國小奧數知識點分析
構造論證與最值:
一、整體比重構造論證、極值問題在華盃賽中還是佔有相當的比重。從十四、十五屆決賽試卷來看,整體比重在16.7%。如第十屆的第3和12題,十五屆的9和11題,考的都是這種類型的試題。
二、知識點分佈以及難度分佈構造論證、極值問題等問題考察知識點比較分散,從最近四年的試題來看,考察過的知識點主要有:
1、等差數列估算和極值問題;
2、操作問題-----劃數、最大值最小值;
3、邏輯推理-----足球賽、數獨;
4、構造問題------相間染色。
考察難度:所考知識點以中等試題為主,含個別難題,試題以3、4為主。學生基本上能下手,但是真正要得滿分,還是需要加強各方面的訓練!
最近四屆試題分析:
[15屆決賽]右圖中有5個由4個1×1的正方格組成的不同形狀的硬紙板。問能用這5個硬紙板拼成右圖中4×5的長方形嗎?如果能,請畫出一種拼法;如果不能,請簡述理由。
答案:不能
知識點:染色分析+奇偶性分析
分析:將長方形黑白染色,將5個圖形也進行黑白染色,如下圖
除④號蓋住3個黑的或者1個黑的,其它均蓋住一黑一白,所以5個紙板只能蓋住11個黑的或者9個黑的。矛盾!
總結:此類題目難度不大,基本方法也是常規的黑白相間染色。但是對解題的步驟有很高的要求!
[15屆決賽]足球隊A,B,C,D,E進行單循環賽(每兩隊賽一場),每場比賽勝隊得3分,負隊得0分,平局兩隊各得1分,若A,B,C,D隊總分分別是1,4,7,8,請問:E隊至多得幾分?至少得幾分?
答案:7、5
知識點:邏輯推理---足球賽
分析:假設ABCDE5支隊伍總分為abcde,則五隊總分為a+b+c+d+e=20+e。易知單循環賽共10場,總得分不會超過30分。只要有一場比賽踢平,則總得分減少1分。A隊一定是3負1平;B隊有可能是4平或者1勝1平2負;C隊一定是2勝1平1負;D隊一定是2勝2平。所以比賽至少有3場平局,至多有5場平局。最後總得分最多27分,最少25分。對應的E隊伍最多7分,最少5分。
總結:對這類題,考的是足球賽中的一些常識。需要我們學生對基本的結論很清楚。如總的場次、總分和平局數量的關係等等。
[14屆決賽]將七位數“2468135”重複寫287次組成一個2009位數“24681352468135…”。刪去這個數中所有位於奇數位(從左往右數)上的數字後組成一個新數;再刪去新數中所有位於奇數位上的.數字;按照上述方法一直刪除下去知道剩下一個數字為止,則最後剩下的數字是______。
答案:2
知識點:操作---劃數
分析:通過找規律可以發現,第一次留下的數是編號為2的倍數的數,第二次留下的數是編號為4的倍數的數,依次類推,到最後留下的數應該是最接近2009的,而且能寫成2n形式的數,應為第1024個,7個數為一個週期,1024÷7=146…2。對應週期的第二個數為2。.
總結:題目本身看着很難,但是通過找規律可以快速的找到方法。有的時候碰到很複雜的試題的時候,不妨通過找規律的方法哦。
[14屆決賽]在50個連續的奇數1,3,5,…,99中選取k個數,使得它們的和為1949,那麼k的最大值是多少?
答案:43
知識點:極值問題---等差數列
分析:要使得個數儘量多,選的數儘量小即可。考慮前n個奇數的和1+3+5+…+(2n-1)=n2.
452=2025,442=1936。所以選的個數不能超過44個。但44個奇數的和必為偶數,矛盾!這樣一來,最多隻能取43個,而事實上是可以是實現的。只需要從1,3,5,,89刪去兩個奇數即可!滿足它們的和為89即可!
總結:此題難度較大,需要學生具備估算能力、奇偶分析能力。
[13屆決賽]黑板上寫着1至2008共2008個自然數,小明每次擦去兩個奇偶性相同的數,再寫上它們的平均數,最後黑板上只剩下一個自然數,這個數可能的最大值和最小值的差是______。
答案:2005
知識點:極值問題---操作類
分析:先求剩下的最大值,那麼擦去的數應該儘量小,
首先擦去1,3,寫上2,
擦去2,2,寫生2,擦去2,4,寫上3,
……
擦去2006,2008,寫上2007;
同理可知剩下的數最小為2。
所以最大值和最小值的差為2005。
總結:此題需要學生自己去構造操作的方法。
[12屆決賽]下圖是一個9×9的方格圖,由粗線隔為9個橫豎各有3個格子的“小九宮”格,其中,有一些方格填有1至9的數字。小青在第4列的空格中各填入了一個1至9中的自然數,使每行、每列和每個“小九宮”格內的數字都不重複,然後小青將第4列的數字從上向下寫成一個9位數。請寫出這個9位數,並且簡單説明理由。
答案:327468951.
知識點:邏輯推理---數獨
分析:用(a,b)表示第a行第b列的方格,第4列已有數字1、2、3、4、5,第6行已有數字6、7、9,所以方格(6,4)=8;第3行和第5行都有數字9,所以(7,4)=9;正中的“小九宮”中已有數字7,所以只能是(3,4)=7;此時,第4列中只餘(5,4),這一列只有數字6未填,所以(5,4)=6。所以,第4列的數字從上向下寫成的9位數是:327468951。
總結:這種題型考察的是生活中常見的數獨,只要我們的學生接觸過這類題,整體難度不會很大。對數獨,只要多接觸,方法自然而然的就會成型。