2018屆唐山市大學聯考理科數學模擬試卷及答案
大學聯考理科數學的備考，需要多做大學聯考理科數學模擬試卷，才能在大學聯考理科數學中獲得好成績，下面是小編為大家精心推薦的2018屆唐山市大學聯考理科數學模擬試卷，希望能夠對您有所幫助。
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1、已知集合 ，則
A. B. C. D.
2、已知 為虛數單位， ，則複數 的共軛複數為
A. B. C. D.
3、總體由編號為 的 各個體組成，利用隨機數表(以下摘取了隨機數表中第1行和第2行)選取5個個體，選取方法是從隨機數表第1行的第9列和第10列數字開始由左向右讀取，則選出來的第4個個體的編號為
A. B. C. D.
4、已知雙曲線 的一條漸近線方程為 ，則 的離心率為
A. B. 或 C.2 D.
5、執行右側的程序框圖，若輸出 ，則輸入的 為
A. 或 或1 B. C. 或1 D.1
6、數列 首項 ，對於任意 ，有 ，
則 前5項和
A.121 B.25 C.31 D.35
7、某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為
A.4 B.8 C. D.
8、函數 (其中 為自然對數的底數)的圖象大致為
9、若 ，則
A.1 B.513 C.512 D.511
10、函數 在 內的值域為 ，則 的取值範圍是
A. B. C. D.
11、拋物線 的焦點F，N為準線上一點，M為軸上一點， 為直角，若線段MF的中點E在拋物線C上，則 的面積為
A. B. C. D.
12、已知函數 有兩個極值點 ，且 ，若 ，
函數 ，則
A.恰有一個零點 B.恰有兩個零點 C.恰有三個零點 D.至多兩個零點
第Ⅱ卷
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卷的橫線上..
13、已知向量 ，則 在 方向上的投影為
14、直角 頂的三個頂點都在球的球面 上，且 ，若三稜錐 的體積
為2，則該球的表面積為
15、已知變量 滿足約束條件 ，目標函數 的最小值為 ，
則實數
16、數列 的前n項和為 ，若 ，則
三、解答題：本大題共6小題，滿分70分，解答應寫出文字説明、證明過程或演算步驟
17、(本小題滿分12分)
在 中，角 所對應的邊分別為 .
(1)求證： ;
(2)若 為鋭角，求 的取值範圍.
18、(本小題滿分12分)
某學校簡單隨機抽樣方法抽取了100名同學，對其日均課外閲讀時間：(單位：分鐘)進行調查，結果如下：
若將日均課外閲讀時間不低於60分鐘的學生稱為“讀書迷”
(1)將頻率視為概率，估計該校4000名學生中“讀書迷”有多少人?
(2)從已抽取的8名“讀書迷”中隨機抽取4位同學參加讀書日宣傳活動.
①求抽取的4為同學中有男同學又有女同學的概率;
②記抽取的“讀書迷”中男生人數為X，求X的分佈列和數學期望.
19、(本小題滿分12分)
如圖，在平行四邊形 中， 分別為 的'中點， 平面 .
(1)求證： 平面 ;
(2)求直線 與平面 所成角的正弦值.
20、(本小題滿分12分)
已知橢圓 經過點 ，離心率 .
(1)求橢圓 的方程;
(2)直線 與圓 相切於點M，且與橢圓 相較於不同的兩點 ，
求 的最大值.
21、(本小題滿分12分)
已知函數 .
(1)討論函數 的單調性;
(2)若函數 在區間 有唯一的零點 ，證明 .
請考生在第(22)、(23)題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號塗黑，把答案填在答題卡上.
22、(本小題滿分10分) 選修4-4 座標系與參數方程
點P是曲線 上的動點，以座標原點 為極點， 軸的正半軸為極軸建立座標系，以極點 為中心，將點P逆時針旋轉得到點 ，設點 的軌跡為曲線 .
(1)求曲線 ， 的極座標方程;
(2)射線 與曲線 ， 分別交於 兩點，定點 ，求 的面積.
23、(本小題滿分10分))選修4-5 不等式選講
已知函數 .
(1)若 ，解不等式 ;
(2)當 時， ，求滿足 的 的取值範圍.
2018屆唐山市大學聯考理科數學模擬試卷答案一.選擇題：
A卷：ABBDC DCADD CB B卷：ADBBC DDACD CB
二.填空題：
(13)5 (14)44π (15)-3 (16)n2n-1
三.解答題：
(17)解：
(Ⅰ)由a-b=bcosC根據正弦定理得sinA-sinB=sinBcosC，
即sin(B+C)=sinB+sinBcosC，
sinBcosC+cosBsinC=sinB+sinBcosC，
sinCcosB=sinB，
得sinC=tanB. …6分
(Ⅱ)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=b2+4b-4=(b+2)2-8， …8分
由a-b=bcosC知b=a1+cosC=21+cosC ，
由C為鋭角，得0
從而有1
所以c的取值範圍是(1，22). …12分
(18)解：
(Ⅰ)設該校4000名學生中“讀書迷”有x人，則8100=x4000，解得x=320.
所以該校4000名學生中“讀書迷”有320人. …3分
(Ⅱ)(ⅰ)抽取的4名同學既有男同學，又有女同學的概率
P=1-C45C48= 13 14. …6分
(ⅱ)X可取0，1，2，3.
P(X=0)= C45 C48= 1 14， P(X=1)= C13C35 C48= 3 7，
P(X=2)= C23C25 C48= 3 7， P(X=3)= C33C15 C48= 1 14， …10分
X的分佈列為：
X 0 1 2 3
P 1 14
3 7
3 7
1 14
E(X)=0× 1 14+1× 3 7+2× 3 7+3× 1 14= 3 2. …12分
(19)解：
(Ⅰ)連接AE，因為AF⊥平面PED，EDÌ平面PED，所以AF⊥ED.
在平行四邊形ABCD中，BC=2AB=4，∠ABC=60°，
所以AE=2，ED=23，
從而有AE2+ED2=AD2，
所以AE⊥ED. …3分
又因為AF∩AE=A，
所以ED⊥平面PAE，PAÌ平面PAE，
從而有ED⊥PA.
又因為PA⊥AD，AD∩ED=D，
所以PA⊥平面ABCD. …6分
(Ⅱ)以E為座標原點，建立如圖所示的空間直角座標系，
則A(0，2，0)，D(23，0，0)，B(-3，1，0).
因為AF⊥平面PED，所以AF⊥PE，
又因為F為PE中點，所以PA=AE=2.
所以P(0，2，2)，F(0，1，1)，
AF→=(0，-1，1)，AD→=(23，-2，0)，
BF→=(3，0，1). …8分
設平面AFD的法向量為n=(x，y，z)，
由AF→•n=0，AD→•n=0得，-y+z=0，23x-2y=0，
令x=1，得n=(1，3，3). …10分
設直線BF與平面AFD所成的角為θ，則
sinθ=|cosBF→，n|=|BF→•n||BF→||n|=232×7=217，
即直線BF與平面AFD所成角的正弦值為217. …12分
(20)解：
(Ⅰ)由已知可得3a2+14b2=1，a2-b2a=32，解得a=2，b=1，
所以橢圓Γ的方程為x24+y2=1. …4分
(Ⅱ)當直線l垂直於x軸時，由直線l與圓O：x2+y2=1相切，
可知直線l的方程為x=±1，易求|AB|=3. …5分
當直線l不垂直於x軸時，設直線l的方程為y=kx+m，
由直線l與圓O：x2+y2=1相切，得|m|k2+1=1，即m2=k2+1， …6分
將y=kx+m代入x24+y2=1，整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1+x2=-8km1+4k2，x1x2=4m2-41+4k2， …8分
|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2
=1+k2(-8km1+4k2)2-16m2-161+4k2=41+k21+4k2-m21+4k2，
又因為m2=k2+1，
所以|AB|=43|k|k2+11+4k2≤2(3k2+k2+1)1+4k2=2，
當且僅當3|k|=k2+1，即k=±22時等號成立.
綜上所述，|AB|的最大值為2. …12分
(21)解：
(Ⅰ)f(x)= 1 x+1+2ax=2ax2+2ax+1x+1，x>-1.
令g(x)=2ax2+2ax+1，Δ=4a2-8a=4a(a-2).
若Δ<0，即00，
當x∈(-1，+∞)時，f(x)>0，f(x)單調遞增.
若Δ=0，即a=2，則g(x)≥0，僅當x=- 1 2時，等號成立，
當x∈(-1，+∞)時，f(x)≥0，f(x)單調遞增.
若Δ>0，即a>2，則g(x)有兩個零點x1=-a-a(a-2)2a，x2=-a+a(a-2)2a.
由g(-1)=g(0)=1>0，g(- 1 2)<0得-1
當x∈(-1，x1)時，g(x)>0，f(x)>0，f(x)單調遞增;
當x∈(x1，x2)時，g(x)<0，f(x)<0，f(x)單調遞減;
當x∈(x2，+∞)時，g(x)>0，f(x)>0，f(x)單調遞增.
綜上所述，
當0
當a>2時，f(x)在(-1，-a-a(a-2)2a)和(-a+a(a-2)2a，+∞)上單調遞增，
在(-a-a(a-2)2a，-a+a(a-2)2a)上單調遞減. …6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)及f(0)=0可知：僅當極大值等於零，即f(x1)=0時，符合要求.
此時，x1就是函數f(x)在區間(-1，0)的唯一零點x0.
所以2ax02+2ax0+1=0，從而有a=-12x0(x0+1).
又因為f(x0)=ln(x0+1)+ax02=0，所以ln(x0+1)-x02(x0+1)=0.
令x0+1=t，則lnt-t-12t=0.設h(t)=lnt+12t- 1 2，則h(t)=2t-12t2.
再由(Ⅰ)知：00，h(e-1)=e-32<0，
所以e-2
(22)解：
(Ⅰ)曲線C1的極座標方程為ρ=4cosθ.
設Q(ρ，θ)，則P(ρ，θ- p 2)，則有ρ=4cos(θ- p 2)=4sinθ.
所以，曲線C2的極座標方程為ρ=4sinθ. …5分
(Ⅱ)M到射線θ= p 3的距離為d=2sin p 3=3，
|AB|=ρB-ρA=4(sin p 3-cos p 3)=2(3-1)，
則S= 1 2|AB|×d=3-3. …10分
(23)解：
(Ⅰ)f(x)=|x+2|+|x-1|,所以f(x)表示數軸上的點x到-2和1的距離之和，
因為x=-3或2時f(x)=5，
依據絕對值的幾何意義可得f(x)≤5的解集為{x|-3≤x≤2}. …5分
(Ⅱ)g(a)=| 1 a+2a|+| 1 a-1|，
當a<0時，g(a)=- 2 a-2a+1≥5，等號當且僅當a=-1時成立，所以g(a)≤4無
解;
當0
由g(a)≤4得2a2-5a+2≤0，解得 1 2≤a≤2，又因為0
當a>1時，g(a)=2a+1≤4，解得1
綜上，a的取值範圍是[ 1 2， 3 2]. …10分
