2018屆黃岡市大學聯考理科數學模擬試卷及答案
大學聯考理科數學的備考，理科考生們可以多做模擬試卷題多練基礎題型，這樣考好理科數學也不會難，下面是小編為大家精心推薦的2018屆黃岡市大學聯考理科數學模擬試卷，希望能夠對您有所幫助。
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)
1. 已知i為虛數單位， R，複數 ，若 為正實數，則 的取值集合為( )
A. B. C. D.
2. 已知集合 ， ，則集合 ( )
A. B.
C. D.
3. 的展開式中 的係數為( )
A. B. C. D.
4. 已知等比數列 中， ， ，且公比 ，則 ( )
A. B. C. D.
5.設函數 ，若 ，且 ，則 ( )
A. B. C. D.
6.某高三畢業班的六個科任老師站一排合影留念，其中僅有的兩名女老師要求相鄰站在一
起，而男老師甲不能站在兩端，則不同的安排方法的種數是( )
A. B. C. D.
7.如下圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某四稜錐的三視圖，則此幾何體
的表面積為( )
A. B. C. D.
8.已知拋物線 的焦點為 ， 為座標原點，若拋物線 上存在點 ，
使得 ，則 的值為( )
A. B. C. D.
9.我們可以用隨機模擬的方法估計π的值，如下程序框圖表示其基本步驟(函數RAND是產生隨機數的函數，它 能隨機產生 內的任何一個實數)，若輸出的結果為527，則由此可估計π的近似值為( )
A.3.126 B.3.132 C.3.151 D.3.162
10.已知函數 ， ，若 的圖像與 的圖象有且僅有兩個不同的公共點 、 ，則下列判斷正確的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
11.已知函數 和函數 在區間 上的圖象交於 三點，則△ 的面積是( )
A. B. C. D.
12.已知 是橢圓與雙曲線的公共焦點， 是它們的一個公共點，且 ，橢圓的離心率為 ，雙曲線的'離心率為 ，若 ，則 的最小值為( )
A. B.8 C. D.6
第Ⅱ卷 非選擇題
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請將答案填在答題卡相應的位置上.)
13.已知向量 , 滿足 ， ，則 在 方向上的投影為 .
14.成書於公元前1世紀左右的中國古代數學名著《周髀算經》曾記載有“勾股各自乘,並而開方除之”,用現代數學符號表示就是 ,可見當時就已經知道勾股定理.如果正整數 滿足 ,我們就把正整數 叫做勾股數,下面依次給出前4組勾股數：3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41. 則按照此規律，第6組勾股數為 .
15.設 ，實數 滿足 ，若 恆成立，則實數 的取值範圍是 .
16.在△ 中， ， ，且在邊 上分別取 兩點，點
關於線段 的對稱點 正好落在邊 上，則線段 長度的最小值為 .
三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字説明，證明過程或演算步驟.)
17.(本題滿分12分)
在數1和100之間插入 個實數，使得這 個數構成遞增的等比數列，將這 個數的乘積記作 ，再令 ， .
(Ⅰ)求數列 的通項公式;
(Ⅱ)設 ，求數列 的前 項和 .
18.(本題滿分12分)
如圖1，在平行四邊形 中， ， ， 是 的 中點，現將四邊形 沿 折起，使 平面 ，得到圖2所示的幾何體， 是 的 中點.
(Ⅰ)證明 平面 ;
(Ⅱ)求二面角 的餘弦值的大小.
19.(本題滿分12分)
某校在規劃課程設置方案的調研中，隨機抽取160名理科學生，想調查男生、女生對“座標系與參數方程”與“不等式選講”這兩道題的選擇傾向性，調研中發現選擇“座標系與參數方程”的男生人數與選擇“不等式選講”的總人數相等，且選擇“座標系與參數方程”的女生人數比選擇“不等式選講”的女生人數多25人，根據調研情況製成如下圖所示的列聯表：
選擇座標系與參數方程 選擇不等式選講 合計
男生 60
女生
合計 160
(Ⅰ)完成列聯表，並判斷在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下，能否認為選題與性
別有關.
(Ⅱ)按照分層抽樣的方法，從選擇“座標系與參數方程”與選擇“不等式選講”的學生中
共抽取8人進行問卷.若從這8人中任選3人，記選擇“座標系與參數方程”與選擇“不等式選講”的人數的差為 ，求 的分佈列及數學期望 .
附： ，其中 .
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20.(本題滿分12分)
已知點 分別是橢圓 的左右焦點，點 在橢圓 上.
(Ⅰ)求橢圓 的標準方程;
(Ⅱ)過右焦點 作兩互相垂直的直線分別與橢圓 相交於點 和 ，求 的取值範圍.
21.(本小題滿分12分)
設函數 ， ，其中 R， …為自然對數的底數.
(Ⅰ)當 時， 恆成立，求 的取值範圍;
(Ⅱ)求證： (參考數據： ).
請考生在第(22)、(23)題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，解答時請寫清題號.
22.(本小題滿分10分)選修4-4：座標系與參數方程
在直角座標系中 中，曲線 的參數方程為 為參數).在以座標原
點 為極點， 軸正半軸為極軸的極座標系中，曲線 的極座標方程為 ，曲線
的極座標方程為 .
(Ⅰ)把曲線 的參數方程化為極座標方程;
(Ⅱ)設曲線 與曲線 交於 兩點,與曲線 交於 兩點，若點 的直角座標為
，求△ 的面積.
23.(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講
已知關於 的不等式 的解集不是空集，記 的最小值為 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若正實數 滿足 ，求 的最小值.
2018屆黃岡市大學聯考理科數學模擬試卷答案1.【答案】B
【解析】 為正實數，則 .
2.【答案】C
【解析】 ， ， .
3.【答案】A
【解析】 的展開通項式為 ， ，即 的係數為 .
4.【答案】C
【解析】由 ， ，得 ，則 .
5.【答案】D
【解析】當 時， 為增函數，又 ，且 ，故 ，
則 即 ，所以 .
6.【答案】B
【解析】方法一： ;方法二： ;
方法三： .
7.【答案】C
【解析】如圖所示，可將此幾何體放入一個邊長為2的正方體內，則四稜錐 即
為所求，且 ， ，可求得表面積為 .
8.【答案】C
【解析】方法一：由 ，得 在線段 的中垂線上，
且到拋物線準線的距離為 ，則有 .
方法二：設則有 ，則有 .
9.【答案】 D
【解析】由程序框圖可得 .
10.【答案】C
【解析】方法一：在同一座標系中分別畫出兩個函數的圖象，則 點在第三象限， 為
兩函數在第一象限的切點，要想滿足條件，則有如圖，做出點 關於原點的對稱點 ,
則 點座標為 由圖象知 ，即 .
方法二： 的圖像與 的圖象有且僅有兩個不同的公共點，
則方程 有且僅有兩個根，則函數
有且僅有兩個零點， ，又 ，則 ，
當 時滿足函數 有且僅有兩個零點，
此時， ， ，即 .
11.【答案】D
【解析】 ，有圖像可得 為等腰三角形，
底邊為一個週期長，高為 ，則
12.【答案】B
【解析】設橢圓長軸長為 ，雙曲線實軸長為 ，焦距為 ，
有題意可得 ，又 ，
則 .
13.【答案】
【解析】向量 在 方向上的投影為 .
14.【答案】
【解析】方法一：由前4組勾股數可知，第一個數均為奇數，且成等差數列，
後兩個數是相鄰的兩正整數，有勾股數滿足的關係得第6組勾股數為 .
方法二：若設第一個數為 ，則第二，三個數分別為 ，
第6組的一個數為13，可得第6組勾股數為 .
15.【答案】
【解析】作出直線 所圍成的區域，
如圖所示， ，當 時，滿足題意.
16.【答案】
【解析】方法一： 設 ，
∵A點與點P關於線段MN對稱， ∴ ， ，
在 中， ， ， ， ，
由正弦定理：
則 ，當 時 此時， .
方法二：建立如圖如示座標系
由 得 ， 設 ， ，
與 交於 點 ，由 ，得 ，
，此時 .
17.【解析】(Ⅰ) 構成遞增的等比數列，其中 ， 則
，又，
得 ， ， . …………………6分
(Ⅱ) ，
故
上述兩式相減，得
…………………12分
18.【解析】(Ⅰ)取 的中點 ，連結 、 .
因為 ， ，故 .
又因為 , ，故 .
所以四邊形 是平行四邊形， .
在等腰 中， 是 的中點，所以 .
因為 平面 ，故 .而 ，
而 平面 .又因為 ，
故 平面 . …………………5分
(Ⅱ)建立如圖所示空間直角座標系，則 ， ， ，
， ， ， ， .
設 是平面 的一個法向量，由 ，
得 ，令 ，則 .
設 是平面 的一個法向量，可得 .故 ，
所以二面角 的餘弦值為 . …………………12分
19.【解析】(Ⅰ)
選擇座標系與參數方程 選擇不等式選講 合計
男生 60 45 105
女生 40 15 55
合計 100 60 160
，故不能認為選題與性別有關.…………………5分
(Ⅱ)選擇“座標系與參數方程”與選擇“不等式選講”的人數比例為100：60=5：3，
所以抽取的8人中傾向“座標系與參數方程”的人數為5，傾向“不等式選講”的人
數為3.
依題意，得 ， ， ，
， . …………………9分
故 的分佈列如下:
所以 . …………………12分
20.【解析】(Ⅰ)方法一：由題意得
且 ∴
方法二：由 ， 得 .
∴橢圓方程為 . …………………4分
(2)設 ， ，直線 為 .直線 為
聯立
則 ， ， …………………6分
.
∵
同理
令 ，則
當 時， ，
∴ . …………………12分
21.【解析】(Ⅰ)令 ，
則
①若 ，則 ， ， 在 遞增， ，
即 在 恆成立，滿足，所以 ;
②若 ， 在 遞增， 且
且 時， ，則 使 ，
則 在 遞減，在 遞增，
所以當 時 ，即當 時， ，
不滿足題意，捨去;
綜合①，②知 的取值範圍為 . …………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，當 時， 對 恆成立，
令 ，則 即 ; …………………7分
由(Ⅰ)知，當 時，則 在 遞減，在 遞增，
則 ，即 ，又 ，即 ，
令 ，即 ，則 ，
故有 . …………………12分
22.【解析】(1) 的普通方程為 即 ，所以
的極座標方程為 . …………………4分
(2)依題意，設點 的極座標分別為 ,
把 代入 ，得 ，把 代入 ，得 ，
所以 ,
依題意，點 到曲線 的距離 ，
所以 . …………………10分
23.(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講
已知關於 的不等式 的解集不是空集，記 的最小值為 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若正實數 滿足 ，求 的最小值.
【解析】(Ⅰ)因為 ，當且僅當 時取等號，
故 ，即 . …………………5分
(Ⅱ)
當且僅當 時取等號. …………………10分
