八年級下數學二元一次方程組知識點梳理及例題解析

1、直接開平方法：

直接開平方法就是用直接開平方求解二元一次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解為x=±根號下n+m.

例1.解方程(1)(3x+1)2=7(2)9x2-24x+16=11

分析：(1)此方程顯然用直接開平方法好做，(2)方程左邊是完全平方式(3x-4)2，右邊=11>0，所以此方程也可用直接開平方法解。

(1)解：(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丟解)

∴x=

∴原方程的解為x1=,x2=

(2)解：9x2-24x+16=11

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=±

∴x=

∴原方程的解為x1=,x2=

2.配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)

先將常數c移到方程右邊：ax2+bx=-c

將二次項係數化為1：x2+x=-

方程兩邊分別加上一次項係數的一半的平方：x2+x+()2=-+()2

方程左邊成為一個完全平方式：(x+)2=

當b^2-4ac≥0時，x+=±

∴x=(這就是求根公式)

例2.用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2是X的平方)

解：將常數項移到方程右邊3x^2-4x=2

將二次項係數化為1：x2-x=

方程兩邊都加上一次項係數一半的平方：x2-x+()2=+()2

配方：(x-)2=

直接開平方得：x-=±

∴x=

∴原方程的解為x1=,x2=.

3.公式法：把一元二次方程化成一般形式，然後計算判別式△=b2-4ac的值，當b2-4ac≥0時，把各項係數a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的.根。

例3.用公式法解方程2x2-8x=-5

解：將方程化為一般形式：2x2-8x+5=0

∴a=2,b=-8,c=5

b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0

∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)

∴原方程的解為x1=,x2=.

4.因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等於零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4.用因式分解法解下列方程：

(1)(x+3)(x-6)=-8(2)2x2+3x=0

(3)6x2+5x-50=0(選學)(4)x2-2(+)x+4=0(選學)

(1)解：(x+3)(x-6)=-8化簡整理得

x2-3x-10=0(方程左邊為二次三項式，右邊為零)

(x-5)(x+2)=0(方程左邊分解因式)

∴x-5=0或x+2=0(轉化成兩個一元一次方程)

∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

(2)解：2x2+3x=0

x(2x+3)=0(用提公因式法將方程左邊分解因式)

∴x=0或2x+3=0(轉化成兩個一元一次方程)

∴x1=0，x2=-是原方程的解。

注意：有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解，應記住一元二次方程有兩個解。

(3)解：6x2+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0(十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)

∴2x-5=0或3x+10=0

∴x1=,x2=-是原方程的解。

(4)解：x2-2(+)x+4=0(∵4可分解為2·2，∴此題可用因式分解法)

(x-2)(x-2)=0

∴x1=2,x2=2是原方程的解。

小結：

一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應用因式分解法時，一般要先將方程寫成一般形式，同時應使二次項係數化為正數。

直接開平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用於任何一元二次方程(有人稱之為萬能法)，在使用公式法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定係數，而且在用公式前應先計算判別式的值，以便判斷方程是否有解。

配方法是推導公式的工具，掌握公式法後就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法

解一元二次方程。但是，配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用，是國中要求掌握的三種重要的數學方法之一，一定要掌握好。(三種重要的數學方法：換元法，配方法，待定係數法)。