關於高三數學的教案:平面向量與解析幾何交匯的綜合問題

設計立意及思路

向量具有代數與幾何形式的雙重身份，故它是聯繫多項知識的媒介，成為中學數學知識的一個交匯點，數學大學聯考重視能力立意，在知識網絡的交匯點上設計試題，因此，解析幾何與平面向量的融合交匯是新課程大學聯考命題改革的發展方向和創新的必然趨勢。而學生普遍感到不適應，因此，我們在解析幾何複習時應適時融合平面向量的基礎，滲透平面向量的'基本方法。本專題就以下兩方面對平面向量與圓錐曲線交匯綜合的問題進行復習;1、以向量為載體，求軌跡方程為命題切入點，綜合考查學生平面向量的加法與減法及其幾何意義，平面向量的數量積及其幾何意義，圓錐曲線的定義。2、以向量作為工具考查圓錐曲線的標準方程和幾何性質，直線與圓錐曲線位置關係，曲線和方程的關係等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。

大學聯考考點回顧

近三年來平面向量與圓錐曲線交匯命題可以説經歷了三個階段：2002年天津卷21道只是數學符號上的混合;2003年江蘇卷20道用平面向量的語言描述解析幾何元素的關係，可謂是知識點層面上整合;2004年有6份卷(分別是全國卷理科(必修+選修I)21道;全國卷理科(選修Ⅱ)21道;遼寧19道;湖南文21道;江蘇卷21道;天津卷22道)涉及平面向量與圓錐曲線交匯綜合，可以説是應用層面上綜合。就應用層面上又有兩個層次。第一層次：考查學生對平面向量的概念、加減運算、座標表示、數量積等基本概念、運算的掌握情況. 第二層次：考查學生對平面向量知識的簡單運用，如平面向量共線定理、定比分點、加減運算幾何意義(這三點已有所涉及)、數量積幾何意義、射影定理(這兩點挖掘不夠，本專題着重講述見例1變式)。考查學生把向量作為工具的運用能力.這一層次的問題有一定的難度，而且是未來幾年平面向量大學聯考題的一個走向.

基礎知識梳理

1.向量的概念、向量的幾何表示、向量的加法和減法;

2. 實數與向量的積、兩個向量共線的充要條件、向量的座標運算;

3. 平面向量的數量積及其幾何意義、平面兩點間的距離公式、線段定比分點人座標公式和向量的平衡移公式;

4. 橢圓、雙曲線、拋物線的定義及簡單幾何性質的靈活運用;

5.曲線方程(含指定圓錐曲線方程及軌跡方程);

6. 直線與圓錐曲線的位置關係問題(交點、弦長、中點弦與斜率、對稱問題)確定參數的取值範圍;

7. 平面向量作為工具綜合處理有關長度、角度、垂直、射影等問題以及圓錐曲線中的典型問題。

例題講解

一、減少運算量，提高思維量 是未來幾年大學聯考的一個方向，大學聯考中對求軌跡的方程傾向於利用適當的轉化再用定義法，以利於減少運算量，提高思維量。而圓錐曲線的兩種定義均可用向量的模及數量積幾何意義、射影定理來表示，無疑為平面向量與圓錐曲線交匯命題開拓了廣闊的空間。在以向量為載體，求軌跡方程為命題切入點，可以綜合考查學生平面向量的加法與減法及其幾何意義，平面向量的數量積及其幾何意義，圓錐曲線的定義。