高三數學解析幾何練習及答案解析

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)

1．已知圓x2＋y2＋Dx＋Ey＝0的圓心在直線x＋y＝1上，則D與E的關係是()

A．D＋E＝2 B．D＋E＝1

C．D＋E＝－1 D．D＋E＝－2[來X k b 1 . c o m

解析 D 依題意得，圓心－D2，－E2在直線x＋y＝1上，因此有－D2－E2＝1，即D＋E＝－2.

2．以線段AB：x＋y－2＝0(02)為直徑的圓的方程為()

A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2

C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－1)2＋(y－1)2＝8

解析 B 直徑的兩端點為(0,2)，(2,0)，圓心為(1,1)，半徑為2，圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.

3．已知F1、F2是橢圓x24＋y2＝1的兩個焦點，P為橢圓上一動點，則使|PF1||PF2|取最大值的點P為()

A．(－2,0) B．(0,1) C．(2,0) D．(0,1)和(0，－1)

解析 D 由橢圓定義，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，|PF1||PF2||PF1|＋|PF2|22＝4，

當且僅當|PF1|＝|PF2|，即P(0，－1)或(0,1)時，取“＝”．

4．已知橢圓x216 ＋y225＝1的焦點分別是F1、F2，P是橢圓上一點，若連接F1、F2、P三點恰好能構成直角三角形，則點P到y軸的距離是()

A.165 B．3 C.163 D.253

解析 A 橢圓x216＋y225＝1的焦點分別為F1(0，－3)、F2(0,3)，易得F1PF22，PF1F2＝2或PF2F1＝2，點P到y軸的距離d＝ |xp|，又|yp|＝3，x2p16＋y2p25＝1，解得|xP|＝165，故選A.

5．若曲線y＝x2的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為()

A．4x＋y＋4＝0 B．x－4y－4＝0

C．4x－y－12＝0 D．4x－y－4＝0

解析 D 設切點為(x0，y0)，則y|x＝x0＝2x0， 2x0＝4，即x0＝2，

切點為(2,4)，方程為y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0.

6．“m0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓”的()

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

解析 C 方程可化為x21m＋y21n＝1，若焦點在y軸上，則1n0，即m0.

7．設雙曲線x2a2－y2b2＝1的一條漸近線與拋物線y＝x2＋1只有一個公共點，則雙曲線的離心率為()

A.54 B．5 C.52 D.5

解析 D 雙曲線的漸近線為y＝bax，由對稱性，只要與一條漸近線有一個公共點

即可由y＝x2＋1，y＝bax，得x2－bax＋1＝0.

＝b2a2－4＝0，即b2＝4a2，e＝5.

8．P為橢圓x24＋y23＝1上一點，F1、F2為該橢圓的兩個焦點，若F1PF2＝60，則PF1PF2＝()

A．3 B.3

C．23 D．2

解析 D ∵S△PF1F2＝b2tan602＝3tan 30＝3＝12|PF1||PF2|sin 60，|PF1||PF2|＝4，PF1PF2＝412＝2.

9．設橢圓x2m2＋y2n2＝1(m0，n0)的右焦點與拋物線y2＝8x的焦點相同，離心率為12，則此橢圓的方程為()

A.x212＋y216＝1 B.x216＋y212＝1

C.x248＋y264＝1 D.x264＋y248＝1

解析 B 拋物線的焦點為(2,0)，由題意得c＝2，cm＝12，

m＝4，n2＝12，方程為x216＋y212＝1.

10．設直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的 一條對稱軸垂直，l與C交於A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為()

A.2 B.3

C．2 D．3

解析 B 設雙曲線C的方程為x2a2－y2b2＝1，焦點F(－c，0)，將x＝－c代入x2a2－y2b2＝

1可得y2＝b4a2，|AB|＝2b2a＝22a，b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，e＝ca＝3.

11．已知拋物線y2＝4x的準線過雙曲線x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左頂點，且此雙曲線的一條漸近線方程為y＝2x，則雙曲線的焦距為()

A.5 B．25

C.3 D．23

解析 B ∵拋物線y2＝4x的準線x＝－1過雙曲線x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左頂點，a＝1，雙曲線的漸近線方程為y＝bax＝bx.∵雙 曲線的一條漸近線方程為y＝2x，b＝2，c＝a2＋b2＝5，雙曲線的焦距為25.

12．已知拋物線y2＝2px(p0)上一點M(1，m)(m0)到其焦點的距離為5，雙曲線x2a－y2＝1的`左頂點為 A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實數a的值為()

A.19 B.14

C.13 D.12

解析 A 由於M(1，m)在拋物線上，m2＝2p，而M到拋物線的焦點的距離為5，根據拋物線的定義知點M到拋物線的準線x＝－p2的距離也為5，1＋p2＝5，p＝8，由此可以求得m＝4，雙曲線的左頂點為A(－a，0)，kAM＝41＋a，而雙曲線的漸近線方程為y＝xa，根據題意得，41＋a＝1a，a＝19.

　　二、填空題(本大題共4小題，每小題5分， 共20分．把答案填在題中橫線上)

13．已知直線l1：ax－y＋2a＋1＝0和l2：2x－(a－1)y＋2＝0(aR)，則l1l2的充要條件是a＝________.

解析 l1l2a2a－1＝－1，解得a＝13.

【答案】 13

14．直線l：y＝k(x＋3)與圓O：x2＋y2＝4交於A，B兩點，|AB|＝22，則實數k＝________.

解析 ∵|AB|＝22，圓O半徑為2，O到l的距離d＝22－2＝2.即|3k|k2＋1＝2，解得k＝ 147.

【答案】 147

15．過原點O作圓x2＋y2－6x－8y＋20＝0的兩條切線，設切點分別為P、Q，則線段PQ的長為________．

解析 如圖，圓的方程可化為

(x－3)2＋(y－4)2＝5，

|OM|＝5，|OQ|＝25－5＝25.

在△OQM中，

12|QA||OM|＝12|OQ||QM|，

|AQ|＝2555＝2，|PQ|＝4.

【答案】 4

16．在△ABC中，|BC|＝4，△ABC的內切圓切BC於D點，且|BD|－|CD|＝22，則頂點A的軌跡方程為________．

解析 以BC的中點為原點，中垂線為y軸建立如圖所示的座標系，E、F分別為兩個切點．

則|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，

|AE|＝|AF|.|AB|－|AC|＝22，

點A的軌跡為以B，C為焦點的雙曲線的右支(y0)，且a＝2，c＝2，b＝2，方程為x22－y22＝1(x2)．

【答案】 x22－y22＝1(x2)

　三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字説明、證明過程或演算步驟)

17．(10分)在平面直角座標系中，已知圓心在直線y＝x＋4上，半徑為22的圓C經過原點O.

(1)求圓C的方程；

(2)求經過點(0,2)且被圓C所截得弦長為4的直線方程．

解析 (1)設圓心為(a，b)，

則b＝a＋4，a2＋b2＝22，解得a＝－2，b＝2，

故圓的方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝8.

(2)當斜率不存在時，x＝0，與圓的兩個交點為(0,4)，(0,0)，則弦長為4，符合題意；

當斜率存在時，設直線為y－2＝kx，

則由題意得，8＝4＋－2k1＋k22，無解．

綜上，直線方程為x＝0.

18．(12分)(2011合肥一模)橢圓的兩個焦點座標分別為F1(－3，0)和F2(3，0)，且橢圓過點1，－32.

(1)求橢圓方程；

(2)過點－65，0作不與y軸垂直的直線l交該橢圓於M，N兩點，A為橢圓的左頂點．試判斷MAN的大小是否為定值，並説明理由．

解析 (1)設橢圓方程為x2a2＋y2b2＝1(a0)，

由c＝3，橢圓過點1，－32可得a2－b2＝3，1a2＋34b2＝1，

解得a2＝4，b2＝1，所以可得橢圓方程為x24＋y2＝1.

(2)由題意可設直線MN的方程為：x＝ky－65，

聯立直線MN和橢圓的方程：x＝ky－65，x24＋y2＝1，化簡得(k2＋4)y2－125ky－6425＝0.

設M(x1，y1)，N(x2，y2)，

則y1y2＝－6425k2＋4，y1＋y2＝12k5k2＋4，

又A(－2,0)，則AMAN＝(x1＋2，y1)(x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋45k(y1＋y2)＋1625＝0，所以MAN＝2.

19．(12分)已知橢圓C的中心為直角座標系xOy的原點，焦點在x軸上，它的一個頂點到兩個焦 點的距離分別為7和1.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直於x軸的直線上的點，|OP||OM|＝e(e為橢圓離心率)，求點M的軌跡方程，並説明軌跡是什麼曲線．

解析 (1)設橢圓長半軸長及半焦距分別為a，c，

由已知，得a－c＝1，a＋c＝7，解得a＝4，c＝3.

橢圓方程為x216＋y27＝1.

(2)設M(x，y)，P(x，y1)，其中x[－4,4]，

由已知得x2＋y21x2＋y2＝e2，而e＝34，

故16(x2＋y21)＝9(x2＋y2)，①

由點P在橢圓C上，得y21＝112－7x216，

代入①式並化簡，得9y2＝112.

點M的軌跡方程為y＝473(－44)，

軌跡是兩條平行於x軸的線段．

20．(12分)給定拋物線y2＝2x，設A(a,0)，a0，P是拋物線上的一點，且|PA|＝d，試求d的最小值．

解析 設P(x0，y0)(x00)，則y20＝2x0，

d＝|PA|＝x0－a2＋y20＝x0－a2＋2x0＝[x0＋1－a]2＋2a－1.

∵a0，x00，

(1)當01時，1－a0，

此時有x0＝0時，dmin＝1－a2＋2a－1＝a；

(2)當a1時，1－a0，

此時有x0＝a－1時，dmin＝2a－1.

21．(12分)已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F2在座標軸上，離心率為2，且過點(4，－10)，點M(3，m)在雙曲線上．

(1)求雙曲線方程；

(2)求證：點M在以F1F2為直徑的圓上；

(3)求△F1MF2的面積．

解析 (1)∵雙曲線離心率e＝2，

設所求雙曲線方程為x2－y2＝(0)，

則由點(4，－10)在雙曲線上，

知＝42－(－10)2＝6，

雙曲線方程為x2－y2＝6.

(2)若點M(3，m)在雙曲線上，則32－m2＝6，m2＝3，由雙曲線x2－y2＝6知F1(23，0)，F2(－23，0)，

MF1MF2＝(23－3，－m)(－23－ 3，－m)＝m2－3＝0，

MF1MF2，故點M在以F1F2為直徑的圓上．

(3)S△F1MF2＝12|F1F2||m|＝233＝6.

22．(12分)已知實數m1，定點A(－m,0)，B(m,0)，S為一動點，點 S與A，B兩點連線斜率之積為－1m2.

(1)求動點S的軌跡C的方程，並指出它是哪一種曲線；

(2)當m＝2時，問t取何值時，直線l：2x－y＋t＝0(t0)與曲線C有且只有一個交點？

(3)在(2)的條件下，證明：直線l上橫座標小於2的點P到點(1,0)的距離與到直線x＝2的距離之比的最小值等於曲線C的離心率．

解 析 (1)設S(x，y)，則kSA＝y－0x＋m，kSB＝y－0x－m.

由題意，得y2x2－m2＝－1m2，即x2m2＋y2＝1(xm)．

∵m1，

軌跡C是中心在座標原點，焦點在x軸上的橢圓(除去x軸上的兩頂點)，其中長軸長為2m，短軸長為2.

(2)當m＝2時，曲線C的方程為x22＋y2＝1(x2)．

由2x－y＋t＝0，x22＋y2＝1，消去y，得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.

令＝64t2－362(t2－1)＝0，得t＝3.

∵t0，t＝3.

此時直線l與曲線C有且只有一個公共點．

(3)由(2)知直線l的方程為2x－y＋3＝0，

設點P(a,2a＋3)(a2)，d1表示P到點(1,0)的距離，d2表示P到直線x＝2的距離，則

d1＝a－12＋2a＋32＝5a2＋10a＋10，

d2＝2－a，

d1d2＝5a2＋10a＋102－a＝5a2＋2a＋2a－22.

令f(a)＝a2＋2a＋2a－22，

則f(a)＝2a＋2a－22－2a2＋2a＋2a－2a－24

＝－6a＋8a－23.

令f(a)＝0，得a＝－43.

∵當a－43時，f(a)0；

當－432時，f(a)0.

f(a)在a＝－43時取得最小值，即d1d2取得最小值，

d1d2min＝5f－43＝22，

又橢圓的離心率為22，

d1d2的最小值等於橢圓的離心率．