高三數學解析幾何的訓練試題

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)

1．已知圓x2＋y2＋Dx＋Ey＝0的圓心在直線x＋y＝1上，則D與E的關係是()

A．D＋E＝2B．D＋E＝1

C．D＋E＝－1D．D＋E＝－2[來

解析D依題意得，圓心－D2，－E2在直線x＋y＝1上，因此有－D2－E2＝1，即D＋E＝－2.

2．以線段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)為直徑的圓的方程為()

A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2

C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8D．(x－1)2＋(y－1)2＝8

解析B直徑的兩端點為(0,2)，(2,0)，∴圓心為(1,1)，半徑為2，圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.

3．已知F1、F2是橢圓x24＋y2＝1的兩個焦點，P為橢圓上一動點，則使|PF1||PF2|取最大值的點P為()

A．(－2,0)B．(0,1)C．(2,0)D．(0,1)和(0，－1)

解析D由橢圓定義，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴|PF1||PF2|≤|PF1|＋|PF2|22＝4，

當且僅當|PF1|＝|PF2|，即P(0，－1)或(0,1)時，取“＝”．

4．已知橢圓x216＋y225＝1的焦點分別是F1、F2，P是橢圓上一點，若連接F1、F2、P三點恰好能構成直角三角形，則點P到y軸的距離是()

A.165B．3C.163D.253

解析A橢圓x216＋y225＝1的焦點分別為F1(0，－3)、F2(0,3)，易得∠F1PF2<π2，∴∠PF1F2＝π2或∠PF2F1＝π2，點P到y軸的距離d＝|xp|，又|yp|＝3，x2p16＋y2p25＝1，解得|xP|＝165，故選A.

5．若曲線y＝x2的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為()

A．4x＋y＋4＝0B．x－4y－4＝0

C．4x－y－12＝0D．4x－y－4＝0

解析D設切點為(x0，y0)，則y′|x＝x0＝2x0，∴2x0＝4，即x0＝2，

∴切點為(2,4)，方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.

6．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓”的()

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

解析C方程可化為x21m＋y21n＝1，若焦點在y軸上，則1n>1m>0，即m>n>0.

7．設雙曲線x2a2－y2b2＝1的一條漸近線與拋物線y＝x2＋1只有一個公共點，則雙曲線的離心率為()

A.54B．5C.52D.5

解析D雙曲線的漸近線為y＝±bax，由對稱性，只要與一條漸近線有一個公共點

即可由y＝x2＋1，y＝bax，得x2－bax＋1＝0.

∴Δ＝b2a2－4＝0，即b2＝4a2，∴e＝5.

8．P為橢圓x24＋y23＝1上一點，F1、F2為該橢圓的兩個焦點，若∠F1PF2＝60°，則PF1→PF2→＝()

A．3B.3

C．23D．2

解析D∵S△PF1F2＝b2tan60°2＝3×tan30°＝3＝12|PF1→||PF2→|sin60°，∴|PF1→||PF2→|＝4，∴PF1→PF2→＝4×12＝2.

9．設橢圓x2m2＋y2n2＝1(m>0，n>0)的右焦點與拋物線y2＝8x的焦點相同，離心率為12，則此橢圓的方程為()

A.x212＋y216＝1B.x216＋y212＝1

C.x248＋y264＝1D.x264＋y248＝1

解析B拋物線的焦點為(2,0)，∴由題意得c＝2，cm＝12，

∴m＝4，n2＝12，∴方程為x216＋y212＝1.

10．設直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交於A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為()

A.2B.3

C．2D．3

解析B設雙曲線C的方程為x2a2－y2b2＝1，焦點F(－c，0)，將x＝－c代入x2a2－y2b2＝

1可得y2＝b4a2，∴|AB|＝2×b2a＝2×2a，∴b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，∴e＝ca＝3.

11．已知拋物線y2＝4x的準線過雙曲線x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左頂點，且此雙曲線的一條漸近線方程為y＝2x，則雙曲線的焦距為()

A.5B．25

C.3D．23

解析B∵拋物線y2＝4x的準線x＝－1過雙曲線x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左頂點，∴a＝1，∴雙曲線的漸近線方程為y＝±bax＝±bx.∵雙曲線的一條漸近線方程為y＝2x，∴b＝2，∴c＝a2＋b2＝5，∴雙曲線的焦距為25.

12．已知拋物線y2＝2px(p>0)上一點M(1，m)(m>0)到其焦點的距離為5，雙曲線x2a－y2＝1的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實數a的值為()

A.19B.14

C.13D.12

解析A由於M(1，m)在拋物線上，∴m2＝2p，而M到拋物線的焦點的距離為5，根據拋物線的定義知點M到拋物線的準線x＝－p2的距離也為5，∴1＋p2＝5，∴p＝8，由此可以求得m＝4，雙曲線的左頂點為A(－a，0)，∴kAM＝41＋a，而雙曲線的漸近線方程為y＝±xa，根據題意得，41＋a＝1a，∴a＝19.

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)

13．已知直線l1：ax－y＋2a＋1＝0和l2：2x－(a－1)y＋2＝0(a∈R)，則l1⊥l2的充要條件是a＝________.

解析l1⊥l2a2a－1＝－1，解得a＝13.

【答案】13

14．直線l：y＝k(x＋3)與圓O：x2＋y2＝4交於A，B兩點，|AB|＝22，則實數k＝________.

解析∵|AB|＝22，圓O半徑為2，∴O到l的距離d＝22－2＝2.即|3k|k2＋1＝2，解得k＝±147.

【答案】±147

15．過原點O作圓x2＋y2－6x－8y＋20＝0的兩條切線，設切點分別為P、Q，則線段PQ的長為________．

解析如圖，圓的方程可化為

(x－3)2＋(y－4)2＝5，

∴|OM|＝5，|OQ|＝25－5＝25.

在△OQM中，

12|QA||OM|＝12|OQ||QM|，

∴|AQ|＝25×55＝2，∴|PQ|＝4.

【答案】4

16．在△ABC中，|BC→|＝4，△ABC的內切圓切BC於D點，且|BD→|－|CD→|＝22，則頂點A的軌跡方程為________．

解析以BC的中點為原點，中垂線為y軸建立如圖所示的座標系，E、F分別為兩個切點．

則|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，

|AE|＝|AF|.∴|AB|－|AC|＝22，

∴點A的.軌跡為以B，C為焦點的雙曲線的右支(y≠0)，且a＝2，c＝2，∴b＝2，∴方程為x22－y22＝1(x>2)．

【答案】x22－y22＝1(x>2)

三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字説明、證明過程或演算步驟)

17．(10分)在平面直角座標系中，已知圓心在直線y＝x＋4上，半徑為22的圓C經過原點O.

(1)求圓C的方程；

(2)求經過點(0,2)且被圓C所截得弦長為4的直線方程．

解析(1)設圓心為(a，b)，

則b＝a＋4，a2＋b2＝22，解得a＝－2，b＝2，

故圓的方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝8.

(2)當斜率不存在時，x＝0，與圓的兩個交點為(0,4)，(0,0)，則弦長為4，符合題意；

當斜率存在時，設直線為y－2＝kx，

則由題意得，8＝4＋－2k1＋k22，無解．

綜上，直線方程為x＝0.

18．(12分)(2011合肥一模)橢圓的兩個焦點座標分別為F1(－3，0)和F2(3，0)，且橢圓過點1，－32.

(1)求橢圓方程；

(2)過點－65，0作不與y軸垂直的直線l交該橢圓於M，N兩點，A為橢圓的左頂點．試判斷∠MAN的大小是否為定值，並説明理由．

解析(1)設橢圓方程為x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，

由c＝3，橢圓過點1，－32可得a2－b2＝3，1a2＋34b2＝1，

解得a2＝4，b2＝1，所以可得橢圓方程為x24＋y2＝1.

(2)由題意可設直線MN的方程為：x＝ky－65，

聯立直線MN和橢圓的方程：x＝ky－65，x24＋y2＝1，化簡得(k2＋4)y2－125ky－6425＝0.

設M(x1，y1)，N(x2，y2)，

則y1y2＝－6425k2＋4，y1＋y2＝12k5k2＋4，

又A(－2,0)，則AM→AN→＝(x1＋2，y1)(x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋45k(y1＋y2)＋1625＝0，所以∠MAN＝π2.

19．(12分)已知橢圓C的中心為直角座標系xOy的原點，焦點在x軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別為7和1.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直於x軸的直線上的點，|OP||OM|＝e(e為橢圓離心率)，求點M的軌跡方程，並説明軌跡是什麼曲線．

解析(1)設橢圓長半軸長及半焦距分別為a，c，

由已知，得a－c＝1，a＋c＝7，解得a＝4，c＝3.

∴橢圓方程為x216＋y27＝1.

(2)設M(x，y)，P(x，y1)，其中x∈[－4,4]，

由已知得x2＋y21x2＋y2＝e2，而e＝34，

故16(x2＋y21)＝9(x2＋y2)，①

由點P在橢圓C上，得y21＝112－7x216，

代入①式並化簡，得9y2＝112.

∴點M的軌跡方程為y＝±473(－4≤x≤4)，

∴軌跡是兩條平行於x軸的線段．

20．(12分)給定拋物線y2＝2x，設A(a,0)，a>0，P是拋物線上的一點，且|PA|＝d，試求d的最小值．

解析設P(x0，y0)(x0≥0)，則y20＝2x0，

∴d＝|PA|＝x0－a2＋y20＝x0－a2＋2x0＝[x0＋1－a]2＋2a－1.

∵a>0，x0≥0，

∴(1)當0<a<1時，1－a>0，

此時有x0＝0時，dmin＝1－a2＋2a－1＝a；

(2)當a≥1時，1－a≤0，

此時有x0＝a－1時，dmin＝2a－1.

21．(12分)已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F2在座標軸上，離心率為2，且過點(4，－10)，點M(3，m)在雙曲線上．

(1)求雙曲線方程；

(2)求證：點M在以F1F2為直徑的圓上；

(3)求△F1MF2的面積．

解析(1)∵雙曲線離心率e＝2，

∴設所求雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，

則由點(4，－10)在雙曲線上，

知λ＝42－(－10)2＝6，

∴雙曲線方程為x2－y2＝6.

(2)若點M(3，m)在雙曲線上，則32－m2＝6，∴m2＝3，由雙曲線x2－y2＝6知F1(23，0)，F2(－23，0)，

∴MF1→MF2→＝(23－3，－m)(－23－3，－m)＝m2－3＝0，

∴MF1→⊥MF2→，故點M在以F1F2為直徑的圓上．

(3)S△F1MF2＝12|F1F2||m|＝23×3＝6.

22．(12分)已知實數m>1，定點A(－m,0)，B(m,0)，S為一動點，點S與A，B兩點連線斜率之積為－1m2.

(1)求動點S的軌跡C的方程，並指出它是哪一種曲線；

(2)當m＝2時，問t取何值時，直線l：2x－y＋t＝0(t>0)與曲線C有且只有一個交點？

(3)在(2)的條件下，證明：直線l上橫座標小於2的點P到點(1,0)的距離與到直線x＝2的距離之比的最小值等於曲線C的離心率．

解析(1)設S(x，y)，則kSA＝y－0x＋m，kSB＝y－0x－m.

由題意，得y2x2－m2＝－1m2，即x2m2＋y2＝1(x≠±m)．

∵m>1，

∴軌跡C是中心在座標原點，焦點在x軸上的橢圓(除去x軸上的兩頂點)，其中長軸長為2m，短軸長為2.

(2)當m＝2時，曲線C的方程為x22＋y2＝1(x≠±2)．

由2x－y＋t＝0，x22＋y2＝1，消去y，得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.

令Δ＝64t2－36×2(t2－1)＝0，得t＝±3.

∵t>0，∴t＝3.

此時直線l與曲線C有且只有一個公共點．

(3)由(2)知直線l的方程為2x－y＋3＝0，

設點P(a,2a＋3)(a<2)，d1表示P到點(1,0)的距離，d2表示P到直線x＝2的距離，則

d1＝a－12＋2a＋32＝5a2＋10a＋10，

d2＝2－a，

∴d1d2＝5a2＋10a＋102－a＝5×a2＋2a＋2a－22.

令f(a)＝a2＋2a＋2a－22，

則f′(a)＝2a＋2a－22－2a2＋2a＋2a－2a－24

＝－6a＋8a－23.

令f′(a)＝0，得a＝－43.

∵當a<－43時，f′(a)<0；

當－43<a<2時，f′(a)>0.

∴f(a)在a＝－43時取得最小值，即d1d2取得最小值，

∴d1d2min＝5f－43＝22，

又橢圓的離心率為22，

∴d1d2的最小值等於橢圓的離心率．