2017蘭州市大學聯考數學模擬試卷及答案
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2017蘭州市大學聯考數學模擬試卷題目一、選擇題:本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合 , ,則 ( )
A. B. C. D.
2.若複數 滿足 ,則 的實部為( )
A. B. C.1 D.
3.設向量 , ,則“ ”是“ ”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
4.若等比數列 的各項都是正數,且 成等差數列,則 ( )
A. B. C. D.
5.某程序框圖如圖所示,則該程序運行後輸出的值是( )
A. 2014 B.2015 C. 2016 D.2017
6.已知 , , 的座標 滿足 ,則 面積的取值範圍是( )
A. B. C. D.
7.某國際會議結束後,中、美、俄等21國領導人合影留念,他們站成兩排,前排11人,後排10人,中國領導人站在前排正中間位置,美俄兩國領導人也站前排並與中國領導人相鄰,如果對其他國家領導人所站位置不做要求,那麼不同的站法共有( )
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
8.某幾何體的三視圖如圖所示,則下列説法正確的是( )
①該幾何體的體積為 ;
②該幾何體為正三稜錐;
③該幾何體的表面積為 ;
④該幾何體外接球的表面積為 .
A.①②③ B.①②④ C. ①③④ D.②③④
9.若直線 把圓 分成面積相等的兩部分,則當 取得最大值時,座標原點到直線 的距離是( )
A. 4 B. C. 2 D.
10.已知長方體 中, , 與底面 所成的角分別為 和 ,則異面直線 和 所成角的餘弦值為( )
A. B. C. D.
11.已知 為雙曲線 的左、右焦點,以 為直徑的圓與雙曲線右支的一個交點為 , 與雙曲線相交於點 ,且 ,則該雙曲線的離心率為( )
A. B.2 C. D.
12.已知 ,定義運算“ ”: ,函數 , ,若方程 只有兩個不同實數根,則實數 的取值範圍是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空題(每題5分,滿分20分,將答案填在答題紙上)
13.若 , ,則 .
14.觀察下列式子:1, , , ,…,由以上可推測出一個一般性結論:對於 ,則 .
15.已知函數:① ;② ;③ ;④ .其中,最小正週期為 且圖象關於直線 對稱的函數序號是 .
16.已知定義域為 的函數 滿足 ,當 時, ,設 在 上的最大值為 ,且數列 的前 項和為 ,則 .
三、解答題 (本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字説明、證明過程或演算步驟.)
17. 在 中, 的對邊分別為 ,若 .
(1)求角 ;
(2)如果 ,求 面積的最大值.
18. 現如今,“網購”一詞不再新鮮,越來越多的人已經接受並喜歡了這種購物方式,但隨之也出現了商品質量不能保證與信譽不好等問題,因此,相關管理部門制定了針對商品質量與服務的評價體系,現從評價系統中選出成功交易200例,並對其評價進行統計:對商品的好評率為0.6,對服務的好評率為0.75,其中對商品和服務都做出好評的交易為80次.
(1)依據題中的數據完成下表,並通過計算説明,能否有99.9%的把握認為“商品好評與服務好評”有關;
(2)若將頻率視為概率,某人在該購物平台上進行了5次購物,設對商品和服務全好評的次數為隨機變量 ,求 的分佈列(概率用算式表示)、數學期望和方差.
19. 如圖所示的空間幾何體 中,四邊形 是邊長為2的正方形, 平面 , , , , .
(1)求證:平面 平面 ;
(2)求平面 與平面 所成的鋭二面角的餘弦值.
20. 已知橢圓 的中心在座標原點,焦點在 軸上,左頂點為 ,左焦點為 ,點 在橢圓 上,直線 與橢圓 交於 兩點,直線 分別與 軸交於點 .
(1)求橢圓 的方程;
(2)以 為直徑的圓是否經過定點?若經過,求出定點的座標;若不經過,請説明理由.
21. 已知函數 在 處的切線方程為 .
(1)求實數 的值;
(2)設 ,若 ,且 對任意的 恆成立,求 的最大值.
請考生在22、23兩題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題記分.
22.選修4-4:座標系與參數方程
在平面直角座標系中,已知點 ,曲線 的參數方程為 ( 為參數),以座標原點 為極點,以 軸正半軸為極軸,建立極座標系,點 的極座標為 ,直線 的極座標方程為 ,且 過點 ;過點 與直線 平行的直線為 , 與曲線 相交於兩點 .
(1)求曲線 上的點到直線 距離的`最小值;
(2)求 的值.
23.選修4-5:不等式選講
已知函數 .
(1)當 時,解關於 的不等式 ;
(2)若函數 存在零點,求實數 的取值範圍.
2017蘭州市大學聯考數學模擬試卷答案一、選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A B D C C D B D A A B
二、填空題
13. 14. 15. ② 16.
三、解答題
17. 解:(Ⅰ)∵ ,即
∴ 又∵ ∴
由於 為三角形內角,故
(Ⅱ)在 中,由余弦定理得 ,所以
∵ ∴ ,當且僅當 時等號成立
∴ 的面積
∴ 面積的最大值為
18. 解:(Ⅰ) 根據題中條件可得關於商品和服務的 列聯表:
對服務好評 對服務不滿意 合計
對商品好評
對商品不滿意
合計
因此,有 %的把握認為“商品好評與服務好評”有關.
(Ⅱ)由題可得,每次購物時,對商品和服務都好評的概率為
的所有可能的取值為 ,則 ~ ,
所以 , , ,
, ,
分佈列為:
由於 ~ ,
所以 ,
19. 解:(Ⅰ)證明:連接 交 於點 ,則
設 , 的中點分別為 , ,連接 ,則 ∥ ,
連接 , ,則 ∥ 且 ,所以 ∥ ,所以 ∥
由於 平面 ,所以
所以 , ,所以 平面
所以平面 平面
(Ⅱ)解法一:∵ ∥ ,∴ ∥
∴平面 與平面 所成的鋭二面角即為平面 與平面 所成的鋭二面角
連接 ,∵ 平面 , ∴
∴ 為平面 與平面 所成二面角的一個平面角
∵ , ∴
∴
即平面 與平面 所成的鋭二面角的餘弦值為
解法二:建立如圖所示空間直角座標系 ,
則 ,
依題意 為平面 的一個法向量,
設 為平面 的一個法向量,則
即 令 ,
則 ,所以
設平面 與平面 所成的鋭二面角為 ,則
即平面 與平面 所成的鋭二面角的餘弦值為
20. 解:(Ⅰ) 設橢圓 的方程為
∵橢圓的左焦點為 , ∴ .
∵點 在橢圓 上, ∴ .
解得, , .所以橢圓 的方程為 .
(Ⅱ)依題意點 的座標為 ,設 (不妨設 ),則
由 得
所以直線 的方程為
直線 的方程為
所以 ,
所以,
設 的中點為 ,則點 的座標為 ,則以 為直徑的圓的方程為
,即
令 得 或 ,
即以 為直徑的圓經過兩定點 ,
21. 解:(Ⅰ) ,
所以 且 , 解得 ,
(Ⅱ)由(Ⅰ)與題意知 對任意的 恆成立,
設 ,則 ,
令 ,則 ,
所以函數 為 上的增函數.
因為 ,
所以函數 在 上有唯一零點 ,即有 成立,
所以
故當 時, ,即 ;當 時, ,即
所以函數 在 上單調遞減,在 上單調遞增
所以
所以 ,因為 ,所以 ,又因
所以 最大值為
22. 解:(Ⅰ)因為 ,且 ,所以 ,即
所以直線 的極座標方程為
所以
即直線 的直角座標方程為
設曲線 上的點到直線 距離為 ,則
所以曲線 上的點到直線 距離的最小值為
(Ⅱ)設 的方程為 ,由於 過點 ,所以 ,所以 的方程為
故 的參數方程為 ( 為參數),曲線 的普通方程為
所以 ,即有
所以
所以
23.解:(Ⅰ)當 時,不等式為
即 或 或
解得: 或
所以所求不等式的解集為 ……………5分
(Ⅱ)函數 存在零點等價為關於 的方程 有解
因為
所以 ,即
解得
所以實數 的取值範圍是