向量，則“存在負數，使得 ”是“ ”的

(A)充分而不必要條件

(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件

(D)既不充分也不必要條件

(7)某四稜錐的三視圖如圖所示，則該四稜錐的最長稜的長度為

(A)3

(B)2

(D)2

(8)根據有關資料，圍棋狀態空間複雜度的上限M約為，而可觀測宇宙中普通物質的原子總數N約為 .則下列各數中與最接近的是

(參考數據：lg3≈0.48)

(A)1033 (B)1053

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。

(9)若雙曲線的離心率為，則實數m=_______________.

(10)若等差數列和等比數列滿足a1=b1=–1，a4=b4=8，則 =__________.

(11)在極座標系中，點A在圓，點P的座標為(1,0)，則|AP|的最小值為 .

(12)在平面直角座標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關於y軸對稱。若， = .

(13)能夠説明“設a，b，c是任意實數.若a>b>c，則a+b>c”是假命題的一組整數a，b，c的值依次為______________________________.

(14)三名工人加工同一種零件，他們在一天中的工作情況如圖所示，其中點Ai的橫、縱座標分別為第i名工人上午的工作時間和加工的零件數，點Bi的橫、縱座標學科&網分別為第i名工人下午的工作時間和加工的零件數，i=1，2，3。

①記Q1為第i名工人在這一天中加工的零件總數，則Q1，Q2，Q3中最大的是_________。

②記pi為第i名工人在這一天中平均每小時加工的零件數，則p1，p2，p3中最大的'是_________。

三、解答題共6小題，共80分.解答應寫出文字説明，演算步驟或證明過程。

(15)(本小題13分)

在△ABC中， =60°，c= a.

(Ⅰ)求sinC的值;

(Ⅱ)若a=7,求△ABC的面積.

(16)(本小題14分)

如圖，在四稜錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點M在線段PB上，PD//平面MAC,PA=PD= ,AB=4.

(I)求證：M為PB的中點;

(II)求二面角B-PD-A的大小;

(III)求直線MC與平面BDP所成角的正炫值。

(17)(本小題13分)

為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機分成兩組，每組個50名，一組服藥，另一組不服藥。一段時間後，記錄了兩組患者的生理指標xy和的學科.網數據，並製成下圖，其中“•”表示服藥者，“+”表示為服藥者.

(Ⅰ)從服藥的50名患者中隨機選出一人，求此人指標y的值小於60的概率;

(Ⅱ)從圖中A,B,C,D,四人中隨機選出兩人，記為選出的兩人中指標x的值大於1.7的人數，求的分佈列和數學期望E( );

(Ⅲ)試判斷這100名患者中服藥者指標y數據的方差與未服藥者指標y數據的方差的大小.(只需寫出結論)

(18)(本小題14分)

已知拋物線C：y2=2px過點P(1,1).過點(0, )作直線l與拋物線C交於不同的兩點M,N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP、ON交於點A,B，其中O為原點.

(Ⅰ)求拋物線C的方程，並求其焦點座標和準線方程;

(Ⅱ)求證：A為線段BM的中點.

(19)(本小題13分)

已知函數f(x)=excosx−x.

(Ⅰ)求曲線y= f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;

(Ⅱ)求函數f(x)在區間[0, ]上的最大值和最小值.

(20)(本小題13分)

設{an}和{bn}是兩個等差數列，記

cn=max{b1–a1n,b2–a2n,…,bn–ann}(n=1,2,3,…)，

其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs這s個數中最大的數.

(Ⅰ)若an=n，bn=2n–1，求c1,c2,c3的值，並證明{cn}是等差數列;

(Ⅱ)證明：或者對任意正數M，存在正整數m，當n≥m時， ;或者存在正整數m，使得cm,cm+1,cm+2,…是等差數列.

　　2017北京市大學聯考數學模擬試卷答案

1.A

【解析】集合與集合的公共部分為，故選A.

2.B

【解析】，對應的點在第二象限，解得：

故選B.

3.C

【解析】當時，成立，進入循環，此時， ;

當時，成立，繼續循環，此時， ;

當時，不成立，循環結束，輸出 .

故選C.

4.D

【解析】設，則，由下圖可行域分析可知，在處取得最大值，代入可得，故選D.

5.A

【解析】奇偶性：的定義域是，關於原點對稱，

由可得為奇函數.

單調性：函數是上的增函數，函數是上的減函數，根據單調性的運算，增函數減去減函數所得新函數是增函數，即是上的增函數.綜上選A

6.A

【解析】由於，是非零向量，“存在負數，使得 .”根據向量共線基本定理可知與共線，由於，所以與方向相反，從而有，所以是充分條件。反之，若，與方向相反或夾角為鈍角時，與可能不共線，所以不是必要條件。綜上所述，可知 ”是“ ”的充分不必要條件，所以選A.

7.B

【解析】如下圖所示，在四稜錐中，最長的稜為，

所以，故選B.

8.D

【解析】由於，

所以，故選D.

【解析】∵雙曲線的離心率為

∴

∵ ，，

∴

10.

【解析】∵ 是等差數列，，，

∴公差

∴

∵ 為等比數列，，

∴公比

∴

故

11.1

【解析】把圓改寫為直角座標方程，化簡為，它是以為圓心，1為半徑的圓。畫出圖形，連結圓心與點，交圓於點，此時取最小值，點座標為， .

12.

【解析】∵因為角和角的終邊關於軸對稱

∴ ，

∴

13. ，，

【解析】由題意知，，均小於，所以找到任意一組負整數，滿足題意即可.

14.① ②

【解析】①設線段的中點為，則，其中 .

因此只需比較，，三個點縱座標的大小即可.

②由題意，，，故只需比較三條直線，，的斜率即可.

15.

【解析】(1)

由正弦定理得：

(2)

為鋭角

由得：

又

16.

【解析】(1)取、交點為，連結 .

∵ 面

面

面面

∴

在中，為中點

∴ 為中點

(2)方法一：

取中點為，中點為，連結，

∵ ，∴

又面面

面面

∴ 面

以為軸，為軸，為軸建立空間直角座標

可知，，，

易知面的法向量為

且，

設面的法向量為

可知

∴

由圖可知二面角的平面角為鋭角

∴二面角大小為

方法二：

過點作，交於點，連結

∵ 平面，∴ ，

∴ 平面，∴ ，

∴ 即為二面角的平面角

，可求得

∴

(3)方法一：

點，

∴

由(2)題面的一個法向量

設與平面所成角為

∴

方法二：

記，取中點，連結，，

取中點，連，易證點是中點，∴

∵平面平面，，

∴ 平面

連結，，

∴

∵ ，，，由余弦定理知

∴ ，∴

設點到平面的距離為，

又，求得

記直線與平面所成角為

∴

17.

【解析】(1)50名服藥者中指標的值小於60的人有15人，故隨機抽取1人，此人指標的值小於60的概率為

(2) 的可能取值為：0，1，2

，，

0 1 2

(3)從圖中服藥者和未服藥者指標數據的離散程度觀察可知，服藥者的方差大。

18.

【解析】(1)由拋物線過點，代入原方程得，

所以，原方程為 .

由此得拋物線焦點為，準線方程為 .

(2)

法一：

∵ 軸

設，根據題意顯然有

若要證為中點

只需證即可，左右同除有

即只需證明成立

其中

當直線斜率不存在或斜率為零時，顯然與拋物線只有一個交點不滿足題意，所以直線斜率存在且不為零.

設直線

聯立有，

考慮，由題可知有兩交點，所以判別式大於零，所以 .

由韋達定理可知： ……①， ……②

將①②代入上式，有

即，所以恆成立

∴ 為中點，得證.

法二：

當直線斜率不存在或斜率為零時，顯然與拋物線只有一個交點不滿足題意，所以直線斜率存在且不為零.

設為點，過的直線方程為，設，顯然，均不為零.

聯立方程得，

考慮，由題可知有兩交點，所以判別式大於零，所以 .

由韋達定理可知： ……①， ……②

由題可得橫座標相等且同為，且，在直線上，

又在直線：上，所以，若要證明為中點，

只需證，即證，即證，

將代入上式，

即證，即，

將①②代入得，化簡有恆成立，

所以恆成立，

所以為中點.

19.

【解析】(1)∵

∴

∴ 在處的切線方程為，即 .

(2)令

∵ 時，

∴ 在上單調遞減

∴ 時，，即

∴ 在上單調遞減

∴ 時，有最大值 ;

時，有最小值 .

20.

【解析】(1)易知，，且，， .

∴ ，

，

下面我們證明，對且，都有 .

當且時，

∵ 且，

∴ .

因此，對且，，則 .

又∵ ，

故對均成立，從而為等差數列.

(2)設數列與的公差分別為，，下面我們考慮的取值.

對，，…，，

考慮其中任意項 ( 且 )，

下面我們分，，三種情況進行討論.

(1)若，則

①若，則

則對於給定的正整數而言，

此時，故為等差數列.

②若，則

則對於給定的正整數而言， .

此時，故為等差數列.

此時取，則是等差數列，命題成立.

(2)若，則此時為一個關於的一次項係數為負數的一次函數.

故必存在，使得當時，

則當時， ( ， ).

因此，當時， .

此時，故從第項開始為等差數列，命題成立.

(3)若，則此時為一個關於的一次項係數為正數的一次函數.

故必存在，使得當時，

則當時， ( ， )

因此，當時， .

此時

令，，

下面證明對任意正數，存在正整數，使得當時， .

①若，則取 ( 表示不大於的最大整數)

當時，

，

此時命題成立.

②若，則取

當時，

此時命題也成立.

因此，對任意正數，存在正整數，使得當時， .

綜合以上三種情況，命題得證.

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