2018屆淄博市大學聯考理科數學模擬試卷及答案
備戰大學聯考理科數學，我們需要多做一些大學聯考理科數學模擬試卷來進行查漏補缺，分重難點進行復習，下面是小編為大家精心推薦的2018屆淄博市大學聯考理科數學模擬試卷，希望能夠對您有所幫助。
2018屆淄博市大學聯考理科數學模擬試卷題目
一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合A={x|x2﹣4x<0}，B={x|x
A.(0，4] B.(﹣∞，4) C.[4，+∞) D.(4，+∞)
2.歐拉公式eix=cosx+isinx (i為虛數單位)是瑞士數學家歐拉發明的，將指數的定義域擴大到複數集，建立了三角函數和指數函數的聯繫，被譽為“數學中的天橋”.根據歐拉公式可知，e 表示的複數的模為( )
A. B.1 C. D.
3.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是( )
A.100 B.82 C.96 D.112
4.已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ為常數，A>0，ω>0，|φ|<π)的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是( )
A.函數f(x)的最小正週期為
B.直線x=﹣ 是函數f(x)圖象的一條對稱軸
C.函數f(x)在區間[﹣ ， ]上單調遞增
D.將函數f(x)的圖象向左平移 個單位，得到函數g(x)的圖象，則g(x)=2sin2x
5.對於四面體A﹣BCD，有以下命題：①若AB=AC=AD，則AB，AC，AD與底面所成的角相等;②若AB⊥CD，AC⊥BD，則點A在底面BCD內的射影是△BCD的內心;③四面體A﹣BCD的四個面中最多有四個直角三角形;④若四面體A﹣BCD的6條稜長都為1，則它的內切球的表面積為 .其中正確的命題是( )
A.①③ B.③④ C.①②③ D.①③④
6.中國古代數學著作《孫子算經》中有這樣一道算術題：“今有物不知其數，三三數之餘二，五五數之餘三，問物幾何?”人們把此類題目稱為“中國剩餘定理”，若正整數N除以正整數m後的餘數為n，則記為N=n(modm)，例如11=2(mod3).現將該問題以程序框圖的算法給出，執行該程序框圖，則輸出的n等於( )
A.21 B.22 C.23 D.24
7.若數列{an}是正項數列，且 + +…+ =n2+n，則a1+ +…+ 等於( )
A.2n2+2n B.n2+2n C.2n2+n D.2(n2+2n)
8.某城市關係要好的A，B，C，D四個家庭各有兩個小孩共8人，分乘甲、乙兩輛汽車出去遊玩，每車限坐4名(乘同一輛車的4名小孩不考慮位置)，其中A户家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4名小孩恰有2名來自於同一個家庭的乘坐方式共有( )
A.18種 B.24種 C.36種 D.48種
9.命題p：已知數列{an}為等比數列，且滿足a3•a6= dx，則logπa4+logπa5= ;命題q：“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”.則下列四個命題：￢p∨￢q、p∧q、￢p∧q、p∧￢q中，正確命題的個數為( )
A.4 B.3 C.2 D.1
10.已知定義在R上的偶函數f(x)，滿足f(x+4)=f(x)，且x∈[0，2]時，f(x)=sinπx+2|sinπx|，則方程f(x)﹣|lgx|=0在區間[0，10]上根的個數是( )
A.17 B.18 C.19 D.20
11.拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，其準線經過雙曲線 ﹣ =1(a>0，b>0)的左焦點，點M為這兩條曲線的一個交點，且|MF|=p，則雙曲線的離心率為( )
A. B.2 C. D. +1
12.已知函數f(x)=xlnx+3x﹣2，射線l：y=kx﹣k(x≥1).若射線l恆在函數y=f(x)圖象的下方，則整數k的最大值為( )
A.4 B.5 C.6 D.7
二、填空題( x﹣1)(2x﹣ )6的展開式中x的係數為 .(用數字作答)
14.若實數x，y滿足不等式組 ，則 的最小值為 .
15.在[﹣2，2]上隨機抽取兩個實數a，b，則事件“直線x+y=1與圓(x﹣a)2+(y﹣b)2=2相交”發生的概率為 .
16.在平面內，定點A，B，C，D滿足| |=| |=| |=2， • = • = • =0，動點P，M滿足| |=1， = ，則| |2的最大值為 .
三、解答題(本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字説明、證明過程或演算步驟.)
17.(12分)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知3(b2+c2)=3a2+2bc.
(Ⅰ)若 ，求tanC的大小;
(Ⅱ)若a=2，△ABC的面積 ，且b>c，求b，c.
18.(12分)質檢部門從某超市銷售的甲、乙兩種食用油中分劃隨機抽取100桶檢測某項質量指標，由檢測結果得到如圖的頻率分佈直方圖：
(I)寫出頻率分佈直方圖(甲)中a的值;記甲、乙兩種食用油100桶樣本的質量指標的方差分別為s12，s22，試比較s12，s22的大小(只要求寫出答案);
(Ⅱ)估計在甲、乙兩種食用油中隨機抽取1捅，恰有一個桶的質量指標大於20，且另一個不大於20的概率;
(Ⅲ)由頻率分佈直方圖可以認為，乙種食用油的質量指標值Z服從正態分佈N(μ，δ2).其中μ近似為樣本平均數 ，δ2近似為樣本方差s22，設X表示從乙種食用油中隨機抽取lO桶，其質量指標值位於(14.55，38.45)的桶數，求X的散學期望.
注：①同一組數據用該區問的中點值作代表，計算得s2= ≈11.95;
②若Z﹣N(μ，δ2)，則P(μ﹣δ
19.(12分)如圖，四邊形ABCD是梯形.四邊形CDEF是矩形.且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=90°，AB∥CD，AB=AD=DE= CD，M是線段AE上的動點.
(Ⅰ)試確定點M的位置，使AC∥平面DMF，並説明理由;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下，求平面DMF與平面ABCD所成鋭二面角的餘弦值.
20.(12分)已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且點A(﹣1，0)，B(1，0)，動點C滿足 =λ(λ為常數且λ>1)，動點C的軌跡為曲線E.
(Ⅰ)試求曲線E的方程;
(Ⅱ)當λ= 時，過定點B(1，0)的直線與曲線E交於P，Q兩點，N是曲線E上不同於P，Q的動點，試求△NPQ面積的最大值.
21.(12分)已知函數f(x)=exsinx﹣cosx，g(x)=xcosx﹣ ex，其中e是自然對數的底數.
(1)判斷函數y=f(x)在(0， )內的零點的個數，並説明理由;
(2)∀x1∈[0， ]，∃x2∈[0， ]，使得f(x1)+g(x2)≥m成立，試求實數m的取值範圍;
(3)若x>﹣1，求證：f(x)﹣g(x)>0.
請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.[選修4-4：座標系與參數方程]
22.(10分)在平面直角座標系xOy中，曲線C1： (α是參數).在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極座標系中，曲線C2：ρcosθ﹣3=0.點P是曲線C1上的動點.
(1)求點P到曲線C2的距離的最大值;
(2)若曲線C3：θ= 交曲線C1於A，B兩點，求△ABC1的面積.
[選修4-5：不等式選講]
23.已知函數f(x)=|x﹣a|，其中a>1
(1)當a=2時，求不等式f(x)≥4﹣|x﹣4|的解集;
(2)已知關於x的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值.
2018屆淄博市大學聯考理科數學模擬試卷答案
一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合A={x|x2﹣4x<0}，B={x|x
A.(0，4] B.(﹣∞，4) C.[4，+∞) D.(4，+∞)
【考點】18：集合的包含關係判斷及應用.
【分析】利用一元二次不等式可化簡集合A，再利用A⊆B即可得出.
【解答】解：對於集合A={x|x2﹣4x<0}，由x2﹣4x<0，解得0
又B={x|x
∵A⊆B，
∴a≥4.
∴實數a的取值範圍是a≥4.
故選C.
【點評】本題考查了一元二次不等式的解法、集合之間的關係，屬於基礎題.
2.歐拉公式eix=cosx+isinx (i為虛數單位)是瑞士數學家歐拉發明的，將指數的定義域擴大到複數集，建立了三角函數和指數函數的聯繫，被譽為“數學中的天橋”.根據歐拉公式可知，e 表示的複數的模為( )
A. B.1 C. D.
【考點】A8：複數求模.
【分析】直接由題意可得 =cos +isin ，再由複數模的計算公式得答案.
【解答】解：由題意， =cos +isin ，
∴e 表示的複數的模為 .
故選：B.
【點評】本題考查複數代數形式的乘除運算，考查了複數模的求法，是基礎題.
3.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是( )
A.100 B.82 C.96 D.112
【考點】L!：由三視圖求面積、體積.
【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個長方體切去一個三稜錐得到的組合體，分別計算長方體和稜錐的體積，相減可得答案.
【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個長方體切去一個三稜錐得到的組合體，
長方體的體積為：6×6×3=108，
稜錐的體積為： ×4×3×4=8，
故組合體的體積V=108﹣8=100，
故選：A.
【點評】本題考查的知識點是稜柱的體積和表面積，稜錐的體積和表面積，簡單幾何體的三視圖，難度中檔.
4.已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ為常數，A>0，ω>0，|φ|<π)的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是( )
A.函數f(x)的最小正週期為
B.直線x=﹣ 是函數f(x)圖象的一條對稱軸
C.函數f(x)在區間[﹣ ， ]上單調遞增
D.將函數f(x)的圖象向左平移 個單位，得到函數g(x)的圖象，則g(x)=2sin2x
【考點】H2：正弦函數的圖象.
【分析】先求出函數的解析式，再進行判斷，即可得出結論.
【解答】解：根據函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ為常數，A>0，ω>0，|φ|<π)的部分圖象，
可得A=2，圖象的一條對稱軸方程為x= = ，一個對稱中心為為( ，0)，
∴ = = ，∴T= ，∴ω=2，
代入( ，2)可得2=2sin(2× +φ)，∵|φ|<π，∴φ=﹣ ，
∴f(x)=2sin(2x﹣ )，將函數f(x)的圖象向左平移 個單位，可得g(x)=2sin[2(x+ )﹣ ]=2sin2x，
故選：D.
【點評】本題考查三角函數的圖象與性質，考查學生的計算能力，確定函數的解析式是關鍵.
5.對於四面體A﹣BCD，有以下命題：①若AB=AC=AD，則AB，AC，AD與底面所成的角相等;②若AB⊥CD，AC⊥BD，則點A在底面BCD內的射影是△BCD的內心;③四面體A﹣BCD的四個面中最多有四個直角三角形;④若四面體A﹣BCD的6條稜長都為1，則它的內切球的表面積為 .其中正確的命題是( )
A.①③ B.③④ C.①②③ D.①③④
【考點】2K：命題的真假判斷與應用.
【分析】對於①，根據線面角的定義即可判斷;
對於②，根據三垂線定理的逆定理可知，O是△BCD的垂心，
對於③在正方體中，找出滿足題意的四面體，即可得到直角三角形的個數，
對於④作出正四面體的圖形，球的球心位置，説明OE是內切球的半徑，利用直角三角形，逐步求出內切球的表面積.
【解答】解：對於①，因為AB=AC=AD，設點A在平面BCD內的射影是O，因為sin∠ABO= ，sin∠ACO= ，sin∠ADO= ，所以sin∠ABO=sin∠ACO=sin∠ADO，
則AB，AC，AD與底面所成的角相等;故①正確;
對於②設點A在平面BCD內的射影是O，則OB是AB在平面BCD內的射影，因為AB⊥CD，根據三垂線定理的逆定理可知：CD⊥OB 同理可證BD⊥OC，所以O是△BCD的垂心，故②不正確;
對於③：如圖：直接三角形的直角頂點已經標出，直角三角形的個數是4.故③正確
對於④，如圖O為正四面體ABCD的內切球的球心，正四面體的稜長為：1;
所以OE為內切球的半徑，BF=AF= ，BE= ，
所以AE= = ，
因為BO2﹣OE2=BE2，
所以( ﹣OE)2﹣OE2=( )2，
所以OE= ，
所以球的表面積為：4π•OE2= ，故④正確.
故選D.
【點評】本題考查命題的真假判斷與應用，綜合考查了線面、面面垂直的判斷與性質，考查了學生的空間想象能力，是中檔題.
6.中國古代數學著作《孫子算經》中有這樣一道算術題：“今有物不知其數，三三數之餘二，五五數之餘三，問物幾何?”人們把此類題目稱為“中國剩餘定理”，若正整數N除以正整數m後的餘數為n，則記為N=n(modm)，例如11=2(mod3).現將該問題以程序框圖的算法給出，執行該程序框圖，則輸出的n等於( )
A.21 B.22 C.23 D.24
【考點】EF：程序框圖.
【分析】該程序框圖的作用是求被3和5除後的餘數為2的數，根據所給的選項，得出結論.
【解答】解：該程序框圖的作用是求被3除後的餘數為2，被5除後的餘數為3的數，
在所給的選項中，滿足被3除後的餘數為2，被5除後的餘數為3的數只有23，
故選：C.
【點評】本題主要考查程序框圖的應用，屬於基礎題.
7.若數列{an}是正項數列，且 + +…+ =n2+n，則a1+ +…+ 等於( )
A.2n2+2n B.n2+2n C.2n2+n D.2(n2+2n)
【考點】8H：數列遞推式.
【分析】利用數列遞推關係可得an，再利用等差數列的求和公式即可得出.
【解答】解：∵ + +…+ =n2+n，∴n=1時， =2，解得a1=4.
n≥2時， + +…+ =(n﹣1)2+n﹣1，
相減可得： =2n，∴an=4n2.n=1時也成立.
∴ =4n.
則a1+ +…+ =4(1+2+…+n)=4× =2n2+2n.
故選：A.
【點評】本題考查了等差數列的通項公式與求和公式、數列遞推關係，考查了推理能力與計算能力，屬於中檔題.
8.某城市關係要好的A，B，C，D四個家庭各有兩個小孩共8人，分乘甲、乙兩輛汽車出去遊玩，每車限坐4名(乘同一輛車的4名小孩不考慮位置)，其中A户家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4名小孩恰有2名來自於同一個家庭的乘坐方式共有( )
A.18種 B.24種 C.36種 D.48種
【考點】D8：排列、組合的實際應用.
【分析】根據題意，分2種情況討論：①、A户家庭的孿生姐妹在甲車上，甲車上剩下兩個要來自不同的家庭，②、A户家庭的孿生姐妹不在甲車上，每種情況下分析乘坐人員的情況，由排列、組合數公式計算可得其乘坐方式的數目，由分類計數原理計算可得答案.
【解答】解：根據題意，分2種情況討論：
①、A户家庭的孿生姐妹在甲車上，甲車上剩下兩個要來自不同的家庭，
可以在剩下的三個家庭中任選2個，再從每個家庭的2個小孩中任選一個，來乘坐甲車，
有C32×C21×C21=12種乘坐方式;
②、A户家庭的孿生姐妹不在甲車上，
需要在剩下的三個家庭中任選1個，讓其2個小孩都在甲車上，
對於剩餘的2個家庭，從每個家庭的2個小孩中任選一個，來乘坐甲車，
有C31×C21×C21=12種乘坐方式;
則共有12+12=24種乘坐方式;
故選：B.
【點評】本題考查排列、組合的應用，涉及分類計數原理的應用，關鍵是依據題意，分析“乘坐甲車的4名小孩恰有2名來自於同一個家庭”的可能情況.
9.命題p：已知數列{an}為等比數列，且滿足a3•a6= dx，則logπa4+logπa5= ;命題q：“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”.則下列四個命題：￢p∨￢q、p∧q、￢p∧q、p∧￢q中，正確命題的個數為( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【考點】2E：複合命題的真假.
【分析】利用微積分基本定理與等比數列的性質即可判斷出命題p的真假;利用複合命題真假的判定方法即可判斷出命題q的真假.再利用複合命題真假的判定方法即可判斷出真假.
【解答】解：命題p：已知數列{an}為等比數列，且滿足a3•a6= dx= ×π×22=π，則logπa4+logπa5=logπ(a4a5)=logπ(a3a6)=logππ=1≠ ，因此是假命題;
命題q：“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”，是真命題.
則下列四個命題：￢p∨￢q、p∧q、￢p∧q、p∧￢q中，只有￢p∨￢q、￢p∧q是真命題.
正確命題的個數是2.
故選：C.
【點評】本題考查了微積分基本定理、等比數列的性質、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬於中檔題.
10.已知定義在R上的偶函數f(x)，滿足f(x+4)=f(x)，且x∈[0，2]時，f(x)=sinπx+2|sinπx|，則方程f(x)﹣|lgx|=0在區間[0，10]上根的個數是( )
A.17 B.18 C.19 D.20
【考點】54：根的存在性及根的個數判斷.
【分析】由已知寫出分段函數，然後畫出圖象，數形結合得答案.
【解答】解：f(x)=sinπx+2|sinπx|= ，
由f(x+4)=f(x)，可知f(x)是以4為週期的周期函數，
方程f(x)﹣|lgx|=0即f(x)=|lgx|，方程的根即為兩函數y=f(x)與y=|lgx|圖象交點的橫座標，
作出函數圖象如圖：
由圖可知，方程f(x)﹣|lgx|=0在區間[0，10]上根的個數是19.
故選：C.
【點評】本題考查根的存在性與根的個數判斷，考查數學轉化思想方法與數形結合的解題思想方法，是中檔題.
11.拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，其準線經過雙曲線 ﹣ =1(a>0，b>0)的左焦點，點M為這兩條曲線的一個交點，且|MF|=p，則雙曲線的離心率為( )
A. B.2 C. D. +1
【考點】KC：雙曲線的簡單性質.
【分析】確定拋物線y2=2px(p>0)的焦點與準線方程，利用點M為這兩條曲線的一個交點，且|MF|=p，求出M的座標，代入雙曲線方程，即可求得結論.
【解答】解：拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F( ，0)，其準線方程為x=﹣ ，
∵準線經過雙曲線 ﹣ =1(a>0，b>0)的左焦點，
∴c= ;
∵點M為這兩條曲線的一個交點，且|MF|=p，
∴M的橫座標為 ，
代入拋物線方程，可得M的縱座標為±p，
將M的座標代入雙曲線方程，可得 =1，
∴a= p，
∴e=1+ .
故選：D.
【點評】本題考查拋物線的幾何性質，考查曲線的交點，考查雙曲線的幾何性質，確定M的座標是關鍵.
12.已知函數f(x)=xlnx+3x﹣2，射線l：y=kx﹣k(x≥1).若射線l恆在函數y=f(x)圖象的下方，則整數k的最大值為( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【考點】6E：利用導數求閉區間上函數的最值.
【分析】由題意得問題等價於k< 對任意x>1恆成立，令g(x)= ，利用導數求得函數的最小值即可得出結論.
【解答】解：由題意，問題等價於k< 對任意x>1恆成立.
令g(x)= ，∴g′(x)= ，
令h(x)=x﹣2﹣lnx，故h(x)在(1，+∞)上是增函數，
由於h(3)=1﹣ln3<0，h(4)=2﹣ln4>0
所以存在x0∈(3，4)，使得h(x0)=x0﹣2﹣lnx0=0.
則x∈(1，x0)時，h(x)<0;x∈(x0，+∞)時，h(x)>0，
即x∈(1，x0)時，g'(x)<0;x∈(x0，+∞)時，g'(x)>0
知g(x)在(1，x0)遞減，(x0，+∞)遞增，
又g(x0)
故選B.
【點評】本題主要考查利用導數研究函數單調性、最值等性質，考查學生的運算能力，綜合性較強，屬於中檔題.
二、填空題(2017•廣元模擬)( x﹣1)(2x﹣ )6的展開式中x的係數為 ﹣80 .(用數字作答)
【考點】DB：二項式係數的性質.
【分析】求出(2x﹣ )6展開式的常數項和含x的項，再求( x﹣1)(2x﹣ )6的展開式中x的係數.
【解答】解：(2x﹣ )6展開式的通項公式為：
Tr+1= •(2x)6﹣r• =(﹣1)r•26﹣r• •x6﹣2r，
令6﹣2r=0，解得r=3，
∴(2x﹣ )6展開式的常數項為(﹣1)3•23• =﹣160;
令6﹣2r=1，解得r= ，
∴(2x﹣ )6展開式中不含x的項;
∴( x﹣1)(2x﹣ )6的展開式中x的係數為 ×(﹣160)=﹣80.
故答案為：﹣80.
【點評】本題考查了利用二項式的通項公式求展開式特定項的應用問題，是基礎題.
14.若實數x，y滿足不等式組 ，則 的最小值為 3 .
【考點】7C：簡單線性規劃.
【分析】作出不等式組對應的平面區域，利用兩點間的斜率公式進行求解即可.
【解答】解：作出不等式組對應的平面區域如圖，
的幾何意義是區域內的點到定點D(0，﹣1)的斜率，
由圖象知BD的斜率最小，
由 得 ，即B(1，2)，
此時BD的斜率k= =3，
故答案為：3
【點評】本題主要考查線性規劃的應用，利用兩點間的斜率公式以及數形結合是解決本題的關鍵.
15.在[﹣2，2]上隨機抽取兩個實數a，b，則事件“直線x+y=1與圓(x﹣a)2+(y﹣b)2=2相交”發生的概率為 .
【考點】CF：幾何概型.
【分析】根據直線和圓相交的條件求出a，b的關係，利用線性規劃求出對應區域的面積，結合幾何概型的概率公式進行計算即可.
【解答】解：根據題意，得 ，
又直線x+y=1與圓(x﹣a)2+(y﹣b)2=2相交，
d≤r，
即 ≤ ，
得|a+b﹣1|≤2，
所以﹣1≤a+b≤3;
畫出圖形，如圖所示;
則事件“直線x+y=1與圓(x﹣a)2+(y﹣b)2=2相交”發生的概率為
P= = = .
故答案為：
【點評】本題主要考查幾何概型的計算，根據直線和圓相交的位置關係求出a，b的關係是解決本題的關鍵.注意利用數形結合以及線性規劃的知識.
16.在平面內，定點A，B，C，D滿足| |=| |=| |=2， • = • = • =0，動點P，M滿足| |=1， = ，則| |2的最大值為 .
【考點】9R：平面向量數量積的運算.
【分析】根據題意可設D(0，0)，A(2，0)，B(﹣1， )，C(﹣1，﹣ )，P(2+cosθ，sinθ)，M( ， )，利用座標運算求出 以及 的最大值即可.
【解答】解：平面內，| |=| |=| |=2， • = • = • =0，
∴ ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，
可設D(0，0)，A(2，0)，B(﹣1， )，C(﹣1，﹣ )，
∵動點P，M滿足| |=1， = ，
可設P(2+cosθ，sinθ)，M( ， )，
∴ =( ， )，
∴ = + = ≤ ，
當且僅當sin( ﹣θ)=1時取等號，
∴| |2的最大值為 .
故答案為： .
【點評】本題考查了平面向量座標運算性質、模的計算公式、數量積運算性質以及三角函數求值問題，是綜合題.
三、解答題(本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字説明、證明過程或演算步驟.)
17.(12分)(2017•廣元模擬)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知3(b2+c2)=3a2+2bc.
(Ⅰ)若 ，求tanC的大小;
(Ⅱ)若a=2，△ABC的面積 ，且b>c，求b，c.
【考點】HS：餘弦定理的應用.
【分析】(Ⅰ)由3(b2+c2)=3a2+2bc，利用餘弦定理，可得cosA，根據 ，即可求tanC的大小;
(Ⅱ)利用面積及餘弦定理，可得b、c的兩個方程，即可求得結論.
【解答】解：(Ⅰ)∵3(b2+c2)=3a2+2bc，∴ =
∴cosA= ，∴sinA=
∵ ，∴
∴
∴
∴tanC= ;
(Ⅱ)∵ABC的面積 ，∴ ，∴bc= ①
∵a=2，∴由余弦定理可得4=b2+c2﹣2bc×
∴b2+c2=5②
∵b>c，∴聯立①②可得b= ，c= .
【點評】本題考查餘弦定理，考查三角形面積的計算，考查學生的計算能力，屬於中檔題.
18.(12分)(2017•廣元模擬)質檢部門從某超市銷售的甲、乙兩種食用油中分劃隨機抽取100桶檢測某項質量指標，由檢測結果得到如圖的頻率分佈直方圖：
(I)寫出頻率分佈直方圖(甲)中a的值;記甲、乙兩種食用油100桶樣本的質量指標的方差分別為s12，s22，試比較s12，s22的大小(只要求寫出答案);
(Ⅱ)估計在甲、乙兩種食用油中隨機抽取1捅，恰有一個桶的質量指標大於20，且另一個不大於20的概率;
(Ⅲ)由頻率分佈直方圖可以認為，乙種食用油的質量指標值Z服從正態分佈N(μ，δ2).其中μ近似為樣本平均數 ，δ2近似為樣本方差s22，設X表示從乙種食用油中隨機抽取lO桶，其質量指標值位於(14.55，38.45)的桶數，求X的.散學期望.
注：①同一組數據用該區問的中點值作代表，計算得s2= ≈11.95;
②若Z﹣N(μ，δ2)，則P(μ﹣δ
【考點】BC：極差、方差與標準差;B8：頻率分佈直方圖.
【分析】(Ⅰ)按照題目要求想結果即可.
(Ⅱ)設事件A，事件B，事件C，求出P(A)，P(B)，P(C)即可;
(Ⅲ)求出從乙種食用油中隨機抽取lO桶，其質量指標值位於(14.55，38.45)的概率是0.6826，得到X～B(10，0.6826)，求出EX即可.
【解答】解：(Ⅰ)a=0.015，s12>s22;
(Ⅱ)設事件A：在甲種食用油中隨機抽取1捅，其質量指標不大於20，
事件B：在乙種食用油中隨機抽取1捅，其質量指標不大於20，
事件C：在甲、乙兩種食用油中隨機抽取1捅，恰有一個桶的質量指標大於20，且另一個不大於20，
則P(A)=0.20+0.10=0.3，P(B)=0.10+0.20=0.3，
∴P(C)=P( )P(B)+P(A)P( )=0.42;
(Ⅲ)計算得： =26.5，由條件得Z～N(26.5，142.75)，
從而P(26.5﹣11.95
∴從乙種食用油中隨機抽取lO桶，其質量指標值位於(14.55，38.45)的概率是0.6826，
依題意得X～B(10，0.6826)，
∴EX=10×0.6826=6.826.
【點評】本題考查離散型隨機變量的期望的求法，獨立重複試驗概率的求法，考查計算能力.
19.(12分)(2017•廣元模擬)如圖，四邊形ABCD是梯形.四邊形CDEF是矩形.且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=90°，AB∥CD，AB=AD=DE= CD，M是線段AE上的動點.
(Ⅰ)試確定點M的位置，使AC∥平面DMF，並説明理由;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下，求平面DMF與平面ABCD所成鋭二面角的餘弦值.
【考點】MT：二面角的平面角及求法;LS：直線與平面平行的判定.
【分析】(Ⅰ)當M是線段AE的中點時，AC∥平面DMF.連結CE，交DF於N，連結MN，利用三角形中位線定理能夠證明AC∥平面DMF.
(Ⅱ)過點D作平面DMF與平面ABCD的交線l，過點M作MG⊥AD於G，過G作GH⊥l於H，連結MH，由已知條件推導出∠MHG是平面MDF與平面ABCD所成鋭二面角的平面角，由此能求出所求二面角的餘弦值.
【解答】解：(Ⅰ)當M是線段AE的中點時，AC∥平面DMF.
證明如下：
連結CE，交DF於N，連結MN，
由於M、N分別是AE、CE的中點，所以MN∥AC，
由於MN⊂平面DMF，又AC不包含於平面DMF，
∴AC∥平面DMF.(4分)
(Ⅱ)過點D作平面DMF與平面ABCD的交線l，
∵AC∥平面DMF，∴AC∥l，
過點M作MG⊥AD於G，
∵平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，
∴DE⊥平面ABCD，∴平面ADE⊥平面ABCD，
∴MG⊥平面ABCD，
過G作GH⊥l於H，連結MH，則直線l⊥平面MGH，∴l⊥MH，
∴∠MHG是平面MDF與平面ABCD所成鋭二面角的平面角.(8分)
設AB=2，則DG=1，GH=DGsin∠GDH=DGsin∠DAC=1× = ，MG= =1(11分)
∴cos∠MHG= = ，
∴所求二面角的餘弦值為 .(12分)
【點評】本題考查直線與平面平行的判定及證明，考查二面角的餘弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養.
20.(12分)(2017•廣元模擬)已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且點A(﹣1，0)，B(1，0)，動點C滿足 =λ(λ為常數且λ>1)，動點C的軌跡為曲線E.
(Ⅰ)試求曲線E的方程;
(Ⅱ)當λ= 時，過定點B(1，0)的直線與曲線E交於P，Q兩點，N是曲線E上不同於P，Q的動點，試求△NPQ面積的最大值.
【考點】KL：直線與橢圓的位置關係.
【分析】(Ⅰ)由題意可知丨CA丨+丨CB丨=2λ>2，則動點C的軌跡P為橢圓(除去A、B與共線的兩個點).即可求得求曲線E的方程;
(Ⅱ)當λ= 時，求得橢圓方程，分類討論，設直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，弦長公式及點到直線的距離公式，利用導數求得函數單調性區間，即可求得△NPQ面積的最大值.
【解答】解：(Ⅰ)在△ABC中，由丨AB丨=2，則丨CA丨+丨CB丨=2λ(定值)，且2λ>2，
∴動點C的軌跡P為橢圓(除去A、B與共線的兩個點).
設其標準方程為 (a>b>0)，則a2﹣λ2b2﹣λ2=1，
∴求曲線的軌跡方程為 (x≠±λ)，
(Ⅱ)當λ= 時，橢圓方程為 (x≠± )，.
①過定點B的直線與x軸重合時，△NPQ面積無最大值，
②過定點B的直線不與x軸重合時，
設l方程為：x=my+1，P(x1，y1)、Q(x2，y2)，
若m=0，由x≠± ，故此時△NPQ面積無最大值.
根據橢圓的幾何性質，不妨設m>0，
聯立方程組 ，消去x整理得：(3+2m2)y2+4my﹣4=0，
∴y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，則丨PQ丨= 丨y1﹣y2丨= .
因為當直線l與平行且與橢圓相切時，切點N到直線l的距離最大，
設切線l：x=my+n(n< )，
聯立 ，消去x整理得(3+2m2)y2+4mny+2n2﹣6=0，
由△=(4mn)2﹣4(3+2m2)(2n2﹣6)=0，解得：2n2﹣3+2m2=0，n<﹣ .
又點N到直線l的距離d= ，
∴△NPQ面積S= 丨PQ丨d= × × = ，
∴S2= .將n2=3+2m2，代入得：S2=6(1﹣ )2(1﹣( )2)，
令t= ∈(﹣ ，0)，設函數f(t)=6(1﹣t)2(1﹣t2)，則f′(t)=﹣12(t﹣1)2(2t+1)，
由當t∈(﹣ ，﹣ )時，f′(t)>0，當t∈(﹣ ，0)時，f′(t)<0，
∴f(t)在(﹣ ，﹣ )上是增函數，在(﹣ ，0)上是減函數，
∴fmin(t)=f(﹣ )= .
故m2= 時，△NPQ面積最大值是 .
∴當l的方程為x=± y+1時，△NPQ的面積最大，最大值為 .
【點評】本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關係，考查韋達定理，弦長公式，三角形的面積公式，考查利用導數求函數的單調性及最值，考查計算能力，屬於中檔題.
21.(12分)(2017•廣元模擬)已知函數f(x)=exsinx﹣cosx，g(x)=xcosx﹣ ex，其中e是自然對數的底數.
(1)判斷函數y=f(x)在(0， )內的零點的個數，並説明理由;
(2)∀x1∈[0， ]，∃x2∈[0， ]，使得f(x1)+g(x2)≥m成立，試求實數m的取值範圍;
(3)若x>﹣1，求證：f(x)﹣g(x)>0.
【考點】6B：利用導數研究函數的單調性;52：函數零點的判定定理;63：導數的運算.
【分析】(1)利用導數得到函數y=f(x)在(0， )上單調遞增，f(0)=﹣1<0，f( )>0，根據函數零點存在性定理得函數y=f(x)在(0， )內的零點的個數為1;
(2)確定函數f(x)在[0， ]上單調遞增，可得f(x)min=f(0)=﹣1;函數g(x)在[0， ]上單調遞減，可得g(x)max=g(0)=﹣ ，即可求出實數m的範圍;
(3)先利用分析要證原不等式成立，轉化為只要證 > ，令h(x)= ，x>﹣1，利用導數求出h(x)min=h(0)=1，再令k= ，其可看作點A(sinx，cosx)與點B(﹣ ，0)連線的斜率，根據其幾何意義求出k的最大值，即可證明.
【解答】解：(1)函數y=f(x)在(0， )內的零點的個數為1，
理由如下：∵f(x)=exsinx﹣cosx，
∴f′(x)=ex(sinx+cosx)+sinx，
∵x∈(0， )，
∴f′(x)>0，
∴函數y=f(x)在(0， )上單調遞增，
∵f(0)=﹣1<0，f( )>0，
根據函數零點存在性定理得函數y=f(x)在(0， )內的零點的個數為1.
(2)∵f(x1)+g(x2)≥m，
∴f(x1)≥m﹣g(x2)，
∴f(x1)min≥[m﹣g(x2)]min，
∴f(x1)min≥m﹣g(x2)max，
當x∈[0， ]時，f′(x)>0，函數f(x)在[0， ]上單調遞增，
∴f(x)min≥f(0)=﹣1，
∵g(x)=xcosx﹣ ex，
∴g′(x)=cosx﹣xsinx﹣ ex，
∵x∈[0， ]，
∴0≤cosx≤1，xsinx≥0， ex≥ ，
∴g′(x)≤0，
∴函數g(x)在[0， ]上單調遞減，
∴g(x)max≥g(0)= ，
∴﹣1≥m+ ，
∴m≤﹣1﹣ ，
∴實數m的取值範圍為(﹣∞，﹣1﹣ ];
(3)x>﹣1，要證：f(x)﹣g(x)>0，
只要證f(x)>g(x)，
只要證exsinx﹣cosx>xcosx﹣ ex，
只要證ex(sinx+ )>(x+1)cosx，
由於sinx+ >0，x+1>0，
只要證 > ，
下面證明x>﹣1時，不等式 > 成立，
令h(x)= ，x>﹣1，
∴h′(x)= ，x>﹣1，
當x∈(﹣1，0)時，h′(x)<0，h(x)單調遞減，
當x∈(0，+∞)時，h′(x)>0，h(x)單調遞增，
∴h(x)min=h(0)=1
令k= ，其可看作點A(sinx，cosx)與點B(﹣ ，0)連線的斜率，
∴直線AB的方程為y=k(x+ )，
由於點A在圓x2+y2=1上，
∴直線AB與圓相交或相切，
當直線AB與圓相切且切點在第二象限時，直線AB的斜率取得最大值為1，
∴當x=0時，k= <1=h(0)，x≠0時，h(x)>1≥k，
綜上所述，當x>﹣1，f(x)﹣g(x)>0.
【點評】本題考查了函數零點存在性定理，導數和函數的最值的關係，以及切線方程，考查分類整合思想、轉化思想，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力.注意認真體會(3)問中幾何中切線的應用，屬於難題.
請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.[選修4-4：座標系與參數方程]
22.(10分)(2017•廣元模擬)在平面直角座標系xOy中，曲線C1： (α是參數).在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極座標系中，曲線C2：ρcosθ﹣3=0.點P是曲線C1上的動點.
(1)求點P到曲線C2的距離的最大值;
(2)若曲線C3：θ= 交曲線C1於A，B兩點，求△ABC1的面積.
【考點】Q4：簡單曲線的極座標方程.
【分析】(1)求得C1的標準方程，及曲線C2的標準方程，則圓心C1到x=3距離d，點P到曲線C2的距離的最大值dmax=R+d=6;
(2)將直線l的方程代入C1的方程，求得A和B點座標，求得丨AB丨，利用點到直線的距離公式，求得C1到AB的距離d，即可求得△ABC1的面積.
【解答】解(1)曲線C1： (α是參數).整理得：(x+2)2+(y+1)2=1
曲線C2：ρcosθ﹣3=0，則x=3.
則圓心C1到x=3距離d，d=2+3=5，
點P到曲線C2的距離的最大值dmax=R+d=6;
∴點P到曲線C2的距離的最大值6;
(2)若曲線C3：θ= ，即y=x，
，解得： ， ，
丨AB丨= =
∴C1到AB的距離d= = ，
則△ABC1的面積S，S= × × = .
∴△ABC1的面積 .
【點評】本題考查參數方程與普通方程的轉化，直線與的圓的位置關係，考查點到直線的距離公式，屬於中檔題.
[選修4-5：不等式選講]
23.(2013•遼寧)已知函數f(x)=|x﹣a|，其中a>1
(1)當a=2時，求不等式f(x)≥4﹣|x﹣4|的解集;
(2)已知關於x的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值.
【考點】&2：帶絕對值的函數;R5：絕對值不等式的解法.
【分析】(1)當a=2時，f(x)≥4﹣|x﹣4|可化為|x﹣2|+|x﹣4|≥4，直接求出不等式|x﹣2|+|x﹣4|≥4的解集即可.
(2)設h(x)=f(2x+a)﹣2f(x)，則h(x)= .由|h(x)|≤2解得 ，它與1≤x≤2等價，然後求出a的值.
【解答】解：(1)當a=2時，f(x)≥4﹣|x﹣4|可化為|x﹣2|+|x﹣4|≥4，
當x≤2時，得﹣2x+6≥4，解得x≤1;
當2
當x≥4時，得2x﹣6≥4，解得x≥5;
故不等式的解集為{x|x≥5或x≤1}.
(2)設h(x)=f(2x+a)﹣2f(x)，則h(x)=
由|h(x)|≤2得 ，
又已知關於x的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2的解集{x|1≤x≤2}，
所以 ，
故a=3.
【點評】本題是中檔題，考查絕對值不等式的解法，注意分類討論思想的應用，考查計算能力，常考題型.
