2017年四川省廣元市大學聯考數學模擬試卷及答案
近年來高等數學的基本思想、基本方法和基本問題為大學聯考試題的命制提供了新的背景和新的思路，通過多做大學聯考模擬試卷將對你有所幫助，以下是本站小編為你整理的2017年四川省廣元市大學聯考數學模擬試卷，希望能幫到你。
2017年四川省廣元市大學聯考數學模擬試卷題目
一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合A={x|x2﹣4x<0}，B={x|x
A.(0，4] B.(﹣∞，4) C.[4，+∞) D.(4，+∞)
2.“x<2”是“x2﹣3x+2<0”成立的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
3.歐拉公式eix=cosx+isinx (i為虛數單位)是瑞士數學家歐拉發明的，將指數的定義域擴大到複數集，建立了三角函數和指數函數的聯繫，被譽為“數學中的天橋”.根據歐拉公式可知，e 表示的複數的模為( )
A. B.1 C. D.
4.已知雙曲線 ﹣ =1(a>0，b>0)的一個焦點在直線x=6上，其中一條漸近線方程為y= x，則雙曲線的方程為( )
A. ﹣ =1 B. ﹣ =1
C. ﹣ =1 D. ﹣ =1
5.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是( )
A.100 B.82 C.96 D.112
6.若數列{an}是正項數列，且 + +…+ =n2+n，則a1+ +…+ 等於( )
A.2n2+2n B.n2+2n C.2n2+n D.2(n2+2n)
7.已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ為常數，A>0，ω>0，|φ|<π)的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是( )
A.函數f(x)的最小正週期為
B.直線x=﹣ 是函數f(x)圖象的一條對稱軸
C.函數f(x)在區間[﹣ ， ]上單調遞增
D.將函數f(x)的圖象向左平移 個單位，得到函數g(x)的圖象，則g(x)=2sin2x
8.中國古代數學著作《孫子算經》中有這樣一道算術題：“今有物不知其數，三三數之餘二，五五數之餘三，問物幾何?”人們把此類題目稱為“中國剩餘定理”，若正整數N除以正整數m後的餘數為n，則記為N=n(modm)，例如11=2(mod3).現將該問題以程序框圖的算法給出，執行該程序框圖，則輸出的n等於( )
A.21 B.22 C.23 D.24
9.對於四面體A﹣BCD，有以下命題：①若AB=AC=AD，則點A在底面BCD內的射影是△BCD的外心;②若AB⊥CD，AC⊥BD，則點A在底面BCD內的射影是△BCD的內心;③四面體A﹣BCD的四個面中最多有四個直角三角形;④若四面體A﹣BCD的6條稜長都為1，則它的內切球的表面積為 .其中正確的命題是( )
A.①③ B.③④ C.①②③ D.①③④
10.對於n個向量 ， ， ，…， ，若存在n個不全為0的示數k1，k2，k3，…，kn，使得：k1 +k2 +k3 +…+kn = 成立;則稱向量 ， ， ，…， 是線性相關的，按此規定，能使向量 =(1，0)， =(1，﹣1)， =(2，2)線性相關的實數k1，k2，k3，則k1+4k3的值為( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
11.已知定義在R上的偶函數f(x)，滿足f(x+4)=f(x)，且x∈[0，2]時，f(x)=sinπx+2|sinπx|，則方程f(x)﹣|lgx|=0在區間[0，10]上根的個數是( )
A.17 B.18 C.19 D.20
12.拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，其準線經過雙曲線 ﹣ =1(a>0，b>0)的左焦點，點M為這兩條曲線的一個交點，且|MF|=p，則雙曲線的離心率為( )
A. B.2 C. D. +1
二、填空題若等比數列{an}的各項均為正數，且a10a11+a9a12=2e5，則lna1+lna2+…+lna20= .
14.若實數x，y滿足不等式組 則z=3x﹣y的最小值為 .
15.在[﹣2，2]上隨機抽取兩個實數a，b，則事件“直線x+y=1與圓(x﹣a)2+(y﹣b)2=2相交”發生的概率為 .
16.設函數f(x)= ，對任意x1、x2∈(0，+∞)，不等式 恆成立，則正數k的取值範圍是 .
三、解答題(本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字説明、證明過程或演算步驟.)
17.(12分)2017年春節晚會與1月27日晚在CCTV進行直播.某廣告策劃公司為了瞭解本單位員工對春節晚會的關注情況，春節後對本單位部分員工進行了調查.其中有75%的員工看春節晚會直播時間不超過120分鐘，這一部分員工看春節晚會直播時間的莖葉圖如圖(單位：分鐘)，而其中觀看春節晚會直播時間超過120分鐘的員工中，女性員工佔 .若觀看春節晚會直播時間不低於60分鐘視為“喜愛春晚”，否則視為“不喜愛春晚”.
附：參考數據：
P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
參考公式：K2= ，n=a+b+c+d.
(Ⅰ)若從觀看春節晚會直播時間為120分鐘的員工中抽取2人，求2人中恰好有1名女性員工的概率;
(Ⅱ)試完成下面的2×2列聯表，並依此數據判斷是否有99.9%以上的把握認為“喜愛春晚”與性別相關?
喜愛春晚 不喜愛春晚 合計
男性員工
女性員工
合計
18.(12分)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知3(b2+c2)=3a2+2bc.
(Ⅰ)若 ，求tanC的大小;
(Ⅱ)若a=2，△ABC的面積 ，且b>c，求b，c.
19.(12分)如圖，四邊形ABCD是梯形.四邊形CDEF是矩形.且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=90°，AB∥CD，M是線段AE上的動點.
(Ⅰ)試確定點M的位置，使AC∥平面DMF，並説明理由;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下，且∠AED=45°，AE= ，AD= CD，連接AF，求三稜錐M﹣ADF的體積.
20.(12分)已知橢圓 + =1(a>b>0)的左、右兩個焦點F1，F2，離心率 ，短軸長為2.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)如圖，點A為橢圓上一動點(非長軸端點)，AF2的延長線與橢圓交於B點，AO的延長線與橢圓交於C點，求△ABC面積的最大值.
21.(12分)已知函數f(x)=lnx， .
(Ⅰ)若f(x)與g(x)在x=1處相切，試求g(x)的表達式;
(Ⅱ)若 在[1，+∞)上是減函數，求實數m的取值範圍;
(Ⅲ)證明不等式： .
請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.[選修4-4：座標系與參數方程]
22.(10分)在平面直角座標系xOy中，曲線C1： (α是參數).在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極座標系中，曲線C2：ρcosθ﹣3=0.點P是曲線C1上的動點.
(1)求點P到曲線C2的距離的最大值;
(2)若曲線C3：θ= 交曲線C1於A，B兩點，求△ABC1的面積.
[選修4-5：不等式選講]
23.已知函數f(x)=|x﹣a|，其中a>1
(1)當a=2時，求不等式f(x)≥4﹣|x﹣4|的解集;
(2)已知關於x的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值.
2017年四川省廣元市大學聯考數學模擬試卷答案
一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合A={x|x2﹣4x<0}，B={x|x
A.(0，4] B.(﹣∞，4) C.[4，+∞) D.(4，+∞)
【考點】18：集合的包含關係判斷及應用.
【分析】利用一元二次不等式可化簡集合A，再利用A⊆B即可得出.
【解答】解：對於集合A={x|x2﹣4x<0}，由x2﹣4x<0，解得0
又B={x|x
∵A⊆B，
∴a≥4.
∴實數a的取值範圍是a≥4.
故選C.
【點評】本題考查了一元二次不等式的解法、集合之間的關係，屬於基礎題.
2.“x<2”是“x2﹣3x+2<0”成立的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【考點】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.
【分析】根據充分必要條件的定義分別進行證明即可.
【解答】解：∵x2﹣3x+2<0⇔1
1
∴“x<2”是“x2﹣3x+2<0”成立的必要不充分條件，
故選B.
【點評】本題考查了充分必要條件，考查了不等式的解法，是一道基礎題.
3.歐拉公式eix=cosx+isinx (i為虛數單位)是瑞士數學家歐拉發明的，將指數的定義域擴大到複數集，建立了三角函數和指數函數的聯繫，被譽為“數學中的天橋”.根據歐拉公式可知，e 表示的複數的模為( )
A. B.1 C. D.
【考點】A8：複數求模.
【分析】直接由題意可得 =cos +isin ，再由複數模的計算公式得答案.
【解答】解：由題意， =cos +isin ，
∴e 表示的複數的模為 .
故選：B.
【點評】本題考查複數代數形式的乘除運算，考查了複數模的求法，是基礎題.
4.已知雙曲線 ﹣ =1(a>0，b>0)的一個焦點在直線x=6上，其中一條漸近線方程為y= x，則雙曲線的方程為( )
A. ﹣ =1 B. ﹣ =1
C. ﹣ =1 D. ﹣ =1
【考點】KB：雙曲線的標準方程.
【分析】根據題意得到c=6，結合漸近線方程得到b= a、c2=a2+b2列出方程組，求得a、b的值即可.
【解答】解：∵雙曲線 ﹣ =1(a>0，b>0)的一個焦點在直線x=6上，
∴c=6，即62=a2+b2①
又雙曲線 ﹣ =1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y= x，
∴b= a ②
由①②解得：a2=9，b2=27.
故選：C.
【點評】本題考查利用待定係數法求雙曲線的標準方程的方法，以及雙曲線的簡單性質得應用.
5.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是( )
A.100 B.82 C.96 D.112
【考點】L!：由三視圖求面積、體積.
【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個長方體切去一個三稜錐得到的組合體，分別計算長方體和稜錐的體積，相減可得答案.
【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個長方體切去一個三稜錐得到的組合體，
長方體的體積為：6×6×3=108，
稜錐的體積為： ×4×3×4=8，
故組合體的體積V=108﹣8=100，
故選：A.
【點評】本題考查的知識點是稜柱的體積和表面積，稜錐的體積和表面積，簡單幾何體的三視圖，難度中檔.
6.若數列{an}是正項數列，且 + +…+ =n2+n，則a1+ +…+ 等於( )
A.2n2+2n B.n2+2n C.2n2+n D.2(n2+2n)
【考點】8H：數列遞推式.
【分析】利用數列遞推關係可得an，再利用等差數列的求和公式即可得出.
【解答】解：∵ + +…+ =n2+n，∴n=1時， =2，解得a1=4.
n≥2時， + +…+ =(n﹣1)2+n﹣1，
相減可得： =2n，∴an=4n2.n=1時也成立.
∴ =4n.
則a1+ +…+ =4(1+2+…+n)=4× =2n2+2n.
故選：A.
【點評】本題考查了等差數列的通項公式與求和公式、數列遞推關係，考查了推理能力與計算能力，屬於中檔題.
7.已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ為常數，A>0，ω>0，|φ|<π)的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是( )
A.函數f(x)的最小正週期為
B.直線x=﹣ 是函數f(x)圖象的一條對稱軸
C.函數f(x)在區間[﹣ ， ]上單調遞增
D.將函數f(x)的圖象向左平移 個單位，得到函數g(x)的圖象，則g(x)=2sin2x
【考點】H2：正弦函數的圖象.
【分析】先求出函數的解析式，再進行判斷，即可得出結論.
【解答】解：根據函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ為常數，A>0，ω>0，|φ|<π)的部分圖象，
可得A=2，圖象的一條對稱軸方程為x= = ，一個對稱中心為為( ，0)，
∴ = = ，∴T= ，∴ω=2，
代入( ，2)可得2=2sin(2× +φ)，∵|φ|<π，∴φ=﹣ ，
∴f(x)=2sin(2x﹣ )，將函數f(x)的圖象向左平移 個單位，可得g(x)=2sin[2(x+ )﹣ ]=2sin2x，
故選：D.
【點評】本題考查三角函數的圖象與性質，考查學生的計算能力，確定函數的解析式是關鍵.
8.中國古代數學著作《孫子算經》中有這樣一道算術題：“今有物不知其數，三三數之餘二，五五數之餘三，問物幾何?”人們把此類題目稱為“中國剩餘定理”，若正整數N除以正整數m後的餘數為n，則記為N=n(modm)，例如11=2(mod3).現將該問題以程序框圖的算法給出，執行該程序框圖，則輸出的n等於( )
A.21 B.22 C.23 D.24
【考點】EF：程序框圖.
【分析】該程序框圖的作用是求被3和5除後的餘數為2的數，根據所給的選項，得出結論.
【解答】解：該程序框圖的作用是求被3除後的餘數為2，被5除後的餘數為3的數，
在所給的選項中，滿足被3除後的餘數為2，被5除後的餘數為3的數只有23，
故選：C.
【點評】本題主要考查程序框圖的應用，屬於基礎題.
9.對於四面體A﹣BCD，有以下命題：①若AB=AC=AD，則點A在底面BCD內的射影是△BCD的外心;②若AB⊥CD，AC⊥BD，則點A在底面BCD內的射影是△BCD的內心;③四面體A﹣BCD的四個面中最多有四個直角三角形;④若四面體A﹣BCD的6條稜長都為1，則它的內切球的表面積為 .其中正確的命題是( )
A.①③ B.③④ C.①②③ D.①③④
【考點】2K：命題的真假判斷與應用.
【分析】對於①，根據射影的定義即可判斷;
對於②，根據三垂線定理的逆定理可知，O是△BCD的垂心，
對於③在正方體中，找出滿足題意的四面體，即可得到直角三角形的個數，
對於④作出正四面體的圖形，球的球心位置，説明OE是內切球的半徑，利用直角三角形，逐步求出內切球的表面積.
【解答】解：對於①，設點A在平面BCD內的射影是O，因為AB=AC=AD，所以OB=OC=OD，
則點A在底面BCD內的射影是△BCD的外心，故①正確;
對於②設點A在平面BCD內的射影是O，則OB是AB在平面BCD內的射影，因為AB⊥CD，根據三垂線定理的逆定理可知：CD⊥OB 同理可證BD⊥OC，所以O是△BCD的垂心，故②不正確;
對於③：如圖：直接三角形的直角頂點已經標出，直角三角形的個數是4.故③正確
對於④，如圖O為正四面體ABCD的內切球的球心，正四面體的稜長為：1;
所以OE為內切球的半徑，BF=AF= ，BE= ，
所以AE= = ，
因為BO2﹣OE2=BE2，
所以( ﹣OE)2﹣OE2=( )2，
所以OE= ，
所以球的表面積為：4π•OE2= ，故④正確.
故選D.
【點評】本題考查命題的真假判斷與應用，綜合考查了線面、面面垂直的判斷與性質，考查了學生的空間想象能力，是中檔題.
10.對於n個向量 ， ， ，…， ，若存在n個不全為0的示數k1，k2，k3，…，kn，使得：k1 +k2 +k3 +…+kn = 成立;則稱向量 ， ， ，…， 是線性相關的，按此規定，能使向量 =(1，0)， =(1，﹣1)， =(2，2)線性相關的實數k1，k2，k3，則k1+4k3的值為( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
【考點】9F：向量的線性運算性質及幾何意義.
【分析】由線性相關的定義可得k1 +k2 +k3 = ，從而可得k1+k2+2k3=0，﹣k2+2k3=0，問題得以解決.
【解答】解：由於向量 =(1，0)， =(1，﹣1)， =(2，2)線性相關，
所以k1 +k2 +k3 = ，
即k1(1，0)+k2(1，﹣1)+k3(2，2)= ，
即(k1+k2+2k3，﹣k2+2k3)= ，
所以k1+k2+2k3=0，﹣k2+2k3=0，
所以k1+4k3=0，
故選：B.
【點評】本題考查平面向量的座標運算，屬基礎題.
11.已知定義在R上的偶函數f(x)，滿足f(x+4)=f(x)，且x∈[0，2]時，f(x)=sinπx+2|sinπx|，則方程f(x)﹣|lgx|=0在區間[0，10]上根的個數是( )
A.17 B.18 C.19 D.20
【考點】54：根的存在性及根的個數判斷.
【分析】由已知寫出分段函數，然後畫出圖象，數形結合得答案.
【解答】解：f(x)=sinπx+2|sinπx|= ，
由f(x+4)=f(x)，可知f(x)是以4為週期的周期函數，
方程f(x)﹣|lgx|=0即f(x)=|lgx|，方程的根即為兩函數y=f(x)與y=|lgx|圖象交點的橫座標，
作出函數圖象如圖：
由圖可知，方程f(x)﹣|lgx|=0在區間[0，10]上根的個數是19.
故選：C.
【點評】本題考查根的存在性與根的個數判斷，考查數學轉化思想方法與數形結合的解題思想方法，是中檔題.
12.拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，其準線經過雙曲線 ﹣ =1(a>0，b>0)的左焦點，點M為這兩條曲線的一個交點，且|MF|=p，則雙曲線的離心率為( )
A. B.2 C. D. +1
【考點】KC：雙曲線的簡單性質.
【分析】確定拋物線y2=2px(p>0)的焦點與準線方程，利用點M為這兩條曲線的一個交點，且|MF|=p，求出M的座標，代入雙曲線方程，即可求得結論.
【解答】解：拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F( ，0)，其準線方程為x=﹣ ，
∵準線經過雙曲線 ﹣ =1(a>0，b>0)的左焦點，
∴c= ;
∵點M為這兩條曲線的一個交點，且|MF|=p，
∴M的橫座標為 ，
代入拋物線方程，可得M的縱座標為±p，
將M的座標代入雙曲線方程，可得 =1，
∴a= p，
∴e=1+ .
故選：D.
【點評】本題考查拋物線的幾何性質，考查曲線的交點，考查雙曲線的幾何性質，確定M的座標是關鍵.
二、填空題(2017•廣元模擬)若等比數列{an}的各項均為正數，且a10a11+a9a12=2e5，則lna1+lna2+…+lna20= 50 .
【考點】8G：等比數列的性質.
【分析】直接由等比數列的性質結合已知得到a10a11=e5，然後利用對數的運算性質化簡後得答案.
【解答】解：∵數列{an}為等比數列，且a10a11+a9a12=2e5，
∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5，
∴a10a11=e5，
∴lna1+lna2+…lna20=ln(a1a2…a20)=ln(a10a11)10
=ln(e5)10=lne50=50.
故答案為：50.
【點評】本題考查了等比數列的運算性質，考查對數的運算性質，考查了計算能力，是基礎題.
14.若實數x，y滿足不等式組 則z=3x﹣y的最小值為 ﹣3 .
【考點】7C：簡單線性規劃.
【分析】作出不等式組對應的平面區域，利用z的幾何意義，結合數形結合即可得到結論.
【解答】解：作出不等式組對應的平面區域如圖：
由z=3x﹣y得y=3x﹣z，
平移直線y=3x﹣z由圖象可知當直線y=3x﹣z經過點C(0，3)時，直線y=3x﹣z的截距最大，
此時z最小.
此時z=0﹣3=﹣3，
故答案為：﹣3.
【點評】本題主要考查線性規劃的應用，利用z的幾何意義，利用數形結合是解決本題的關鍵.
15.在[﹣2，2]上隨機抽取兩個實數a，b，則事件“直線x+y=1與圓(x﹣a)2+(y﹣b)2=2相交”發生的概率為 .
【考點】CF：幾何概型.
【分析】根據直線和圓相交的條件求出a，b的關係，利用線性規劃求出對應區域的面積，結合幾何概型的概率公式進行計算即可.
【解答】解：根據題意，得 ，
又直線x+y=1與圓(x﹣a)2+(y﹣b)2=2相交，
d≤r，
即 ≤ ，
得|a+b﹣1|≤2，
所以﹣1≤a+b≤3;
畫出圖形，如圖所示;
則事件“直線x+y=1與圓(x﹣a)2+(y﹣b)2=2相交”發生的概率為
P= = = .
故答案為：
【點評】本題主要考查幾何概型的計算，根據直線和圓相交的位置關係求出a，b的關係是解決本題的關鍵.注意利用數形結合以及線性規劃的知識.
16.設函數f(x)= ，對任意x1、x2∈(0，+∞)，不等式 恆成立，則正數k的取值範圍是 k≥1 .
【考點】3R：函數恆成立問題.
【分析】當x>0時， = ，利用基本不等式可求f(x)的最小值，對函數g(x)求導，利用導數研究函數的單調性，進而可求g(x)的最大值，由 恆成立且k>0，則 ，可求
【解答】解：∵當x>0時， = =2e
∴x1∈(0，+∞)時，函數f(x1)有最小值2e
∵
∴ =
當x<1時，g′(x)>0，則函數g(x)在(0，1)上單調遞增
當x>1時，g′(x)<0，則函數在(1，+∞)上單調遞減
∴x=1時，函數g(x)有最大值g(1)=e
則有x1、x2∈(0，+∞)，f(x1)min=2e>g(x2)max=e
∵ 恆成立且k>0，
∴
∴k≥1
故答案為k≥1
【點評】本題主要考查了利用基本不等式求解函數的最值，導數在函數的單調性，最值求解中的應用是解答本題的另一重要方法，函數的恆成立問題的轉化，本題具有一定的難度
三、解答題(本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字説明、證明過程或演算步驟.)
17.(12分)(2017•廣元模擬)2017年春節晚會與1月27日晚在CCTV進行直播.某廣告策劃公司為了瞭解本單位員工對春節晚會的關注情況，春節後對本單位部分員工進行了調查.其中有75%的員工看春節晚會直播時間不超過120分鐘，這一部分員工看春節晚會直播時間的莖葉圖如圖(單位：分鐘)，而其中觀看春節晚會直播時間超過120分鐘的員工中，女性員工佔 .若觀看春節晚會直播時間不低於60分鐘視為“喜愛春晚”，否則視為“不喜愛春晚”.
附：參考數據：
P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
參考公式：K2= ，n=a+b+c+d.
(Ⅰ)若從觀看春節晚會直播時間為120分鐘的員工中抽取2人，求2人中恰好有1名女性員工的概率;
(Ⅱ)試完成下面的2×2列聯表，並依此數據判斷是否有99.9%以上的把握認為“喜愛春晚”與性別相關?
喜愛春晚 不喜愛春晚 合計
男性員工
女性員工
合計
【考點】BO：獨立性檢驗的應用;CB：古典概型及其概率計算公式.
【分析】(Ⅰ)120分鐘時男性有4人，女性有2人，即可求2人中恰好有1名女性員工的概率;
(Ⅱ)根據所給數據完成2×2列聯表，求出K2，與臨界值比較，得出有99.9%以上的把握認為“喜愛春晚”與性別相關
【解答】解：(Ⅰ)120分鐘時男性有4人，女性有2人.
∴設2人中恰好有1名女性為事件A
∴P(A)= = ;
(Ⅱ)2×2列聯表
喜愛春晚 不喜愛春晚 合計
男性員工 40 5 45
女性員工 16 14 30
合計 56 19 75
K2= ≈12.037>10.828，
∴有99.9%以上的把握認為“喜愛春晚”與性別相關.
【點評】本題考查概率的計算，考查獨立性檢驗知識的運用，考查學生的計算能力，屬於中檔題.
18.(12分)(2017•廣元模擬)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知3(b2+c2)=3a2+2bc.
(Ⅰ)若 ，求tanC的大小;
(Ⅱ)若a=2，△ABC的面積 ，且b>c，求b，c.
【考點】HS：餘弦定理的應用.
【分析】(Ⅰ)由3(b2+c2)=3a2+2bc，利用餘弦定理，可得cosA，根據 ，即可求tanC的大小;
(Ⅱ)利用面積及餘弦定理，可得b、c的兩個方程，即可求得結論.
【解答】解：(Ⅰ)∵3(b2+c2)=3a2+2bc，∴ =
∴cosA= ，∴sinA=
∵ ，∴
∴
∴
∴tanC= ;
(Ⅱ)∵ABC的面積 ，∴ ，∴bc= ①
∵a=2，∴由余弦定理可得4=b2+c2﹣2bc×
∴b2+c2=5②
∵b>c，∴聯立①②可得b= ，c= .
【點評】本題考查餘弦定理，考查三角形面積的計算，考查學生的計算能力，屬於中檔題.
19.(12分)(2017•廣元模擬)如圖，四邊形ABCD是梯形.四邊形CDEF是矩形.且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=90°，AB∥CD，M是線段AE上的動點.
(Ⅰ)試確定點M的位置，使AC∥平面DMF，並説明理由;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下，且∠AED=45°，AE= ，AD= CD，連接AF，求三稜錐M﹣ADF的體積.
【考點】LF：稜柱、稜錐、稜台的體積;LS：直線與平面平行的判定.
【分析】(1)當M是AE線段的中點時，連接CE，交DF於N，連接MN，推導出MN∥AC，由此能證明AC∥平面DMF.
(2)由VM﹣ADF=VF﹣MDA，能求出三稜錐M﹣ADF的體積.
【解答】解：(1)當M是AE線段的'中點時，AC∥平面DMF，證明如下：
連接CE，交DF於N，連接MN，
由於M、N分別是AE、CE的中點，所以MN∥AC，
由於MN⊂平面DMN，又AC⊄平面DMF，
所以AC∥平面DMF.
(2)∵∠AED=45°，AE= ，
∴AD=DE=1，DC=2，
VM﹣ADF=VF﹣MDA，S△MDA= ，h=CD=2，
∴三稜錐M﹣ADF的體積VM﹣ADF= = .
【點評】本題考查滿足線面平行的點的位置的確定與證明，考查三稜錐的體積的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，考查創新意識、應用意識，是中檔題.
20.(12分)(2017•廣元模擬)已知橢圓 + =1(a>b>0)的左、右兩個焦點F1，F2，離心率 ，短軸長為2.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)如圖，點A為橢圓上一動點(非長軸端點)，AF2的延長線與橢圓交於B點，AO的延長線與橢圓交於C點，求△ABC面積的最大值.
【考點】K4：橢圓的簡單性質;KH：直線與圓錐曲線的綜合問題.
【分析】(Ⅰ)由題意解得b，利用離心率以及a，b，c的關係求解a，b，即可得到橢圓的方程.
(Ⅱ)①當直線AB的斜率不存在時，求解三角形的面積;②當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=k(x﹣1)，聯立方程組 ，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用韋達定理弦長公式求出|AB|，通過點O到直線kx﹣y﹣k=0的距離求出d，表示出三角形的面積.利用基本不等式求解最值.
【解答】(本小題滿分12分)
解：(Ⅰ)由題意得2b=2，解得b=1，…(1分)
∵ ，a2=b2+c2，∴ ，c=1，
故橢圓的標準方程為 .…(3分)
(Ⅱ)①當直線AB的斜率不存在時，不妨取 ， ，C(﹣1， )，
故 ：…(4分)
②當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=k(x﹣1)，
聯立方程組 ，
化簡得(2k2+1)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，…
設A(x1，y1)，B(x2，y2)， ， ，…(6分) = = ，…(8分)
點O到直線kx﹣y﹣k=0的距離 =
因為O是線段AC的中點，所以點C到直線AB的距離為2d= ，…(9分)∴
=2 …(11分)
綜上，△ABC面積的最大值為 …(12分)
【點評】本題考查橢圓的簡單性質的應用，考查直線與橢圓的位置關係的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力.
21.(12分)(2017•廣元模擬)已知函數f(x)=lnx， .
(Ⅰ)若f(x)與g(x)在x=1處相切，試求g(x)的表達式;
(Ⅱ)若 在[1，+∞)上是減函數，求實數m的取值範圍;
(Ⅲ)證明不等式： .
【考點】6E：利用導數求閉區間上函數的最值;6H：利用導數研究曲線上某點切線方程.
【分析】(Ⅰ)求出函數的導數，根據f′(1)= a，求出a的值，根據g(1)=0，求出b的值，從而求出g(x)的解析式即可;
(Ⅱ)求出φ(x)的導數，問題轉化為x2﹣(2m﹣2)x+1≥0在[1，+∞)上恆成立，求出m的範圍即可;
(Ⅲ)根據 得到： ，對x取值，累加即可.
【解答】解：(Ⅰ)由於f(x)與g(x)在x=1處相切
且 ∴ 得：a=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分)
又∵ ∴b=﹣1∴g(x)=x﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3分)
(Ⅱ) = 在[1，+∞)上是減函數，
∴ 在[1，+∞)上恆成立.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
即x2﹣(2m﹣2)x+1≥0在[1，+∞)上恆成立，由 ，x∈[1，+∞)
又∵ ∴2m﹣2≤2得m≤2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)可得：當m=2時：
ϕ(x)= 在[1，+∞)上是減函數，
∴當x>1時：ϕ(x)<ϕ(1)=0即 <0
所以 從而得到： ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)
當x=2時：
當x=3時：
當x=4時： ⋮⋮
當x=n+1時： ，n∈N+，n≥2
上述不等式相加得：
= =
即 .(n∈N+，n≥2)
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)
【點評】本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及不等式的證明，是一道綜合題.
請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.[選修4-4：座標系與參數方程]
22.(10分)(2017•廣元模擬)在平面直角座標系xOy中，曲線C1： (α是參數).在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極座標系中，曲線C2：ρcosθ﹣3=0.點P是曲線C1上的動點.
(1)求點P到曲線C2的距離的最大值;
(2)若曲線C3：θ= 交曲線C1於A，B兩點，求△ABC1的面積.
【考點】Q4：簡單曲線的極座標方程.
【分析】(1)求得C1的標準方程，及曲線C2的標準方程，則圓心C1到x=3距離d，點P到曲線C2的距離的最大值dmax=R+d=6;
(2)將直線l的方程代入C1的方程，求得A和B點座標，求得丨AB丨，利用點到直線的距離公式，求得C1到AB的距離d，即可求得△ABC1的面積.
【解答】解(1)曲線C1： (α是參數).整理得：(x+2)2+(y+1)2=1
曲線C2：ρcosθ﹣3=0，則x=3.
則圓心C1到x=3距離d，d=2+3=5，
點P到曲線C2的距離的最大值dmax=R+d=6;
∴點P到曲線C2的距離的最大值6;
(2)若曲線C3：θ= ，即y=x，
，解得： ， ，
丨AB丨= =
∴C1到AB的距離d= = ，
則△ABC1的面積S，S= × × = .
∴△ABC1的面積 .
【點評】本題考查參數方程與普通方程的轉化，直線與的圓的位置關係，考查點到直線的距離公式，屬於中檔題.
[選修4-5：不等式選講]
23.(2013•遼寧)已知函數f(x)=|x﹣a|，其中a>1
(1)當a=2時，求不等式f(x)≥4﹣|x﹣4|的解集;
(2)已知關於x的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值.
【考點】&2：帶絕對值的函數;R5：絕對值不等式的解法.
【分析】(1)當a=2時，f(x)≥4﹣|x﹣4|可化為|x﹣2|+|x﹣4|≥4，直接求出不等式|x﹣2|+|x﹣4|≥4的解集即可.
(2)設h(x)=f(2x+a)﹣2f(x)，則h(x)= .由|h(x)|≤2解得 ，它與1≤x≤2等價，然後求出a的值.
【解答】解：(1)當a=2時，f(x)≥4﹣|x﹣4|可化為|x﹣2|+|x﹣4|≥4，
當x≤2時，得﹣2x+6≥4，解得x≤1;
當2
當x≥4時，得2x﹣6≥4，解得x≥5;
故不等式的解集為{x|x≥5或x≤1}.
(2)設h(x)=f(2x+a)﹣2f(x)，則h(x)=
由|h(x)|≤2得 ，
又已知關於x的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2的解集{x|1≤x≤2}，
所以 ，
故a=3.
