2018屆北京東城區高三數學模擬試卷及答案
大學聯考數學複習必不可少的是數學模擬試卷，我們在複習階段需要通過多做數學模擬試卷來提升鞏固基礎知識點，以下是本站小編為你整理的2018屆北京東城區高三數學模擬試卷，希望能幫到你。
一、選擇題：本大題12小題，每小題5分，共60分.每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合 ， ，則 ( )
A. B. C. D.
2.若複數 滿足 ( 為虛數單位)，則複數 的虛部為 ( )
A.1 B. C. D.
3. 指數函數 且 在 上是減函數，則函數 在R上的 單調性為 ( )
A.單調遞增 B.單調遞減
C.在 上遞增，在 上遞減 D .在 上遞減，在 上遞增
4.已知命題p: ;命題q： ， 則下列命題中的真命題是 ( )
A. B. C. D.
5.在下列區間中，函數 的零點所在的區間為( )
A.( ，0) B.(0， ) C.( ， ) D.( ， )
6.設 ，則 ( )
A. B. C. D.
7.已知函數 的圖像關於 對稱，則函數 的圖像的一條對稱軸是( )
A. B. C. D.
8. 函數 的部分圖象大致為 ( )
9.函數 的單調增區間與值域相同，則實數 的取值為 ( )
A. B. C. D.
10.在整數集 中，被7除所得餘數為 的所有整數組成的一個“類”，記作 ，即
，其中 .給出如下五個結論：
① ; ② ;③ ;
④ ;
⑤“整數 屬於同一“類””的充要條件是“ ”。
其中，正確結論的個數是 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
11.已知 是定義在 上的偶函數，對於 ,都有 ,當 時， ，若 在[-1,5]上有五個根，則此五個根的和是 ( )
A.7 B.8 C.10 D.12
12.奇函數 定義域是 ， ，當 >0時，總有
>2 成立，則不等式 >0的解集為
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷 (非選擇題 共90分)
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上.
13.函數 在點 處切線的斜率為 .
14.由拋物線 ，直線 =0， =2及 軸圍成的圖形面積為 .
15. 點 是邊 上的一點， 則 的長為_____.
16.已知函數 則關於 的不等式 的解集為 .
三、解答題：本大題包括6小題，共70分，解答應寫出文字説明，證明過程或演算步驟
17.(本小題滿分10分)
設 、 ， ， 。若"對於一切實數 ， ”是“對於一切實數 ， ”的充分條件，求實數 的取值範圍。
18.(本小題滿分12分)
函數 過點 ，且當 時，函數 取得最大值1.
(1) 將函數 的圖 象向右平移 個單位得到函數 ，求函數 的表達式;
(2) 在(1)的條件下，函數 ，如果對於 ，都有 ，求 的最小值.
19.(本小題滿分12分)
已知三稜柱ABC﹣A1B1C1，側稜AA1垂直於底面ABC，AB=BC=AA1=4，D為BC的中點，
(1)若E為稜CC1的中點，求證：DE⊥A1C;
(2)若E為稜CC1上異於端點的任意一點，設CE與平面ADE所成角為α，求滿足 時,求CE的長.
20. (本小題滿分12分)
在互聯網時代，網校培訓已經成為青少年學習的一種趨勢，假設育才網校的套題每日的銷售 量 (單位：千套)與銷售價格 (單位：元/套)滿足的關係式 ( )，其中 與 成反比， 與 的平方成正比，已知銷售價格為5元/套時，每日可售出套題21千套，銷售價格為3.5元/套時，每日可售出套題69千套.
(1) 求 的表達式;
(2) 假設該網校的員工工資，辦公等所有開銷摺合為每套題3元(只考慮銷售出 的套數)，
試確定銷售價格 的值，使育才網校每日銷售套題所獲得的利潤最大.(保留1位小數)
21. (本小題滿分12分)
已知直線 與橢圓 相交於 、 兩點.
(1)若橢圓的離心率為 ，焦距為 ，求橢圓的方程;
(2)若向量 與向量 互相垂直(其中 為座標原點)，當橢圓的離心率 時，求橢圓長軸長的最大值.
22. (本小題滿分12分)
已知函數 R .
(1)當 時，求函數 的最小值;
(2)若 時, ,求實數 的取值範圍;
(3)求證：
2018屆北京東城區高三數學模擬試卷答案選擇題：本大題12小題，每小題5分，共60分.每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合 ， ，則 ( D )
A. B. C. D.
3.若複數 滿足 ( 為虛數單位)，則複數 的虛部為 (A )
A.1 B. C. D.
3. 指數函數 且 在 上是減函數，則函數 在R上的 單調性為 ( B)
A.單調遞增 B.單調遞減
C.在 上遞增，在 上遞減 D .在 上遞減，在 上遞增
4.已知命題p: ;命題q： ， 則下列命題中的真命題是 ( D )
A. B. C. D.
5.在下列區間中，函數 的零點所在的區間為(C )
A.( ，0) B.(0， ) C.( ， ) D.( ， )
6.設 ，則 (D )
A. B. C. D.
7.已知函數 的圖像關於 對稱，則函數 的圖像的一條對稱軸是( D )
A. B. C. D.
8. 函 數 的部分圖象大致為 ( D )
9.函數 的單調增區間與值域相同，則實數 的取值為 ( B )
A. B. C. D.
10.在整數集 中，被7除所得餘數為 的所有整數組成的一個“類”，記作 ，即
，其中 .給出如下五個結論：
① ;② ;③ ;
④ ;
⑤“整數 屬於同一“類””的充要條件是“ ”。
其中，正確結論的個數是 ( B )
A.5 B.4 C.3 D.2
11.已知 是定義在 上的偶函數，對於 ,都有 ,當 時， ，若 在[-1,5]上有五個根，則此五個根的和是 ( C )
A.7 B.8 C.10 D.12
12.奇函數 定義域是 ， ，當 >0時，總有 >2 成立，則不等式 >0的解集為 A
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷 (非選擇題 共90分)
填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上.
13.函數 在點 處切線的斜率為 .
14.由拋物線 ，直線 =0， =2及 軸圍成的圖形面積為 2 .
15. 點 是邊 上的一點， 則 的長為__7____.
16.已知函數 則關於 的不等式 的解集為 .
解答題：本大題包括6小題，共70分，解答應寫出文字説明，證明過程或演算步驟
17.(本小題滿分10分)
設 、 ， ， 。若"對於對一切實數 ， ”是“對於一切實數 ， ”的充分條件，求實數 的取值範圍。
解：如果對於一切實數 ， ，那麼 ……… …2分
解得 即 的取值範圍為 …………3分
如果對於一切實數 ， ，那麼有 。……5分
得 ，即 的'取值範圍為 。 …………6分
因為對於對一切實數 ， 是“對於一切實數 ， ”的充分條件，
所以 且 ， …………8分
則有 。即 的取值範圍是 。 …………10分
19.(本小題滿分12分)
函數 過點 ，且當 時，函數 取得最大值1.
(3) 將函數 的圖 象向右平移 個單位得到函數 ，求函數 的表達式;
(4) 在(1)的條件下，函數 ，如果對於 ，都有 ，求 的最小值.
解(I)由題意 …………1分
將點 代 入解得 ， …………2分
且
因為 所以 ，…………4分)
.…………5分 …………7分
(II) ，…………9分
週期 …………10分 所 以 的最小值為 …………12分
20.(本小題滿分12分)
已知三稜柱ABC﹣A1B1C1，側稜AA1垂直於底面ABC，AB=BC=AA1=4，D為BC的中點.
(1)若E為稜CC1的中點，求證：DE⊥A1C;
(3)若E為稜CC1上異於端點的任意一點，設CE與平面ADE所成角為α，求滿足 時CE的長.
解：(1)以B為原點，BC，BA，BB1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角座標系，……2分
∵AB=BC=AA1=4，D為BC的中點，E為稜CC1的中點，
∴D(2，0，0)，E(4，0，2)，A1(0，4，4)，C(4，0，0)，
=(2，0，2)， =(4，-4，-4)，
=0+8﹣8=0，
∴DE⊥A1C. ………5分
(2)設E(4，0，t)，0≤t≤4， =(0，0，t)，A(0，4，0)，
=(2，-4，0)， =(4，-4，t)，
設平面ADE的法向量 =(x，y，z)，
則,
，取x=2，得 =(2，1，﹣ )， ………8分
設CE與平面ADE所成角為α，滿足sinα= ，∴ = = ，
解得t=3或t=﹣3(舍)，∴CE=3 ………12分
23. (本小題滿分12分)
在互聯網時代，網校培訓已經成為青少年學習的一種趨勢，假設北京育才網校的套題每日的銷售量 (單位：千套)與銷售價格 (單位：元/套)滿足的關係式 ( )，其中 與 成反比， 與 的平方成正比，已知銷售價格為5元/套時，每日可售出套題21千套，銷售價格 為3.5元/套時，每日可售出套題69千套.
(1) 求 的表達式;
(2) 假設此網校的員工工資，辦公等所有開銷摺合為每套題3元(只考慮銷售出的套數)，試確定銷售價格 的值，使網校每日銷售套題所獲得的利潤最大.(保留1位小數)
解： (1) 因為 與 成反比， 與 的平方成正比，
所以可設： ， ，
則 則 …………………………2分
因 為銷售價格為5元/套時，每日可售出套題21千套 ，銷售價格為2.5元/套時，每日可售出套題69千套
所以， ，即 ，解得： ， ……4分
所以， …………………5分
(2) 由(1)可知，套題每日的銷售量 ，
設每日銷售套題所獲得的利潤 為
則
………………8分
從而
時， ，所以函數 在 上單調遞增
時， ，所以函數 在 上單調遞減…………10分
所以 時，函數 取得最大值
答：當銷售價格為 元/套時，網校每日銷售套題所獲得的利潤最大 .…12分
24. (本小題滿分12分)
已知直線 與橢圓 相交於 、 兩點.
(1)若橢圓的離心率為 ，焦距為 ，求橢圓的方程;
(2)若向量 與向量 互相垂直(其中 為座標原點)，當橢圓的離心率 時，求橢圓長軸長的最大值.
解：(1) ，即 ，又 ，∴ ，則 ，
∴橢圓的方程為 ……4分
(2)設 ， ，即 …5分
由 ，消去 得：
由 ，整理得： (*)
又 ，
由 ，得：
，整理得： ……9分
代入上式得： ， …10分
，
條件適合
由此得： ，故長軸長的最大值為 . ……12分
22.(本小題滿分12分)已知函數 R .
(1)當 時，求函數 的最小值;
(2)若 時, ,求實數 的取值範圍;
(3)求證： .
解:(1)當 時， ,則 . …………………1分
令 ，得 .
當 時, ; 當 時, . …………………………2分
∴函數 在區間 上單調遞減,在區間 上單調遞增.
∴當 時,函數 取得最小值,其值為 . ……………………3分
(2)解:若 時, ,即 .(*)
令 ,
則 .
① 若 ,由(Ⅰ)知 ,即 ,故 .
∴ .
…………………………………………4分
∴函數 在區間 上單調遞增.
∴ .
∴(*)式成立. …………………………………………5分
②若 ,令 ,
則 .
∴函數 在區間 上單調遞增.
由於 , .
…………………………………………6分
故 ,使得 . …………………………………………7
則當 時, ,即 .
∴函數 在區間 上單調遞減.
∴ ,即(*)式不恆成立. ………………………………………8分
綜上所述,實數 的取值範圍是 . ………………………………………9分
(3)證明:由(Ⅱ)知,當 時, 在 上單調遞增.
則 ,即 .…………………………………10分
∴ . …………………………………………11分
∴ ,即 . …………………………………………12分
